人教B版（2022）高中数学必修第二册同步训练6.1.5　向量的线性运算word版含答案

向量的线性运算必备知识基础练进阶训练第一层知识点一向量的线性运算1.计算：(1)3(6a＋b)－9eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,3)b))；(2)eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3a＋2b－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))))－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(3,8)b))；(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.2．(1)已知3(x＋a)＋3(x－2a)－4(x－a＋b)＝0(其中a，b为已知向量)，求x；(2)已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y＝a，,2x－3y＝b，))其中a，b为已知向量，求x，y.知识点二向量的线性运算的应用3．如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量eq\o(CD,\s\up6(→))＝()A.eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))B．－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))C．－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))D.eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))4．已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋5b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，则()A．A，B，C三点共线B．A，B，D三点共线C．A，C，D三点共线D．B，C，D三点共线5．D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝a,eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，给出下列命题：①eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a－b；②eq\o(BE,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b；③eq\o(CF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b；④eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0.其中正确命题的序号为________．6．在△ABC中，已知点D，E分别在边AC，AB上，且eq\f(CD,DA)＝eq\f(AE,EB)＝eq\f(1,2)，设eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b.求证：eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(b－a)．关键能力综合练进阶训练第二层一、选择题1．在△ABC中，M是BC的中点，则eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))等于()\f(1,2)eq\o(AM,\s\up6(→))\o(AM,\s\up6(→))C．2eq\o(AM,\s\up6(→))\o(MA,\s\up6(→))2．已知P，A，B，C是平面内四点，且eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，则下列向量一定共线的是()\o(PC,\s\up6(→))与eq\o(PB,\s\up6(→))\o(PA,\s\up6(→))与eq\o(PB,\s\up6(→))\o(PA,\s\up6(→))与eq\o(PC,\s\up6(→))\o(PC,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))3．平面上有一个△ABC和一点O，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a,eq\o(OB,\s\up6(→))＝b,eq\o(OC,\s\up6(→))＝c.又OA，BC的中点分别为D，E，则向量eq\o(DE,\s\up6(→))等于()\f(1,2)(a＋b＋c)\f(1,2)(－a＋b＋c)\f(1,2)(a－b＋c)\f(1,2)(a＋b－c)4．如图，△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(DC,\s\up6(→))＝3eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))，则eq\o(DE,\s\up6(→))等于()A．－eq\f(1,3)a＋eq\f(3,4)b\f(5,12)a－eq\f(3,4)b\f(3,4)a＋eq\f(1,3)bD．－eq\f(3,4)a＋eq\f(5,12)b5．以下选项中，a与b不一定共线的是()A．a＝5e1－e2，b＝2e2－10e1B．a＝4e1－eq\f(2,5)e2，b＝e1－eq\f(1,10)e2C．a＝e1－2e2，b＝e2－2e1D．a＝3e1－3e2，b＝－2e1＋2e2.6．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，则eq\o(AD,\s\up6(→))等于()A．a－eq\f(1,2)b\f(1,2)a－bC．a＋eq\f(1,2)b\f(1,2)a＋b二、填空题7．已知向量a，b不共线，实数x，y满足向量等式5xa＋(8－y)b＝4xb＋3(y＋9)a，则x＝________，y＝________.8．(易错题)在三角形ABC中，点D为BC的三等分点，设向量a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AC,\s\up6(→))，用向量a，b表示eq\o(AD,\s\up6(→))＝________.9．在△ABC中，D是BC的中点，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(BD,\s\up6(→))＝a；eq\o(AD,\s\up6(→))＝d，则d－a＝________，d＋a＝________.三、解答题10．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是AD，BC的中点，设eq\o(AD,\s\up6(→))＝a,eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，试用a，b表示eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(MN,\s\up6(→)).学科素养升级练进阶训练第三层1．(多选题)如图所示，向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))的终点A，B，C在一条直线上，且eq\o(AC,\s\up6(→))＝－3eq\o(CB,\s\up6(→)).设eq\o(OA,\s\up6(→))＝p，eq\o(OB,\s\up6(→))＝q，eq\o(OC,\s\up6(→))＝r，则以下等式中不成立的是()A．r＝－eq\f(1,2)p＋eq\f(3,2)qB．r＝－p＋2qC．r＝eq\f(3,2)p－eq\f(1,2)qD．r＝－q＋2p2．如图，在△ABC中，延长CB到D，使BD＝BC，当点E在线段AD上移动时，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，则t＝λ－μ的最大值是________．3．(学科素养—逻辑推理)如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝eq\f(1,3)BD.求证：M，N，C三点共线．6．向量的线性运算必备知识基础练1．解析：(1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.(2)原式＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(3,2)b))－a－eq\f(3,4)b＝a＋eq\f(3,4)b－a－eq\f(3,4)b＝0.(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.2．解析：(1)原方程化为3x＋3a＋3x－6a－4x＋4a－4b＝0.得2x＋a－4b＝0，即2x＝4b－a.∴x＝2b－eq\f(1,2)a.(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y＝a，①,2x－3y＝b，②))由②得y＝eq\f(2,3)x－eq\f(1,3)b，代入①，得3x＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x－\f(1,3)b))＝a，∴3x＋eq\f(8,3)x－eq\f(4,3)b＝a，∴x＝eq\f(3,17)a＋eq\f(4,17)b.∴y＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,17)a＋\f(4,17)b))－eq\f(1,3)b＝eq\f(2,17)a＋eq\f(8,51)b－eq\f(1,3)b＝eq\f(2,17)a－eq\f(3,17)b.综上可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,17)a＋\f(4,17)b，,y＝\f(2,17)a－\f(3,17)b.))3．解析：解法一：∵D是AB的中点，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))，∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→)).解法二：eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)[eq\o(CB,\s\up6(→))＋(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))]＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→)).答案：B4．解析：∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BD,\s\up6(→))平行，又AB与BD有公共点B，则A，B，D三点共线．答案：B5．解析：如图，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－b＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝－b－eq\f(1,2)a.eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b.eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝b＋eq\f(1,2)(－b－a)＝eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝－b－eq\f(1,2)a＋a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a＝0.答案：①②③④6．证明：∵eq\f(CD,DA)＝eq\f(AE,EB)＝eq\f(1,2)，∴eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)b，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(－b－a)＝－eq\f(1,3)b－eq\f(1,3)a.∴eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)b－eq\f(1,3)b－eq\f(1,3)a＝eq\f(1,3)b－eq\f(1,3)a＝eq\f(1,3)(b－a)．关键能力综合练1．解析：如图，作出平行四边形ABEC，因为M是BC的中点，所以M也是AE的中点，由题意知，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(AM,\s\up6(→)).答案：C2．解析：因为eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，即－2eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))，所以eq\o(PA,\s\up6(→))与eq\o(PB,\s\up6(→))共线．答案：B3．解析：eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(－a＋b＋c)．答案：B4．解析：eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)\o(AC,\s\up6(→))))＝eq\f(3,4)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,12)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(3,4)a＋eq\f(5,12)b，故选D.答案：D5．解析：找出一个非零实数λ使得a＝λb即可判断a∥项中a＝－eq\f(1,2)b；B项中a＝4b；D项中a＝－eq\f(3,2)b，故A，B，D三项中a∥b，而C项中a＝e1－2e2，b＝－2e1＋e2，所以C项a与b不一定共线，故选C.答案：C6．解析：连接CD，OD，如图所示．∵点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，∴AC＝CD，∠CAD＝∠DAB＝eq\f(1,2)×60°＝30°.∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO＝30°.由此可得∠CAD＝∠ADO＝30°，∴AC∥DO.由AC＝CD，得∠CDA＝∠CAD＝30°，∴∠CDA＝∠DAO，∴CD∥AO，∴四边形ACDO为平行四边形，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋b.答案：D7．解析：因为a与b不共线，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＝3y＋27，,8－y＝4x，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－4.))答案：3－48．解析：因为D为BC的三等分点，当BD＝eq\f(1,3)BC时，如图1，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.当BD＝eq\f(2,3)BC时，如图2，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b.答案：eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b或eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b易错分析：本题出错的原因是忽视了三等分点是两种情况，应有eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))或eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→)).解题时条件转化要全面准确．9．解析：根据题意画出图形，如图所示，d－a＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝c.d＋a＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＝b.答案：cb10．解析：由已知得eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b.如图，取AB的中点E，连接DE，则四边形DEBC为平行四边形．所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝a－eq\f(1,2)b.∵MN＝eq\f(1,2)(AB＋DC)，MN∥AB，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,2)b))＝eq\f(3,4)b.学科素养升级练1．解析：因为eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝－3eq\o(CB,\s\up6(→))＝3eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up