弹塑性力学讲义八

第四章

弹性力学解题方法第四章弹性力学解题方法弹性力学问题的基本方程按位移求解弹性力学问题按应力求解弹性力学问题平面问题和应力函数逆解法和半逆解法边界上的应力函数及导数平面问题的极坐标解法Prof,WangJX§4－1弹性力学问题的基本方程一、空间问题的基本方程平衡微分方程几何方程Prof,WangJX物理方程（广义虎克定律）偏量形式的广义虎克定律Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity

物理方程应力边界条件位移边界条件Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity

平衡微分方程二、平面问题的基本方程几何方程：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity

物理方程应力边界条件位移边界条件Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity

三、弹性力学问题的解法1.位移法以位移分量为基本未知量用位移表示应力和应变求出位移分量求出应变分量求出应力分量2.力法几何方程物理方程以应力分量为基本未知量消去位移和应变分量求出应力分量求出应变分量求出位移分量物理方程几何方程Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity

四、弹性力学问题的基本类型2.位移的边值问题1.力的边值问题在物体的全部表面上给定面力的问题。在物体的全部表面上给定位移的问题。3.混合边值问题在物体的一部分表面上给定面力，而在另一部分表面上给定位移的问题。位移法力法力法或位移法Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity

§4－2按位移求解弹性力学问题基本方程（4－1）Prof,WangJXLaplace算子Lame'方程（4－2）（4－3）位移分量表表示的平衡衡微分方程程Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity边界条件：：应力边界条条件位移边界条条件（4－4）Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity解题思路：：（4－3）（4－4）几何方程物理方程优点：缺点：适用范围广广，在数值值解法中得得到广泛应应用（有限限元）。求解三个联联立的偏微微分方程组组，求解析析解困难。。Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity空间轴对称称问题：几何方程：：平衡方程：：物理方程：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity空间轴对称称问题：弹性方程：：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity例题：半空空间体，单单位体积的的质量为r，在水平边界界上受均布布压力q，位移边界条条件为：求：位移分分量和应力力分量。解：qxzZ=ho体力：面力：位移：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityqxzZ=ho解：面力：位移：应力分量：：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityqxzZ=ho解：面力：位移：应力分量：边界条件：：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity解：qxzZ=ho位移分量：：应力分量：：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity§4－3按应力求解解弹性力学学问题基本方程相容方程（（应变协调调方程）：：Prof,WangJX（4－8）用应力表示示的相容方方程：体力为常量量：（4－9）应力张量量第一不不变量为为调和函函数。所有应力力分量均均为双调调和函数数。Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity解题思路路：几何方程物理方程优点：缺点：（1）当应力力分量为为坐标的的线性函函数时，，相容方方程自然然满足，，可得到到精确解解答。（2）边界条条件简单单，容易易求出解解析解，，且应力力表达式式较简单单。不能求解解位移边边值问题题。位移单值值条件：：对于多连连体，物物体中任任意一点点的位移移必须是是单值的的。Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity§4－4平面问题题和应力力函数一、平面面应力问问题和平平面应变变问题平面应力力问题：：平面应变变问题：：z＝xz＝zy＝0x,y,xy(x,y)构件特征征：受力特点点：应力分量量：应变分量量：位移分量量：xyzxyz平行于板板面，板板面上无无载荷载荷与z轴垂直沿沿z轴不变yx＝zx＝0x,y,xy(x,y);zz＝yx＝zx＝0x,y,xy(x,y)u(x,y),v(x,y);wu(x,y),v(x,y);w=0x,y,xy(x,y)xz＝zy＝0,z＝m(x+y)Prof,WangJX平衡方程二、平面问题题的基本方程程几何方程：物理方程应力边界条件件平面应变问题题：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity三、相容方程程和Airy应力函数相容方程（应应变协调方程程）应力分量表示示的相容方程程体力为常量：：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity不含材料常数数，只要两物物体具有相同同的形状，受受相同面力，，则不论何种种材料、何种种平面问题，，其应力分布布是相同的，，数值亦相同同。解答普遍遍性。前两式为常系系数非齐次线线性偏微分方方程，其通解解等于对应的的齐次通解加加上一个特解解。特解：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityj(x,y):平面问题的应应力函数：不不论j(x,y)取何函数，上式得得到的应力分分量恒满足平平衡微分方程程。（Airystressfunction）齐次通解全解：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity应力函数表示示的相容方程程应力函数j(x,y)为双调和函数数。满足22=0相当于满足平平衡微分方程程和变形协调调条件，即满满足了平面问问题的八个基基本方程。求出j(x,y)后，可根据通通解求出应力力分量，如果果在边界上满满足应力边界界条件，则得得到的就是正正确解答。求出应力分量量后，由物理理方程求应变变分量，再由由几何方程求求位移分量。讨论：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity当体力为零时时：平面应变问题题：22=0为四阶偏微分分方程，直接接求解比较困困难，故常用用逆解法和半逆解法。逆解法：设定j(x,y)满足4=0半逆解法：面力解决的问题解决的问题边界形状受力情况j(x,y)4=0边界条件正确解答设定边界条件Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity§4－5逆解法和半逆解法一、平面问题题的多项式解解答－逆解法法（不计体力））不论弹性体何何种形状，不不论坐标轴如如何选择，线线性应力函数数对应于无面面力、无应力力的状态。在应力函数中中加上或减去去一个线性函函数并不影响响应力。满足22=0Prof,WangJXxy矩形板在y方向受均匀拉拉伸（压缩））。满足22=0边界条件：左右边界：上下边界：2a2aProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityxy矩形板在x方向受均匀拉拉伸（压缩））。满足22=0边界条件：左右边界：上下边界：2c2cProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityxy矩形板在四四周受布剪应应力作用。满足22=0边界条件：左右边界：上下边界：bbbbProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity矩形板受偏心心拉力作用。满足22=0边界条件：左边界：上下边界：h1xyo右边界：lFFProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity矩形板受纯弯弯曲作用。满足22=0左边界：上下边界：lh1xyo右边界：lxyo同一应力函数数在不同的坐坐标系中解决决的问题也不不同。Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity满足22=0边界条件：主边界（上下下边界）：h1自然满足。lxyo例：单位厚度度的矩形截面面梁，受到单单位厚度的力力偶矩M作用，试求应应力分量和位位移分量。MM应力分量：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity静力等效边界界条件（Saint-Venantprinciple）：把物体的一小小部分边界上上的面力，改改为具体分布布不同，但静静力等效的面面力，只影响响近处应力分分布，对远处处影响很小。。不满足。h1次边界：lxyoMM静力等效：主矢量相等、、主矩相等。。Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity主矢量相等：：不满足。h1次边界：lxyoMMydy主矩相等：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity应力分量：h1lxyoMMydy应变分量：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity位移分量：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity位移分量：位移边界条件件：lxyoMlxyMMoProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticitylxyMMo横截面保持为为平面－平截截面假设。曲率公式。挠度方程。Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity逆解法解题思思路：满足4=0确定待定常数数应变分量边界条件设定j(x,y)位移分量Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity§4－5逆解法和半逆解法二、简支梁受受均布载荷－－半逆解法材料力学已知知解弹性体的边界界受力情况量纲分析法j(x,y)4=0应变分量设定某一应力分量边界条件其它应力分量量是否正确解答位移分量？Prof,WangJX4=0受力分析：面力在y方向有变化，，例1：单位厚度的的矩形截面梁梁，受到均布布力作用，试试求应力分量量。解：（一））确定应力函函数：（不计体力））h1lxyoqlqlqlProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity（二）应力分量量：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity（三）确定待定定系数：h1lxyoqlqlql对称性：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityh1lxyoqlqlql边界条件：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityh1lxyoqlqlql应力分量：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityh1lxyoqlqlql应力分量：h=2l:d=27%h=l:d=6.7%2h=l:d=1.7%sxsytxyProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity4=0受力分析：面力在y方向有变化，，例2：单位厚度的的矩形截面梁梁，受到线性分布力作作用，试求应应力分量。解：（一））确定应力函函数：（不计体力））h1xyoql/3qlql/6Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity（二）应力分量：：xyoql/3qlql/6（三）边界条件件：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityxyoql/3qlql/6应力分量：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity4=0材料力学：例3：单位厚度的悬悬臂矩形截面梁梁，受集中力作作用，试求应力力分量和位移分分量。解：（一）确确定应力函数：：（不计体力）2h1xyolPxProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity（二）应力分量：：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity（三）利用边界条条件确定待定系系数：2h1xyolPxProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity2h1xyolPxProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity（四）应变分量：：（五）位移分量：：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityxyolPProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityxyolPProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity4=0受力分析：例3：单位厚度的悬悬臂矩形截面梁梁，受集中力作作用，试求应力力分量和位移分分量。解法（二）（不计体力）2h1xyolPxProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity应力函数不同，，但应力分量的的表达式相同。。Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityAB4－6边界上的j及其导数的力学学意义一、用应力函数数表示边界条件件FxFyndxdydsaxyxyFxFynABdxdydsaxyxy二、边界上的j及其导数考虑AB边界上面力的合合力和合力矩：：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityFxFynABdxdydsaxyxy三、边界上的j及其导数的力学学意义设：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityFxFynABdxdydsaxyxy三、边界上的j及其导数的力学学意义设：应力函数中一次次项不影响应力力分量称A为基点AB段面力合力在y方向的分量。AB段面力合力在x方向的分量。AB段面力对B点取矩的代数和和。＋Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity例1：单位厚度的矩矩形截面梁，受受均布力作用，，试求边界上的的应力函数及导导数，并求域内内的应力分量。。xyClqyBADqb解：选A为基点：ABBCCDDA000000设：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityxyClqyBADqb另解：选D为基点：ABBCCDDA000000基点不同，应力力函数不同，但但应力分量相同同。Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity例2：单位厚度的矩矩形截面梁，受受均布力作用，，试求边界上的的应力函数及导导数，并求域内内的应力函数、、应力分量、应应变分量、位移移分量。解：选C为基点：ABBCCDDA00-ty设：-tb-ty-txxyClqyBADqbtProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity应力分量：xyClqyBADqbt应变分量：位移分量：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity应力分量应变分量位移分量四、利用边界上上的j及导数的力学意意义求解平面问问题的思路选基点边界条件例3：单位厚度的悬悬臂矩形截面梁梁，受均布载荷荷q、集中力P和集中力偶M作用，试求应力力分量。（不计体力）2h1qxyolPMABCDProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity解：选A为基点：AB：CD：设：2h1xyolPMABCDxqProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity应力分量：边界条件：CD：2h1xyolPMABCDxqProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityAB：BC：2h1xyolPMABCDxqProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity应力分量：2h1xyolPMABCDxq解法（二）：选选C为基点：AB：CD：设：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity应力分量：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity边界条件：CD：2h1xyolPMABCDxqAB：BC：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity应力分量：2h1xyolPMABCDxqProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity一、用极坐标求求解的平面问题题圆筒、圆盘、扇扇形板．半平面面体．楔形体、、带孔物体。r(r,q),q(r,q),rq=qr(r,q)构件特特征：：应力分分量：：应变分分量：：位移分分量：：xyou(r,q),v(r,q)§4－7平面问问题的的极坐坐标解解法er,eq,grq=gqr(r,q)rqrqrqProf,WangJX平衡方方程二、基基本方方程几何方方程：：物理方程平面应应变问问题：：三、应应力函函数和和相容容方程程相容方方程（（应变变协调调方程程）应力分分量:应力函函数:j(r,q)（体力力为零零）Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity解题思思路：：设定j(r,q)半逆解解法：：应力分分量位移单单值条条件边界条条件满足4=0应变分分量位移分分量逆解法法：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity四、轴轴对称称应力力问题题结构与与受力力均关关于某某轴对对称，，应力力也关关于该该轴对对称。。满足22=0r,q,rq=qr(r)应力分分量：：轴对称称应力力问题题的应应力函函数Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity应力分分量：：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity应变分分量：：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity位移分分量：：将u和v带入剪剪应变变的式式中得得：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity讨论：：（1）应力力分量量中待待定系系数A、B、C需考虑虑应力力边界界条件件和位位移单单值条条件才才能确确定。。Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity（2）位移移分量量中待待定系系数H、I、K在应力力分量量与应应变分分量中中不出出现，，实为为应变变分量量等于于零时时的位位移，，即刚刚体位位移。。（3）应用用位移移边界界条件件可确确定位位移分分量中中待定定系数数H、I、K。当无刚刚体位位移时时：H＝I＝K＝0Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity应力分分量：：例：厚厚壁圆圆环受受内压压和外外压作作用，，求应应力分分量－－－典典型轴轴对称称应力力问题题。解：应应力力函数数：2aqbroqa2bProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity边界条条件：：2aqbroqa2bqb＝0：b∞：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityqa＝0：b∞：b＝2aqaqbqa0.67qa1.67qaqb1.67qb2.67qbProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity五、孔孔边应应力集集中问问题：：（一））四边边均匀匀拉伸伸板qqqq孔的半半径为为：axybqqsrtrqsr=qtrq=0b>>aProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity（二））二边边均匀匀拉伸伸、二二边均均匀压压缩孔的半半径为为：aqqqqxybqqsrtrqsr=qcos2qtrq=-qsin2qb>>aj=f(r)cos2qProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity边界条条件：：b>>aProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityqqqqqxysqq4q孔边应力：：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity（三））二边均均匀拉拉伸板板＝＋qq/2q/2q/2q/2Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityq孔边应力：：a3qqProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity（四））任意薄薄板在在边界界受任任意面面力＝＋Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity六、楔楔形体体在楔楔顶和和楔边边受力力问题题：（一））楔顶顶受集集中力力单位厚厚度的的楔体体，在在楔顶顶受单单位宽宽度上上的集集中力力P。OxybP半逆解解法（（量纲纲分析析法））qrProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityOxybPqr半逆解法法（应力力函数及及其