全国百校名校2021届高考数学联考试卷(理科)(六)

全国百校名校届高考数学联考试卷理科)(六)一、单选题（本大题共12小题共60.0分）

已知集合，x，为实数，且x2y2，，x，为实数，且yx，A元素个数

B.

C.

D.

在复平面内，复数z对的点的坐标则等

B.

C.

D.

文科某学有学生3000人其中高一、高三学生的人数是1人人为了解学生的视力情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个的样本，则样本中高一、高二学生的人数共有人

B.

C.

D.

已知函数

是定义在上的偶函数，且在区间

单调递增若数满

函数(

，则的值范围是)B.D.的单调递增区间(C.

，，

B.D.

，，

已知集2从中各取任意一个数这数之和等于概率是，则这两数之和等于概率

B.D.

若Meq\o\ac(△,)𝐴的心为意一点，

，则

B.

C.

D.

曲线𝑙𝑥

2

在处切线的斜角为，

𝜋2

的为

B.

C.

D.

2𝑛𝑛2𝑛𝑛

已知，，

的最小值是

B.

D.

抛线2的准线方程是

B.

16

C.

D.

16已等腰直角三角形中E分为AC的中点，沿eq\o\ac(△,)折直二面如图，则四棱锥的接球的表面积B.C.D.

若等式

对一切正数、y恒立，则正数a的小值为

；

B.

；

C.

；

D.

；二、单空题（本大题共4小题，20.0分如所示，函数，则

的图象在点P处切线方程是

除以13所得余数为______．设和是曲线

2

的个焦点在曲线上且满足，eq\o\ac(△,)𝐹22的面积是．文等数{的首项，，𝑛𝑛𝑛求𝑛

和

的前n𝑛

；若|+|，𝑛2𝑛𝑛

；设

𝑛

𝑛𝑛+1

，求数

的前n项和𝑛

．三、解答题（本大题共7小题，82.0分

已eq\o\ac(△,)𝐴的角分别是其对边𝑐𝑖，Ⅰ求A的小；Ⅱ若，

，求

长．如，直三棱

底面是等腰三角侧垂直于面的棱柱叫直棱柱，证：平；证平面D.

，是线

的中点．某大型抽奖活动，分两个环节进行：第一环节从0000人中随机抽取10人中奖者获得奖金并得第二环节抽奖资格第二环节在取得资格的人每独立通过电脑随机产生两个数x2，按如图运行相应程序．若电脑显示“中奖”，则该抽奖者获得元金；若电脑显示“谢谢”，则不中奖．已甲在第一环节中奖，求甲在第二环节中奖的概率；若参加了此次抽奖活动，求乙在此次活动中获得奖金的期望．

2𝑥2𝑥已椭圆2

𝑦𝑏

22

𝑎𝑏的两个点分别，，心率为，过的线l

与椭圆于M，两点，eq\o\ac(△,)的周长为．求圆C的方程；若𝑦=𝑥+𝑏与圆分别交于AB点且试问点到线的离是否为定值，证明你的结论．已函𝑥)𝑥3𝑎𝑥𝑎当𝑎时求函数𝑥)的极值求𝑥)在上的最小值．在角坐标系xOy中曲线C的数方程为

𝑥𝑦=𝑡

为数，点−，若以直角坐标系的O点极点x轴方向为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系．求线AB的坐方程；求线AB与线点的极坐标．设数(𝑥)𝑥|𝑥𝑎|，a𝑏Ⅰ当𝑎时，讨论函数𝑥)的零点个；Ⅱ若于给定的实𝑎𝑎实数于任意实数𝑥不等求实数取值范围．

恒成立，

．22．22【答案与析】1.答：解：一：解方程组

得

或

所以法二圆xC项

．2 的心在线，故直线x与x2 2有个交点故2.

答：D解：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题．由题意求得z，进一步得到，由复数模的计算公式求解．解：由题意2，则√3故选：D3.答：解：：高一、高二学生的人数与学校总人数之比等于

2

，故样本中高一、高二学生的人数与样本容量之比为，，故选C．先求出高一、高二学生的人数与学校总人数之比，此比值就等于样本中高一、高二学生的人数样本容量之比，故用样本容量乘以此比值，即得所求．本题主要考查分层抽样的定义和方法，各个部分的个体数之比等于各个部分对应的样本数之比属于基础题．4.

答：D

22解：题分析：因为函数

是定义在的偶函数，又因为.所由可得

.区

单调递增且为偶函数所

.故．考点：对数的运.数的奇偶性、单调.数结合的数学思想．5.答：A解：：

4

的定义域为，

(22

，令可或，故函数(的调递增区间(，．故选：A．对函数求导，然后结合导数与函数单调性的关系即可求解．本题考查函数的单调区间的求解，解题的关键是导数的应用．6.

答：解：：从，中各取任意一个数共种法，而两数之和为4的有，两方法，故所求的概率为：．故选C．7.

答：D解：：如图，

(

𝑛𝑛3，，所以𝑛𝑛3，，所以𝑛，；3𝑛．故选：D可作出图形，从而有

，而

(向减法的几3何意义便可以得𝑛

𝑛定理便可得到33

，从而便可得出值．考查向量加法、减法及数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，以及平面向量基本定理8.

答：D解：本题考查了导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率，三角恒等变换，属于基础题．曲线在处切的倾斜角，入即可．

′

𝑛再利用三角恒等变换化弦为切，𝑛代解：依题意

′

222所以

𝜋2

𝑛2

𝑛𝑛

𝑛

325故选：D9.

答：解：，，立．

当且仅当时号成10.

答：A解：：抛物

2

，即

2

，物线的直线方程为，故选：A．利用抛物线方程，直接求出准线方程即可．

55本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．11.

答：D解：：取的中点M，的点N则等腰，D分为，的点，沿DEeq\o\ac(△,)𝐴折直面角沿DEeq\o\ac(△,)𝐴折直面角后，四棱锥−𝐷的接球的球心在和AM平的直上设四棱的接球的半径为R，球心到的离为d则，

，

解得：

，故四棱的接球的表面积为

，故选：D取DE中点MBC的点N则四棱的接球的球心在上利用勾股定理，求出半径，可得答案．本题考查的知识点是球的体积与表面积，难度中档．12.答：解：题分析不式

对切正数、y恒立

．令

，，．令

，

，

′

，令𝑔，得

，可知当

时，𝑔(取得极大值即最大值，

)

，故a的小值为故选C考点：恒成立问题的等价转化、利用导数研究函数的单调性极值与最值等基础知识与基本技能法13.

答：2解试分析图导数的几何意义知考点：本题考查了导数的几何意义

点评：函数14.答：

在

的导数值即是过点

所作该函数所表示的曲线切线的斜率解：：

0

⋅

⋅(

0

⋅

⋅(

⋅⋅(⋅⋅⋅0⋅201520150

⋅⋅(0⋅⋅(⋅(20152015

，因为每一项都有，且能被除，故则

被13除，除以13所得余数为12故答案为：．根据二项式定理

展后即可判断．本题考查了数的整除问题，利用二项式定理是关键，属于中档题．15.

答：：，据双曲线性质可，，，，故答案为1解：路分析：

𝑛𝑛𝑛(𝑛𝑛𝑛557(𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑛𝑛𝑛557(𝑛𝑛．解：，根据双曲线性质可，，，，故答案为1点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．要灵活运用双曲线的定义及焦距、实轴、虚轴等之的关系16.答：：等数列{

的首项𝑎，，公差为，则，得𝑛𝑛．𝑛𝑛𝑛𝑛数列

的前n𝑛𝑛

．令𝑛−，得𝑛5．𝑛𝑛5时，𝑛𝑛𝑛𝑛

．𝑛时𝑛𝑛𝑛5𝑛𝑛．综上可得：

𝑛𝑛,𝑛10𝑛𝑛≥

．𝑐𝑛

𝑛𝑛+1

𝑛+1)(2𝑛+3)

𝑛+3

，数列

的前n)𝑛

𝑛+1

𝑛+3

𝑛．𝑛+3解利等差数列的通项公式可用等差数列的求和公式可得数

的前𝑛

．令𝑛−，𝑛≤𝑛5时𝑛时𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛5𝑛𝑛

．𝑐𝑛

𝑛𝑛+1

𝑛+1)(2𝑛+3)𝑛+1

，用“裂项求和”方法即可出．本题考查了数列递推关系、“裂项求和”方法、等差数列的通项公式与求和公式、分类讨论方，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

𝜋，𝜋6𝑏√6𝜋𝜋𝜋5𝜋𝑏𝑖𝜋，𝜋6𝑏√6𝜋𝜋𝜋5𝜋𝑏𝑖17.

答𝑐⋅⋅，即𝑖

，𝐴．62由于𝜋，

𝜋𝜋5𝜋66

，𝜋𝜋𝜋6

．Ⅱeq\o\ac(△,)中，，，，𝑖．由正弦定理知：𝑖𝐵

，𝑏

3√3

2

．2解：题主要考查正弦定理、同角三角函数之间的关系、两个量垂直的性质及两个向量的数量积公式的应用，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．Ⅰ根据可，简得到.再可得62666

，从而得到

𝜋𝜋66

，由此求得A的；Ⅱ利同角三角函数的基本关系求出sinB值，由正弦定理，𝑏𝑖𝑖果．

，运算求得结18.

答：明面面，面

，平面，面，面平面连交𝐶

于，连结，，O分是面，

的点，面

D解：先明

平，用线面垂直的判定定理证明出平面连交𝐶

于明

线平行的判定定理证明面

D本题主要考查了线面平行，线面垂直的判定定理的应用．证明面面垂直的重要方法就是先找到面垂直．

⋅⋅，，𝑐𝑏222𝑥𝑦𝑥𝑥22⋅⋅，，𝑐𝑏222𝑥𝑦𝑥𝑥22，𝑥，𝑥19.

答解从1三个数字中有重复取2个字基事件，，，，共9个设“甲在第二环节中奖”为事件A，则事件A包的基本事件，，2，

．Ⅱ设参加此次抽奖活动获得奖金为X元则的可能取值为，1000…分

．的布列为X

P

解：确定从，，3三数字中有重复取数字的基本事件，甲在第二环节中奖的基本事件，即可求得概率；Ⅱ确乙参加此次抽奖活动获得奖金的取值，求出相应的概率，可得分布列与数学期望．本题考查概率的计算，考查分布列与期望的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．20.

答：：由意知，，，由椭圆离心√，则𝑏2

．椭的方程；由意，当直线的斜率不存在时，此时可设𝐴(𝑥,𝑥，𝑥,𝑥又A，两点椭圆上，00𝑥，点到线的√，当直线AB的率存在时，设𝑥𝑦，𝑥,𝑦)𝑦=𝑥𝑏联立方22，去y得

𝑥𝑏𝑥𝑏．由已，𝑥

𝑏𝑏2由，则𝑥𝑥𝑦𝑦，即𝑥𝑥𝑏)(𝑥𝑏)，整理得

𝑥𝑥𝑏(𝑥𝑥

，

222221𝑐𝑏2222221𝑐𝑏2

2

4𝑏2

8𝑏2

𝑏2

．𝑏2

2

，．点到线的

2

122

为定值．综上可知：点到线AB的为定值．解：由意可知：8，，可求得b的，求得椭圆方程；22分讨论，当直线斜率存在时，利用韦达定理及向量数积的坐标运算，求得b和k的系利用点到直线的距离公式，即可求得点O到直线AB的距离是否为定值．本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量的坐标运算，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．21.答：解当时

3

3

2

3(⋅如下：x

单增

极大值

单减

极小值

单增故极值1或．(2)3

2

2

当时在恒立，在单增函数的小值为；，

或

，𝑎]

，为，为增当𝑎单所小值3；当𝑎即减后增最√

3

𝑎2⋅；综上，时，最值，，最小2，，最．解：求值和最问题通常利用求导，根据导函数等于零，再判断是否是极值点，求出原函数的单调性，进而求最值．要上最小值，需求导利用单调性来求，必须对参数论a的取值范围同，在所求区间上的单调性不同，最小值时的自变量也不同．

,)𝜋,)𝜋本题考查函数的极值最值问题，先根据参数的取值不同，得函数的单调区间，再求最值，属于难度题．22.

答：：由点，，所以直线的角坐标方程为

，分化为极坐标方程是：𝑖𝜃分曲C的参数方程是

𝑡

为数，消去参数，化为普通方程是

；分由

，解得

，即交点的直角坐标为

；分化为极坐标是：

,分解：由、B写直线AB的角坐标方程，再化为极坐标方程即可；把线C的参数方程化为普通方程，求出直线与曲线的交点，再化为极坐标即可．本题考查了直角坐标与参数方程和极坐标的互化问题，是综合性题目．23.

答：：

𝑥𝑥

，，当时，𝑥在上解在上恰有一解；当时

𝑥在上有一解

𝑥在上有一解；当时，

𝑥在恰一解，

，

在上无解；若eq\o\ac(△,)

则𝑥在上恰有一解；𝑥在上有两个不同解；综上，的件下，当当或

时函数有一个零点；时函有两个零点；当

2

时函有个零点．Ⅱ记

，原问题等价于：时，

𝑚𝑥

．𝑚

1时，2𝑎−1𝑎2𝑎−1𝑎221𝑎𝑎+1𝑎𝑎+12𝑚𝑎𝑎𝑎𝑎224𝑎+1−2𝑎1211时，2𝑎−1𝑎2𝑎−1𝑎221𝑎𝑎+1𝑎𝑎+12𝑚𝑎𝑎𝑎𝑎224𝑎+1−2𝑎1212,(𝑎≤．2𝑎𝑎1𝑚𝑎122．𝑎+111最大实