人教版A版（2022）高中数学必修第二册：第八章立体几何初步综合测试（含答案与解析）

第八章综合测试一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则2.如图，是水平放置的的直观图，，，则的面积是（） B.C. 3.是的斜边，，，则图8-7-37中直角三角形的个数是（）4.如图，在正方体中，点，分别是线段和上不重合的两个动点，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.5.已知一个多面体的内切球的半径为1，多面体的表面积为18，则此多面体的体积为（） D.6.如图8-7-39所示，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，为侧棱上的两点，且，则多面体的体积为（） 7.如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为2，的中点为，一只蚂蚁从盒外的点沿正方形的表面爬到盒内的点，则蚂蚁爬行的最短距离是（）A. C. D.8.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，则下列结论中错误的是（）A.B.C.三棱锥的体积为定值D.的面积与的面积相等9.如图8-7-42，在长方体中，，则下列结论中不正确的是（）A.B.C.D.10.如图，在长方体中，，是的中点，，设过点，，的平面与平面的交线为，则直线与直线所成角的正切值为（） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上）11.如图所示，正方形的边长为，沿对角线将折起，若，则二面角的平面角的大小为________.12.在正三棱锥中，，，，分别为，的中点.平面过点，，，则异面直线和所成角的余弦值为________.13.如图，一个实心六角螺帽毛坯（正六棱柱）的底边长为4，高为3，若在中间竖直钻一个圆柱形孔后，其表面积没有变化，则孔的半径为________.14.如图8-7-46，直角梯形中，，，于点.已知，.若将直角梯形绕直线旋转一周，则图中阴影部分所得旋转体的体积为________.三、解答题（本大题共4小题，共50分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.[12分]如图所示，一个圆锥形的空杯子（只考虑杯身部分）上放着一个直径为8cm的半球形冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子（杯口直径等于半球形冰淇淋的直径，杯壁厚度忽略不计），使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计才能使其所用材料面积最小？并求面积的最小值.16.[12分]在四面体中，，分别是线段，的中点，，分别是线段，上的点，且.求证：（1）四边形是梯形；（2），，三条直线相交于同一点.17.[13分]在如图所示的多面体中，，，，，，，，是的中点。求证：（1）；（2）.18.[13分]如图，已知直角梯形所在的平面垂直于平面，，，.（1）在直线上是否存在一点，使得？请证明你的结论.（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

第八章综合测试答案解析一、选择题1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】A4.【答案】A5.【答案】C【解析】连接球心与多面体的各个顶点，把多面体分成了多个高为1的棱锥.这些棱锥的底面积之和为，所以该多面体的体积为.6.【答案】A【解析】.，，..7.【答案】C8.【答案】D【解析】A.由题意及图形知，，故可得出，不符合题意；B.由正方体的两个底面平行，在其底面上，故与平面无公共点，故有，不符合题意；C.由几何体的性质及图形知，的面积是定值，点到平面的距离是定值，故可得三棱锥的体积为定值，不符合题意；D.由图形可以看出，点到的距离与点到的距离不相等，故的面积与的面积不相等.9.【答案】D【解析】如图D-8-103，在A中，由题意得，又，，故A正确.在B中，设，则为平面上的一点，满足，故B正确.在C中，设，连接，过点作，连接，由题意推导出，在直线上存在一点，使得，故C正确.在D中，过作于点，，，设为直线上任意一点，连接，，则一定为异面直线，在直线上不存在一点，使得，故D错误.10.【答案】D【解析】延长，交延长线于点，延长，交延长线于点，连接（图略），则是过点，，的平面与平面的交线.，是直线与直线所成角（或所成角的补角）.设，是的中点，，，，.，，，，解得，，，，.直线与直线所成角的正切值4.二、填空题11.【答案】【解析】如图D-8-104，取的中点，连接，，则，，所以为二面角的平面角.因为，，所以为等边三角形.又，所以，，因此，所以.12.【答案】【解析】，，，.取中点，连接，（如图D-8-105），则，异面直线和所成角即为或其补角.取中点，则，.又，.又，，.在中，，，，，异面直线和所成角的余弦值为.13.【答案】314.【答案】【解析】直角梯形旋转后为圆台，其体积为，矩形旋转后为圆柱，其体积为.所以所求旋转体的体积为.三、解答题15.【答案】要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，必须有，而，，则有，解得，即当圆锥形杯子的高大于或等于8cm时，冰淇淋融化后不会溢出杯子.因为圆锥的侧面积为，所以当高为8cm时，杯子所用材料面积最小，面积的最小值是cm2.16.【答案】（1）如图D-8-106，连接，，.又，.，且，且，故四边形是梯形.（2）由（1）知，相交，设，，，.同理，又，，故和的交点在直线上，，，三条直线相交于同一点.17.【答案】（1）因为，，所以.又因为，是的中点，所以，所以四边形是平行四边形，所以.因为，，所以.（2）因为，，所以.又，，，，所以.如图D-8-107，过点作交于点，则，连接，.因为，所以.因为，，所以四边形是平行四边形，所以，所以，又，，所以平行四边形为正方形，所以.又，，，所以.因为，所以.18.【答案】（1）线段的中点就是满足条件的点.证明如下：如图D-8-108，取的中点，的中点连接，，，则，.取的中点，连接，，因为且，所以是正三角形，所以，所以四边形为矩形，所以，