高等工科数学试卷等素材（主编金桂堂）第2章参考解答

PAGEPAGE2习题2.1A组观察并写出下列极限值：（1）；(2),()；（3）,()；（4）,()；（5）；（6）；（7）；（8）.解（1）；（2）因为当时，的绝对值无限增大，故数列无极限；（3）因为当时，在+1与之间震荡，故数列无极限；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.2.求极限：（1）；（2）；（3）.解（1）；（2）；（3）.证明函数在时极限不存在.证明,,因而,∴在时极限不存在.4.求下列无穷递缩等比数列的和：（1）；（2）；（3）.解（1）,∴.（2）,∴.(3),∴.5.设函数求为何值时，存在？解因为,,当且仅当时，存在.所以当时，存在.B组将下列循环小数化为分数：（1）；（2）.解（1）因为，可知，所以.（2）因为，可知，所以.2.设函数画出它的图像，并求当时的左右极限，从而说明在时，的极限是否存在.解,,因而,∴在时极限不存在.3.设函数，画出它的图像，并求当时的左右极限，从而说明在时，函数的极限是否存在.解,而,∴在时极限存在,且.4.已知一个无穷递缩等比数列各项的和为12，而各项的平方和为72，求这个数列的首项和公比，并写出这个数列的通项解设该数列首项为，公比为，由题意，得解得因而通项.习题2.2组1．指出下列变量，在的何种变化趋势下是无穷小？（1）；(2)；(3)；(4).解（1），∴当或时，为无穷小；(2)，∴当时，为无穷小；(3)，∴当时，为无穷小；(4)，∴当时,为无穷小.2.指出下列变量，在的何种变化趋势下是无穷大？（1）；（2）；（3）；（4）.解（1）,∴当时，为无穷大；(2)，，∴当或时，为无穷大；(3),∴当时，为无穷大；（4）；∴当时，为无穷大.3.当时，试确定下列无穷小对于的阶数.（1）；（2）；（3）.（1），∴当时，为的2阶无穷小；(2),∴当时，为的2阶无穷小；(3),∴当时，为的阶无穷小.4.计算下列函数的极限：(1)；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.解(1)∴；（2）；（3）∴；（4）∴；（5）∵当时，是无穷小量，是有界变量，∴；（6）∵当时，是无穷小量，是有界变量，∴；（7）.组1.当时，与是同阶无穷小还是等价无穷小？解.∴当时，与是同阶无穷小；2.当时，无穷小与是否同阶，是否等价？解，∴当时，～，即当时，无穷小与同阶，等价.3.证明：当时，是比较高阶的无穷小.证明，∴当时，是比较高阶的无穷小.习题2.3组1.(1)；（2）；（3）；(4)；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）.解(1)；（2）；（3）∴；(4)；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）.2.已知，求和的值.解（1），又，∴，即，将其带入（1）式，得，即，∴.3.求下列函数的极限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.解（1）；（2）；（3），∴；（4）；（5）；（6）.组由已知条件确定的值：（1）；（2）.解（1）由题设知，分子必须是的零次多项式，即得，.(2)由题设知，分子必须是的零次多项式，即得，当时，；当，.2．设，求下列极限：（1）；（2）；（3）；（4）.解（1）；(2)；（3），∴；（4）.3.设存在，不存在，证明不存在.证明：反证法若存在，则存在，与题设矛盾，故不存在.习题2.4组求下列函数的极限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）.解（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6），令，当时，，于是；（7）；（8）；（9）；（10）.2.求下列函数的极限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.解（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.组计算：（1）；（2）；（3）提示：.解（1）；（2）；（3）.若，试确定的值.解（1），又，∴，即，将其带入（1）式，得，即，∴.3.证明：当时，～.证明∵当时，～，～，由定理2.3，得，∴～.习题2.5组求函数在任意正值及其任意改变量时的增量.解.2.指出下列函数的间断点，并说明是第几类间断点，是可去间断点的，设法使其变成连续函数：（1）；（2）；（3）；（4）（5）；（6）.解（1），∴是第二类间断点；(2),∴是第一类间断点；，∴，∴是第二类间断点；（3）解∵,,∴不存在.∴是第一类不可去间断点；（4）∵,,∴.∴是第一类可去间断点.补充定义，则函数成为连续函数；（5），∴是第一类可去间断点.补充定义，则函数成为连续函数；（6）∵,,∴不存在.∴是第一类不可去间断点.3．下列函数在分界点处是否连续（1）；（2）；（3）.解（1）∵,,∴，且，.∴在处连续；（2）∵,，∴.∴在处连续；（3）∵,,∴不存在.∴在不连续.4.证明方程在内至少有一个实根.证明令函数，显然在上连续，又，与两者异号，由零点定理知，至少有一点使.命题得证.组设，试问补充定义可使在点连续.解∵，∴应补充定义可使在点连续.设在定义域内连续，求的值.解由初等函数的连续性可知，当和时函数是连续的，且在处有定义，∵，,要使函数在处连续，由函数的连续性可得,∴.求极限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.解（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.复习题组填空题：设，则；当时，是无穷大；（3）；（4）如果函数在点处连续，那么极限；（5）函数的间断点是___________.解（1）令,则.于是，，则；（2∵，∴当1时，是无穷大；（3）；（4）∵函数在点处连续，∴,即；（5）∵，，当时，函数无定义，故函数的间断点是.2.求下列函数的极限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）.解（1）；(2)∵∴；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）∵当时，是无穷小量，是有界变量，∴；（11）；（12）∵～，～，∴；（13）；（14）令，则，当时，，于是；（15）.组1.设函数，问当取何值时，存在？解∵,,当且仅当时,存在，∴时，存在.2.适当选取的值，使下面的函数为连续函数：.解