2022-2023学年江苏省连云港市海头高一年级上册学期1月学情检测数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省连云港市海头高一上学期1月学情检测数学试题一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据集合的交集定义即可求解.【详解】由题知，，，故选：C.2．命题“”的否定是A． B．C． D．【答案】A【分析】利用全称命题的否定方法求解，改变量词，否定结论.【详解】因为的否定为，所以选A.【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，一般处理策略是：先改变量词，然后否定结论.3．函数的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先判断函数的单调性，然后再根据零点存在性定理，通过赋值，即可找到零点所在的区间，从而完成求解.【详解】函数可看成两个函数和组成，两函数在上，都是增函数，故函数在上也是单调递增的，所以，而，由零点存在性定理可得，函数零点所在区间为.故选：D.4．设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知条件，结合对数函数与指数函数的单调性，即可求解.【详解】因为函数在上单调递增，则，即，所以；因为函数在单调递增，则，所以；因为函数在上单调递减，则，所以，综上，.故选：A.5．（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用两角和的余弦公式即可得解.【详解】解：.故选：A.6．已知，且关于的不等式的解集为，则的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分析可知、均为正数，利用韦达定理得出，将代数式和相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】由已知，、是方程的两根，所以，，所以，，且，当且仅当时，取等号，因此，的最小值为.故选：A．7．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式:.它表示:在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升到8000，则大约增加了（

）A．10% B．20% C．30% D．50%【答案】C【分析】根据题意，信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，只需计算出信噪比为8000比信噪比为1000时提升了多少即可．【详解】由题意可知，，，故提升了，故选：C．8．已知函数，将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，已知在上恰有5个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求得，换元转化为在上恰有5个不相等的实根，结合的性质列出不等式求解.【详解】，令，由题意在上恰有5个零点，即在上恰有5个不相等的实根，由的性质可得，解得．故选：D．二、多选题9．小夏同学在学习了《任意角和弧度制》后，对家里的扇形瓷器盘（图1）产生了浓厚的兴趣，并临摹出该瓷器盘的大致形状，如图2所示，在扇形中，，，则（

）A． B．弧长C．扇形的周长为 D．扇形的面积为【答案】BC【分析】根据角度制与弧度制的互相转化、扇形的弧长与面积公式易得答案.【详解】，所以A错；弧长，所以B对；扇形的周长为，所以C对；面积为，所以D错；故选：BC10．下列计算中正确的是（

）A．B．C．D．【答案】ACD【分析】结合诱导公式及正余弦的和差角公式分别进行化简，即可求解；【详解】解：对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D正确.故选：ACD11．对于函数（其中），下列结论正确的是（

）A．若，，则的最小值为；B．若，则函数的图象向右平移个单位可以得到函数的图象；C．若，则函数在区间上单调递增；D．若函数的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为，则.【答案】AD【解析】根据三角函数的单调性，周期，最值，平移依次判断每个选项判断得到答案.【详解】，则，当时，.故，正确；的图象向右平移个单位可以得到函数，故错误；，则，函数先增后减，故错误；函数的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为，则，故，，正确；故选：.【点睛】本题考查了三角函数的平移，最值，单调性，周期，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用.12．设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列说法正确的是（

）A． B．函数是以2为周期的周期函数C．函数的图像关于直线对称 D．函数为奇函数【答案】ACD【分析】根据周期性与奇偶性定义即可做出判断.【详解】因为是奇函数，所以，则所以关于点对称，，故A正确；且是偶函数，所以故，所以函数是以4为周期的周期函数．故B错误；函数的图像关于直线对称，C正确；令，则，由于故，即所以，即函数为奇函数，D正确．故选：ACD三、填空题13．__________.【答案】【分析】将变形为，去括号后提公因式，然后利用对数的运算性质即可计算出所求代数式的值.【详解】原式.故答案为：.【点睛】本题考查对数的计算，在计算时注意对数运算性质以及化简技巧的应用，考查计算能力，属于基础题.14．．【答案】【分析】根据两角差的正切公式，可直接求出结果.【详解】.故答案为【点睛】本题主要考查两角差的正切公式，熟记公式即可，属于常考题型.15．某一天时的温度变化曲线近似地满足，其中表示时间，表示温度，则这一天中时的最大温差为_______度.【答案】20【分析】根据给定条件，求出函数在上的最大、最小值作答.【详解】当时，，则当时，，当时，，所以这一天中时的最大温差为度.故答案为：2016．已知函数，其中，且，若函数的图象与直线有个不同的交点，其横坐标分别为，且，则实数的取值范围是________.【答案】【分析】根据正弦函数的值可求得，确定在时，与有且仅有一个交点，并确定交点横坐标的范围；当时，结合指数函数值域可知不合题意；当时，令可求得，解对数不等式即可求得结果.【详解】设，当时，，当或，即或时，，则，；；当时，在上恒成立，则与无交点；当时，，令，解得：，即；，解得：；综上所述：实数的取值范围为.故答案为：.四、解答题17．已知集合，．(1)当时，求；(2)“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，得到，再利用并集的运算求解；（2）根据“”是“”的充分不必要条件，得到，然后分，讨论求解.【详解】（1）解：当时，．因为，所以．（2）因为“”是“”的充分不必要条件，所以．当时，符合题意，此时有，解得：．当时，要使，只需解得：，综上：．所以实数的取值范围．18．（1）已知角终边所在直线经过点，求的值；（2）已知求的值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用诱导公式化简即可求解；（2）利用同角三角关系与和差公式即可求解.【详解】（1）角终边所在直线经过点，，，..（2），，.19．设，为实数，已知定义在上的函数为奇函数，且其图象经过点．(1)求的解析式；(2)用定义证明为上的增函数，并求在上的值域．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据为奇函数，可得，可得，又过点，代入，可求得a，b的值，经检验符合题意，即可得答案.（2）利用定义法取值、作差、变形、定号，得结论，即可证明的单调性，根据单调性，代入数据，即可得值域.【详解】（1）因为为上的奇函数，所以，即．又因为函数的图象经过点，所以，即．解得，故，当时，，即为奇函数，故符合条件．（2）任取，且，则．因为，所以，又因为，所以．即，故为上的增函数．

因为在上也递增，所以当时，，即，所以在上的值域为20．已知函数在一个周期内的图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调递增区间；（3）当时，求的取值范围.【答案】(1)；(2)；(3).【详解】试题分析：（1）结合函数图象和三角函数的性质可得，，则函数的解析式为.（2）结合(1)中求得的函数解析式可得函数的单调递增区间为；（3）由函数的定义域可得，则函数的取值范围为.试题解析：（1）由图像知，，，由图像过点得，观察图像取，得.（2）结合(1)中求得的函数解析式：由，解得，故函数的单调递增区间为；（3），，则的取值范围为.21．设a为实数，函数f(x)＝x2＋|x－a|＋1，x∈R.(1)讨论f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的最小值．【答案】（1）当时，偶函数，当时，为非奇非偶函数；（2）.【详解】试题分析：（1）对于函数f（x）=x2+|x﹣a|+1，分当a=0时、和当a≠0时两种情况，分别讨论f（x）的奇偶性；（2）当x≤a时，f（x）=x2﹣x+a+1=（x﹣）2+a+，分a＞时和a≤时两种情况，分别求得函数f（x）的最小值．②当x＞a时，f（x）=x2+x﹣a+1=（x+）2﹣a+，分a＞﹣时和当a≤﹣时两种情况，分别求得函数f（x）的最小值．解：（1）对于函数f（x）=x2+|x﹣a|+1，当a=0时，f（x）=x2+|x|+1为偶函数，当a≠0时，f（x）=x2+|x|+1为非奇非偶函数．（2）①当x≤a时，f（x）=x2﹣x+a+1=（x﹣）2+a+，若a＞时，函数f（x）的最小值为f（）=a+；若a≤时，函数f（x）的最小值为f（a）=a2+1．②当x＞a时，f（x）=x2+x﹣a+1=（x+）2﹣a+，若a＞﹣时，函数f（x）的最小值为f（a）=a2+1；若a≤﹣时，函数f（x）的最小值为f（﹣）=﹣a+．【解析】函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的性质．22．若函数在定义域内存在实数满足，，则称函数为定义域上的“阶局部奇函数”．（1）若函数，判断是否为上的“二阶局部奇函数”，并说明理由；（2）若函数是上的“一阶局部奇函数”，求实数的取值范围；（3）对于任意的实数，函数恒为上的“阶局部奇函数”，求的取值集合．【答案】（1）是上的“二阶局部奇函数”，理由见解析；（2）；（3）．【解析】（1）当时，解方程，即可得出结论；（2）由可得出在上有解，再结合对数的真数恒为正数可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；（3）由可得出在上有解，然后分和两种情况讨论，在时验证即可，在时可得出，综合可解得实数的取值范围，再由可得出结果.【详解】（1）由题意得，，即，由，可得且，得，，．所以，是上的“二阶局部奇函数”；（2）由题意得，，所以，，可得在