2022-2023学年广东省梅州市大埔县广德中学九年级（下）开学数学试卷(含解析)

2022-2023学年广东省梅州市大埔县广德中学九年级（下）开学数学试卷一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。1．方程x2﹣4＝0的两个根是（）A．x1＝2，x2＝﹣2 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x1＝2，x2＝02．菱形的一个内角是60°，边长是5cm，则这个菱形的较短的对角线长是（）A． B．5cm C． D．3．如图，将图形用放大镜放大，这种图形的变化属于（）A．平移 B．相似 C．旋转 D．对称4．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：2，BC＝6，BE的长为（）A．14 B．10 C．8 D．45．如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体A放到小正方体B的正上方，则它的（）A．从正面看到的形状图会发生改变 B．从上面看到的形状图会发生改变 C．从左面看到的形状图会发生改变 D．从三个不同方向看到的形状图都不会发生改变6．在水平的讲台桌上放置圆柱形笔筒和长方体形粉笔盒（如图），则它的主视图是（）A． B． C． D．7．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝在第一象限的图象如图所示，下列数值中，可能是k值的为（）A．﹣3 B．2 C．4 D．68．已知反比例函数y＝﹣，则下列结论正确的是（）A．点（1，2）在它的图象上 B．其图象分别位于第一、三象限 C．y随x的增大而增大 D．如果点P（m，n）在它的图象上，则点Q（n，m）也在它的图象上9．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a2﹣1＝0的一个根为0，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．10．如图，△ABC中，∠C＝80°，AC＝4，BC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，按下面四种方式剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（）A．①②③ B．②③④ C．①② D．④二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。11．若函数是反比例函数，则m＝．12．已知：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P为AB上任意一点，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，则EF的最小值是．13．甲、乙两位同学各抛掷一枚质地均匀的骰子，他们抛掷的点数分别记为a、b，则a+b＝9的概率为．14．在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25附近，则估计口袋中白球大约有个．15．如图，P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点．若AB＝6，AD＝8，则四边形ABPE的周长是．16．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，折叠矩形ABCD，使点B与点D重合，则BF的长为．17．已知关于x的方程x2+mx+5＝0的一个解是x＝1，则m＝．三、解答题：第18，19.20小题6分，第21，22，23小题9分，第24，25小题10分。18．已知，求的值．19．解方程：（2x+1）2﹣（x﹣3）2＝0．20．如图，AB＝3AC，BD＝3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．求证：△ABD∽△CAE．21．1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈!这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米（x＞0）的反比例函数，其图象如图所示．请根据图象中的信息解决下列问题：（1）求y与x之间的函数表达式；（2）当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为米；（3）若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是多少厘米？22．一天晚上，哥哥和弟弟拿两根等长的标杆AB，CD直立在一盏亮着的路灯下，然后调整标杆位置，使它们在该路灯下的影子BE，DF恰好在一条直线上（如图所示）．（1）请在图中画出路灯灯泡P的位置；（2）哥哥和弟弟测得如下数据：AB＝CD＝1.6米，BE＝1米，DF＝2米，两根标杆的距离AC＝BD＝3.6米，且AC∥BD，请你根据以上信息计算灯泡P距离地面的高度．23．如图，为美化环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．（1）用含a的式子表示花圃的面积；（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽．24．在正方形ABCD中，点P是射线CB上一个动点，连接PA，PD，点M、N分别为BC、AP的中点，连接MN交PD于点Q．（1）如图1，当点P与点B重合时，△QPM的形状是；（2）当点P在线段CB的延长线上时，如图2．①依题意补全图2；②判断△QPM的形状并加以证明；（3）点P′于点P关于直线AB对称，且点P′在线段BC上，连接AP′，若点Q恰好在直线AP′上，正方形ABCD的边长为2，请写出求此时BP长的思路（可以不写出计算结果）．25．如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点．（1）问题解决：如图①，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是，位置关系是；（2）问题探究：如图②，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．判断△PQB的形状，并证明你的结论；（3）拓展延伸：如图③，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到的三角形，连接BO'，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．若正方形ABCD的边长为1，求△PQB的面积．

参考答案一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。1．方程x2﹣4＝0的两个根是（）A．x1＝2，x2＝﹣2 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x1＝2，x2＝0【分析】首先移项，再两边直接开平方即可．解：移项得：x2＝4，两边直接开平方得：x＝±2，则x1＝2，x2＝﹣2，故选：A．【点评】此题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．2．菱形的一个内角是60°，边长是5cm，则这个菱形的较短的对角线长是（）A． B．5cm C． D．【分析】一个内角是60°，则与它相邻的角为120°，则较短对角线与两边组成等边三角形．解：因为菱形的四边相等，当一个内角是60°，则较短对角线与两边组成等边三角形．所以这个菱形的较短的对角线长是5cm．故选：B．【点评】此题考查了菱形四边都相等的性质及等边三角形的判定，属基础题．3．如图，将图形用放大镜放大，这种图形的变化属于（）A．平移 B．相似 C．旋转 D．对称【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选：B．【点评】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．4．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：2，BC＝6，BE的长为（）A．14 B．10 C．8 D．4【分析】利用平行线分线段成比例定理求出CE，可得结论．解：∵AB∥CD∥EF，∴＝＝，∵BC＝6，∴CE＝4，∴BE＝BC+CE＝6+4＝10．故选：B．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．5．如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体A放到小正方体B的正上方，则它的（）A．从正面看到的形状图会发生改变 B．从上面看到的形状图会发生改变 C．从左面看到的形状图会发生改变 D．从三个不同方向看到的形状图都不会发生改变【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．解：如果将小正方体A放到小正方体B的正上方，则它的主视图会发生改变，俯视图和左视图不变．故选：A．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图．6．在水平的讲台桌上放置圆柱形笔筒和长方体形粉笔盒（如图），则它的主视图是（）A． B． C． D．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．解：从正面看易得左边有1个高的长方形，右边有一个矮的长方形．故选：B．【点评】本题主要考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，难度适中．7．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝在第一象限的图象如图所示，下列数值中，可能是k值的为（）A．﹣3 B．2 C．4 D．6【分析】根据函数图象确定k的取值范围．解：如图所示，反比例函数的图象位于第一象限，则k＞0．又∵1×3＜k＜2×3，即3＜k＜6．∴观察选项，只有选项C合题意．故选：C．【点评】考查了反比例函数的图象，根据函数图象确定k的符号以及k的取值范围是解题的难点．8．已知反比例函数y＝﹣，则下列结论正确的是（）A．点（1，2）在它的图象上 B．其图象分别位于第一、三象限 C．y随x的增大而增大 D．如果点P（m，n）在它的图象上，则点Q（n，m）也在它的图象上【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质解答．解：A、将x＝1代入y＝﹣得到y＝﹣2≠2，∴点（1，2）不在反比例函数y＝﹣的图象上，故本选项错误，不符合题意；B、因为比例系数为﹣2，则函数图象过二、四象限，故本选项错误，不符合题意；C、由于函数图象在二、四象限，则当x≥0时，y随x的增大而增大，故本选项错误，不符合题意．D、如果点P（m，n）在它的图象上，则点Q（n，m）也在它的图象上，故本选项正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟悉反比例函数的图象是解题的关键．9．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a2﹣1＝0的一个根为0，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．【分析】把x＝0代入方程x2﹣x+a2﹣1＝0得到一个关于a的方程，求出方程的解即可．解：把x＝0代入方程x2﹣x+a2﹣1＝0得：a2﹣1＝0，∴a＝±1．故选：C．【点评】本题主要考查对一元二次方程的解，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能得到方程a2﹣1＝0是解此题的关键．10．如图，△ABC中，∠C＝80°，AC＝4，BC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，按下面四种方式剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（）A．①②③ B．②③④ C．①② D．④【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．解：①阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；②阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；③4﹣1＝3，6﹣4＝2，＝，两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似；④两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似．故选：A．【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。11．若函数是反比例函数，则m＝3．【分析】根据反比例函数的一般形式：x的次数是﹣1，且系数不等于0，即可求解．解：根据题意得：，解得：m＝3．故答案是：3．【点评】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式（k≠0）转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式．12．已知：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P为AB上任意一点，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，则EF的最小值是2.4．【分析】根据已知得出四边形CEPF是矩形，得出EF＝CP，要使EF最小，只要CP最小即可，根据垂线段最短得出即可．解：连接CP，如图所示：∵∠C＝90°，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，∴∠C＝∠PFC＝∠PEC＝90°，∴四边形CEPF是矩形，∴EF＝CP，要使EF最小，只要CP最小即可，当CP⊥AB时，CP最小，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得：AB＝5，由三角形面积公式得：×4×3＝×5×CP，∴CP＝2.4，即EF＝2.4，故答案为：2.4．【点评】本题利用了矩形的性质和判定、勾股定理、垂线段最短的应用，解此题的关键是确定出何时，EF最短，题目比较好，难度适中．13．甲、乙两位同学各抛掷一枚质地均匀的骰子，他们抛掷的点数分别记为a、b，则a+b＝9的概率为．【分析】利用列表法即可解决问题．解：甲、乙两位同学各抛掷一枚质地均匀的骰子，所有可能的结果是：满足a+b＝9的有4种可能，∴a+b＝9的概率为＝，故答案为．【点评】本题考查的是古典型概率．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．14．在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25附近，则估计口袋中白球大约有15个．【分析】由摸到红球的频率稳定在0.25附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可．解：设白球个数为：x个，∵摸到红色球的频率稳定在0.25左右，∴口袋中得到红色球的概率为0.25，∴＝，解得：x＝15，即白球的个数为15个，故答案为：15．【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．15．如图，P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点．若AB＝6，AD＝8，则四边形ABPE的周长是18．【分析】由矩形的性质得出∠ABC＝90°，CD＝AB＝6，BC＝AD＝8，由勾股定理求出AC，由直角三角形斜边上的中线性质得出BP，证明PE是△ACD的中位线，由三角形中位线定理得出PE＝CD＝3，四边形ABPE的周长＝AB+BP+PE+AE，即可得出结果．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，CD＝AB＝6，BC＝AD＝8，∴AC＝＝10，∴BP＝AC＝5，∵P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点，∴AE＝AD＝4，PE是△ACD的中位线，∴PE＝CD＝3，∴四边形ABPE的周长＝AB+BP+PE+AE＝6+5+3+4＝18；故答案为：18．【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质、三角形中位线定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．16．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，折叠矩形ABCD，使点B与点D重合，则BF的长为．【分析】由折叠性质得BF＝DF，AF＝AB﹣BF＝AB﹣DF＝4﹣DF，由矩形的性质得出∠A＝90°，AD＝BC＝3，由勾股定理得出方程，解方程即可得出结果．解：由折叠性质得：BF＝DF，AF＝AB﹣BF＝AB﹣DF＝4﹣DF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD＝BC＝3，∴AD2+AF2＝DF2，即：32+（4﹣DF）2＝DF2，解得：DF＝，∴BF＝，故答案为：．【点评】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质，运用勾股定理得出方程是解题的关键．17．已知关于x的方程x2+mx+5＝0的一个解是x＝1，则m＝﹣6．【分析】把x＝1代入方程x2+mx+5＝0得1+m+5＝0，然后解关于m的方程即可．解：把x＝1代入方程x2+mx+5＝0得1+m+5＝0，解得m＝﹣6．故答案为﹣6．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．三、解答题：第18，19.20小题6分，第21，22，23小题9分，第24，25小题10分。18．已知，求的值．【分析】令（也可直接等于），则x＝2k，y＝3k，z＝4k．代入所求的代数式后，通过约分求值即可．解：令（也可直接等于），则x＝2k，y＝3k，z＝4k．∴．【点评】考查了比例的性质，注意题中参数k的使用方法．19．解方程：（2x+1）2﹣（x﹣3）2＝0．【分析】分解因式，转化为一元一次方程后解答．解：（2x+1）2﹣（x﹣3）2＝0，分解因式得，（2x+1+x﹣3）（2x+1﹣x+3）＝0，即3x﹣2＝0，x+4＝0，解得，x1＝，x2＝﹣4．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣﹣因式分解法，熟悉掌握解方程的方法是解题的关键．20．如图，AB＝3AC，BD＝3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．求证：△ABD∽△CAE．【分析】由平行线的性质可得∠EAC＝∠ABD，由线段关系可得，可得结论．【解答】证明：∵BD∥AC，∴∠EAC＝∠ABD，∵AB＝3AC，BD＝3AE，∴，∴△ABD∽△CAE．【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．21．1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈!这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米（x＞0）的反比例函数，其图象如图所示．请根据图象中的信息解决下列问题：（1）求y与x之间的函数表达式；（2）当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28米；（3）若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是多少厘米？【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为y＝，解方程即可得到结论；（2）把x＝0.5代入反比例函数的解析式即可得到结论；（3）根据题意列不等式即可得到结论．解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝，∴7＝，∴k＝14，∴y与x之间的函数表达式为y＝；（2）当x＝0.5时，y＝＝28米，∴当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28米；（3）当y≥35时，即≥35，∴x≤0.4，∴某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是0.4厘米，故答案为：28．【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确的理解题意是解题的关键．22．一天晚上，哥哥和弟弟拿两根等长的标杆AB，CD直立在一盏亮着的路灯下，然后调整标杆位置，使它们在该路灯下的影子BE，DF恰好在一条直线上（如图所示）．（1）请在图中画出路灯灯泡P的位置；（2）哥哥和弟弟测得如下数据：AB＝CD＝1.6米，BE＝1米，DF＝2米，两根标杆的距离AC＝BD＝3.6米，且AC∥BD，请你根据以上信息计算灯泡P距离地面的高度．【分析】（1）作射线EA和射线FC，交于点P，即为所求；（2）由AC∥EF可得△PAC∽△PEF，据此知＝，将相关线段的长度代入计算可得．解：（1）如图所示，点P即为所求．（2）过点P作PN⊥EF于点N，交AC于点M，∵AC∥BD，∴PM⊥AC，∵AB∥CD，且AB⊥EF，∴四边形ABDC和四边形ABNM是矩形，则MN＝AB＝1.6，∵AC∥EF，∴△PAC∽△PEF，∴＝，即＝，解得：PN＝3.52．答：灯泡P距离地面的高度为3.52米．【点评】本题主要考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是掌握中心投影的定义和性质及相似三角形的判定与性质等知识点．23．如图，为美化环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．（1）用含a的式子表示花圃的面积；（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽．【分析】（1）用含a的式子先表示出花圃的长和宽后利用其矩形面积公式列出式子即可；（2）根据通道所占面积是整个长方形空地面积的，列出方程进行计算即可；解：（1）由图可知，花圃的面积为（40﹣2a）（60﹣2a）；（2）由已知可列式：60×40﹣（40﹣2a）（60﹣2a）＝×60×40，解得：a1＝5，a2＝45（舍去）．答：所以通道的宽为5米．【点评】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是表示出花圃的长和宽．24．在正方形ABCD中，点P是射线CB上一个动点，连接PA，PD，点M、N分别为BC、AP的中点，连接MN交PD于点Q．（1）如图1，当点P与点B重合时，△QPM的形状是等腰直角三角形；（2）当点P在线段CB的延长线上时，如图2．①依题意补全图2；②判断△QPM的形状并加以证明；（3）点P′于点P关于直线AB对称，且点P′在线段BC上，连接AP′，若点Q恰好在直线AP′上，正方形ABCD的边长为2，请写出求此时BP长的思路（可以不写出计算结果）．【分析】（1）连接AC，由正方形的性质得到∠DBC＝45°，再求出∠BQM＝90°，根据等腰直角三角形的判定即可解答；（2）①根据题意补充图形即可；②△QPM的形状是等腰三角形，延长BC至E，使CE＝BP，连接AE，证明△DCP≌△ABE，得到∠DPC＝∠E，再证明MN∥AE，得到∠NMP＝∠E，通过等量代换得到∠DPC＝∠NMP，根据等角对等边得到QM＝QP，即可解答．（3）利用相似三角形的性质定理和判定定理、对称的性质，写出解题思路．解：（1）如图1，连接AC，∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∠DBC＝45°，∵点M、N分别为BC、AP的中点，∴MN∥AC，∴∠BQM＝∠BOC＝90°，∴∠QMB＝45°，∴△QPM是等腰直角三角形，故答案为：等腰直角三角形．（2）①如图2，②△QPM的形状是等腰三角形，如图3，延长BC至E，使CE＝BP，连接AE，∵PB＝CE，∴PB+BC＝CE+BC，即CP＝BE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°，在△DCP和△ABE中，∴△DCP≌△ABE，∴∠DPC＝∠E，∵M为BC的中点，∴MB＝MC，∴MB+BP＝MC+CE，即MP＝ME，∴M为PE的中点，∵N为AP的中点，∴MN∥AE，∴∠NMP＝∠E，∴∠DPC＝∠NMP，∴QM＝QP，∴△QPM是等腰三角形．（3）求解思路如下：a，由题意画出图形，并延长BC至E，使CE＝BP，连接AE，如图4．b，由（2）可得QM∥AE，可证．c，由PP′∥AD，可证△P′PQ∽△ADQ，从而．d，可得．e，由点P′与点P关于直线AB对称，得到BP′＝BP＝CE，设BP′＝BP＝CE＝x，由AD＝BC＝2，可分别表示P′M，ME，P′P，可求BP的长．【点评】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定、相似三角形的性质定理与判定定理、全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是作出辅助线．25．如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点．（1）问题解决：如图①，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是PQ＝BO，位置关系是PQ⊥BO；（2）问题探究：如图②，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．判断△PQB的形状，并证明你的结论；（3）拓展延伸：如图③，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到的三角形，连接BO'，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．若正方形ABCD的边长为1，求△PQB的面积．【分析】（1）由正方形的性质得出BO⊥AC，BO＝CO，由中位线定理得出PQ∥OC，PQ＝OC，则可得出结论；（2）连接O'P并延长交BC于点F