平行四边形的判定定理(提高)知识讲解

平行四边形的判定定理（提高）【学习目标】平行四边形的四个判定定理及应用，会应用判定定理判断一个四边形是不是平行四边形.会综合应用平行四边形的性质定理和判定定理解决简单的几何问题.【要点梳理】要点一、平行四边形的判定两组对边分别平行的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个行四边形时，应选择较简单的方法.（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据【典型例题】类型一、平行四边形的判定1、如图，点A、B、C在正方形网格的格点上（小正方形的边长为单位1）.（1）在图中确定格点D,并画出以A、B、C、D为顶点的平行四边形.（2）若以C为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，则你确定的点D的坐标是【思路点拨（1）分为三种情况：以AC为对角线时、以AB为对角线时、以BC为对角线时,画出图形，根据A、B、C的坐标求出即可；（2）在（1）的基础上，把y轴向左平移了一个单位，根据平移性质求出即可.【答案与解析】（1）解：从图中可知A（-3，2），B（-4，0）C（-1，0），以AB为对角线时，得出平行四边形ACBD，D的坐标是（-6,2），忖以AC为对角线时，得出平行四边形ABCD，D的坐标22是（0,2），以BC为对角线时，得出平行四边形ABDC，D的坐标33是（-2,-2），（2）解：以C为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，D的坐标是（-1,2）,（1,2）,（-5,2）,故答案为：（T，2）或（1,2）或（-5,2）.【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质的应用，主要考查学生能否运用平行四边形的性质进行计算，注意：一定要进行分类讨论.举一反三【变式】(2016呼伦贝尔)如图，分别以RtAABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：ZBAC=30。，EF丄AB,垂足为F,连接DF.试说明AC=EF；求证：四边形ADFE是平行四边形.【答案】证明：(l)TRtAABC中，ZBAC=30°，.•・AB=2BC,又•.•△ABE是等边三角形，EF丄AB，.•・AB=2AF.•・AF=BC,在Rt^AFE和Rt^BCA中，fAF=BC1ae=ba,Z.Rt^AFE^RtABCA(HL)，.•・AC=EF；(2)V^ACD是等边三角形，.•・ZDAC=60。，AC=AD，?.ZDAB=ZDAC+ZBAC=90°又•EF丄AB，.•・EF〃AD,•.•AC=EF,AC=AD,.•・EF=AD,・•・四边形ADFE是平行四边形.2、类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位.用实数加法表示为3+(-2)=1.若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a(向右为正，向左为负，平移|a|个单位)，沿y轴方向平移的数量为b(向上为正，向下为负，平移|b|个单位)，则把有序数对{a,b}叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a,b}与“平移量”{c,d}的加法运算法则为{a,b}+{c,d}={a+c,b+d}.解决问题：计算：{3,1}+{1,2}；{1,2}+{3,1}；①动点P从坐标原点0出发，先按照“平移量”{3,1}平移到A,再按照“平移量”

{1,2}平移到B；若先把动点P按照“平移量”{1,2}平移到C,再按照“平移量”{3,1}平移，最后的位置还是点B吗？在图1中画出四边形0ABC.②证明四边形OABC是平行四边形.如图2,一艘船从码头0出发，先航行到湖心岛码头P(2,3),再从码头P航行到码头Q(5,5),最后回到出发点0.请用“平移量”加法算式表示它的航行过程.【思路点拨(1)本题主要是类比学习，所以关键是由给出的例题中找出解题规律,即前项加前项，后项加后项.根据题中给出的平移量找出各对应点，描出各点，顺次连接即可.根据题中的文字叙述列出式子，根据(1)中的规律计算即可.【答案与解析】解：(1){3,1}+{1,2}={4,3}；{1,2}+{3,1}={4,3}.(2)①画图最后的位置仍是B.②证明：由①知，A(3,1),B(4,3),C(1,2)・•・0C=AB=宀2+22=v5,0A=BC=$32+12=\：；］0,・•・四边形0ABC是平行四边形.(3)从0出发，先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，可知平移量为{2,3},同理得到P到Q的平移量为{3,2}，从Q到0的平移量为{-5,-5}，故有{2,3}+{3,2}+{-5,-5}={0,0}.【总结升华】本题考查了几何变换中的平移变换，解答本题关键是仔细审题，理解题目给出的信息，对于此类题目同学们不能自己凭空想象着解答，一定要按照题目给出的思路求解,克服思维定势.举一反三：【变式】一动点沿着数轴向右平移5个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移3个单位.用实数加法表示为5+(-2)=3.若平面直角坐标系x0y中的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a(向右为正，向左为负，平移|a|个单位)，沿y轴方向平移的数量为b(向上为正，向下为负，平移|b|个单位)，则把有序数对{a,b}叫做这一平移的“平移量”.规定“平移量”{a,b}与“平移量”{c,d}的加法运算法则为{a,b}+{c,d}={a+c,b+d}.计算：{3,1}+{1,2}；若一动点从点A(1,1)出发，先按照“平移量”{2,1}平移到点B,再按照“平移量”{-1,2}平移到点C；最后按照“平移量”{-2,-1}平移到点D,在图中画出四边形ABCD,

并直接写出点D的坐标；将(2)中的四边形ABCD以点A为中心，顺时针旋转90°，点B旋转到点E,连结AE、BE若动点P从点A出发，沿△AEB的三边AE、EB、BA平移一周.请用“平移量”加法算式表示动点P的平移过程.【答案】解：(1){3,1}+{1,2}={4,3}；(2)B点坐标为：(1+2,1+1)=(3,2)；C点坐标为：(3-1,2+2)=(2,4)；D点坐标为：(2-2,4-1)=(0,3)；①如图所示：②D(0,3).(3)点A至点E,向右平移1个单位，向下平移2个单位;点E至点B,向右平移1个单位，向上平移3个单位；点B至点A,向左平移2个单位，向下平移1个单位；故动点P的平移过程可表示为:{1,-2}+{1,3}+{-2,-1}.3、如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点0,直线EF经过点0,分别与AB,CD的延长线交于点E,F.求证：四边形AECF是平行四边形.【思路点拨】平行四边形的判定方法有多种，选择哪一种解答应先分析题目中给的哪一方面的条件多些，本题所给的条件为四边形ABCD是平行四边形，可证0F=0E,0A=0C，根据条件在图形中的位置，可选择利用“对角线相互平分的四边形为平行四边形”来解决.【答案与解析】证明：T四边形ABCD是平行四边形，.•・0D=0B,0A=0C,•.•AB〃CD,.\ZDF0=ZBE0,ZFD0=ZEB0,.•・在厶FD0和厶EB0中，^ZDFO=ZBEO<ZFDO=ZEBO,OD=OB.•.△FD09AEB0(AAS),.•・0F=0E,•°・四边形AECF是平行四边形.【总结升华】平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别,同时要根据条件合理、灵活地选择方法.类型二、平行四边形的性质定理与判定定理的综合运用4、(2015•河南模拟)如图，AABC中AB=AC，点D从点B出发沿射线BA移动，同时，点E从点C出发沿线段AC的延长线移动，已点知D、E移动的速度相同，DE与直线BC相交于点F.如图1,当点D在线段AB上时，过点D作AC的平行线交BC于点G,连接CD、GE,判定四边形CDGE的形状，并证明你的结论；过点D作直线BC的垂线垂足为M,当点D、E在移动的过程中，线段BM、MF、CF有何数量关系？请直接写出你的结论.备用图备用图【思路点拨】(1)由题意得出BD=CE，由平行线的性质得出ZDGB=ZACB，由等腰三角形的性质得出ZB=ZACB，得出ZB=ZDGB，证出BD=GD=CE,即可得出结论；(2)由(1)得：BD=GD=CE，由等腰三角形的三线合一性质得出BM=GM,由平行线得出GF=CF,即可得出结论.【答案与解析】解：(1)四边形CDGE是平行四边.理由如下：如图1所示：•••D、E移动的速度相同，.•・BD=CE,DG〃AE,.\ZDGB=ZACB，AB=AC，AZB=ZACB，.\ZB=ZDGB，.•・BD=GD=CE,又•DG〃CE,・•・四边形CDGE是平行四边形;如图2如图2所示:由（1）得：BD=GD=CE,•DM丄BC,.•・BM=GM,•DG〃AE,.•・GF=CF,••・BM+CF=GM+GF=MF.【总结升华】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键.举一反三【变式】如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE丄BD于E,CF丄BD于F.求证：BE=DF；若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN,试判断四边形MENF的形状(不必说明理由).rC

【答案】解：(l)T四边形ABCD是平行四边形,・•・AB=CD,AB〃CD,.\ZABD=ZCDB,VAE丄BD于E,CF丄BD于F,.•・ZAEB=ZCFD=90°,.•.△ABE^ACDF(AAS),.•・BE=DF；(2)四边形MENF是平行四边形.证明：由(1)可知：BE=DF,•・•四边形ABCD为平行四边形，.•・AD〃BC,.\ZMDB=ZNBD,•DM=BN,.•.△DMF9ABNE,.\NE=MF,ZMFD=ZNEB,.\ZMFE=ZNEF,.•・MF〃NE,・•・四边形MENF是平行四边形.5、如图，已知在-.■ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF,点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG.求证：四边形GEHF是平行四边形；若点G、H分别在线段BA和DC上，其余条件不变，则(1)中的结论是否成立？(不用说明理由)【思路点拨(1)先由平行四边形的性质，得AB=CD,AB〃CD，根据两直线平行内错角相等得ZGBE=ZHDF.再由SAS可证△GBE^^HDF,利用全等的性质，证明ZGEF=ZHFE，从而得GE〃HF，又GE=HF，运用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得证.(2)仍成立.可仿照(1)的证明方法进行证明.【答案与解析】(1)证明：•四边形ABCD是平行四边形，.•・AB=CD,AB〃CD,・・・ZGBE=ZHDF.又•/AG=CH,・・・BG=DH.又VBE=DF,.^GBE^^HDF..\GE=HF,ZGEB=ZHFD,.ZGEF=ZHFE,

••・GE〃HF,・・・四边形GEHF是平行四边形.(2)解：仍成立.(证法同上)【总结升华】本题考查的知识点为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.举一反三【变式】如图，…ABCD中，对角线AC,BD相交于0点，AE丄BD于E,CF丄BD于F,BG丄AG于G,DH丄AC于H.求证：四边形GEHF是平行四边形.月2一用【答案】证明：T四边形ABCD是平行四边形，.•・BO=DO,AO=CO,AB=CD,AB〃CD,.\ZABD=ZCDB,•.•AE丄BD于E,CF丄BD于F,.\ZAEB=ZCFD=90°,在厶ABE和厶CDF中，〜AB=CD<ZABE=ZCDF,ZAEB=ZCFD.•.△ABE^ACDF(AAS),.•・BE=DF,.•・BO-BE=DO-DF,即：EO=FO,同理：△ABG^ACDH,.•・AG=CH,.•・AO—AG=CO—CH,即：GO=OH,・•・四边形GEHF是平行四边形.【巩固练习】选择题1.如图，在平面直角坐标系中，以O(0,0)、A(1,-1)、B(2,0)为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是()

L1■-1h*12.3.A.（3，-1）B.（-1，-1）C.（1，1）D.（-2，-1）以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（）个.A.1B.2C.3D.无数A，B，C，D在同一平面内，从①AB〃CD,②AB=CD,③BC〃L1■-1h*12.3.A.（3，-1）B.（-1，-1）C.（1，1）D.（-2，-1）以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（）个.A.1B.2C.3D.无数A，B，C，D在同一平面内，从①AB〃CD,②AB=CD,③BC〃AD,④BC=AD这四个中任选两个作为条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（）A.6种B.5种（海南校级月考）如图，四边形ABCD）的个数共有（4.C.4种D.3种在ABCD中，EF〃AD,HN〃AB，则图中的平行四边形（不包括）5.AE=CFB.DE=BFC.ZADE二ZCBFD.ZAED二ZCFB（杭州模拟）如图,在厶ABC中，ZACB=90°,D是BC的中点，DE丄BC，CE〃AD,若AC=2,ZADC=30°，四边形ACED是平行四边形；厶BCE是等腰三角形；_四边形ACEB的周长是10+2113；四边形ACEB的面积是16.则以上结论正确的是（）3C.①③④D.②④3C.①③④D.②④填空题已知四边形ABCD的对角线相交于0,给出下列5个条件AB〃CD②AD〃BC③AB=CD④ZBAD=ZDCB，从以上4个条件中任选2个条件为一组，能推出四边形ABCD为平行四边形的有组.&在ABCD中，对角线相交于点0,给出下列条件：①AB=CD,AD=BC,②AD=AB,AD〃BC，③AB〃CD,AD〃BC,④A0=C0,B0=D0其中能够判定ABCD是平行四边形的有.9•如图，用9个全等的等边三角形，按图拼成一个几何图案，从该图案中可以找出个平行四边形.如图，已知AB=CD,AD=CB，则ZABC+ZBAD=度.（太原期末）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点0,AD〃BC，若要使四边形是平行四边形，则需要添加的一个条件是.（只写出一种情况即可）（成都校级期末）如图，在△ABC中，AB=4,AC=3,BC=5,AABD、AACE、ABCF都是等边三角形，则四边形AEFD的面积为.解答题在CABCD中，对角线BD、AC相交于点0,BE=DF,过点0作线段GH交AD于点G,交(镇江二模)如图，已知点A、B、C、D在一条直线上，BF、CE相交于O,AE=DF，ZE=ZF,0B=0C.求证：△ACE^ADBF；如果把△DBF沿AD折翻折使点F落在点G,连接BE和CG.求证：四边形BGCE是平行四边形.F两点分别在线段BC、AB上,ZEFB=60求证：四边形EFCD是平行四边形；若BF=EF，求证:AE=AD.【答案与解析】一.选择题【答案】D；【解析】A、T以0(0,0)、A(1,-1)、B(2,0)为顶点，构造平行四边形,

1bk811-1011bk811-101-1A6当第四个点为(3,-1)时,.•・BO=AC=2,1TA,q,两点纵坐标相等，.•・BO〃AC,1・•・四边形OAC』是平行四边形；故此选项正确；B、T以0(0：0)、A(1,-1)、B(2,0)为顶点，构造平行四边形,当第四个点为(T,-1)时，.•・B0=AC=2,2TA,C2，两点纵坐标相等，.•・B0〃AC,2・•・四边形0CAB是平行四边形；故此选项正确；2C、T以0(0,0)、A(1,-1)、B(2,0)为顶点，构造平行四边形,当第四个点为(1,1)时，.•・B0=AC=2,1TA,q,两点纵坐标相等，.•・C0=BC二迈,33同理可得出A0二AB=p2,进而得出C0=BC=A0=AB,Z0AB=90°,33・•・四边形0abc3是正方形；故此选项正确；D、T以0(0,0)、A(1,-1)、B(2,0)为顶点，构造平行四边形,当第四个点为(-1,-1)时，四边形0C0B是平行四边形；・•・当第四个点为（-2,-1）时，四边形OC0B不可能是平行四边形；故此选项错误.故选：D.【答案】C；【解析】分别以AB,BC,AC为对角线作平行四边形.【答案】C；【解析】根据平行四边形的判定，可以有四种：①与②，③与④，①与③，②与④都能判定四边形是平行四边形，故选C.【答案】B；【解析】设EF与NH交于点0,T在ABCD中，EF〃AD,HN〃AB,.•・AD〃EF〃BC,AB〃NH〃CD,则图中的四边AEOH、DHOF、BEON、CFON、AEFD、BEFC、AHNB、DHNC和ABCD都是平行四边形，共9个.故选B.【答案】B；【解析】C选项和D选项均可证明△ADE9ACBF,从而得到AE=CF,EO=FO,BO=DO，所以可证四边形DEBF是平行四边形.【答案】A；【解析】解：①VZACB=90°,DE丄BC,.\ZACD=ZCDE=90°,.•・AC〃DE,•.•CE〃AD,・•・四边形ACED是平行四边形，故①正确；TD是BC的中点，DE丄BC,.•・EC=EB,•••△BCE是等腰三角形，故②正确；VAC=2,ZADC=30°,AD=4,CD=2*3,•・•四边形ACED是平行四边形，CE=AD=4,CE=EB,_EB=4,_DB=2〕3,.•・CB=4l3•••AB=.mSbC—I?，・•・四边形ACEB的周长是10+2113故③正确；四边形ACEB的面积：*2X41阴X4•方X2=8•込，故④错误，故选：A.

£二.填空题【答案】4;【解析】①和②根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD为平行四边形；①和③根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD为平行四边形；£二.填空题【答案】4;【解析】①和②根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD为平行四边形；①和③根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD为平行四边形；①和④，②和④根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD为平行四边形；所以能推出四边形ABCD为平行四边形的有四组.故答案为：4.【答案】①②③④；【解析】TAB=CD,AD=BC，・•・四边形ABCD是平行四边形，VAD=BC，AD〃BC,・•・四边形ABCD是平行四边形，•.•AB〃CD,AD〃BC,・•・四边形ABCD是平行四边形，•.•AO=CO,BO=DO,・•・四边形ABCD是平行四边形，7.・••①正确;・••②正确;・••③正确;・••④正确;即其中能判定四边形ABCD是平行四边形的有①②③④，故答案为：①②③④.9.【答案】15;9.【解析】两个全等的等边三角形，以一边为对角线构成的四边形是平行四边形，这样的两个平行四边形又可组成较大的平行四边形，从该图案中可以找出15个平行四边形.故答案为：15.10.【答案】10.【答案】180°；【解析】依题意得ABCD是平行四边形,.•・AD〃BC,AZABC+ZBAD=180°.【答案】AD=BC；【解析】TAD=BC,AD〃BC,・•・四边形ABCD是平行四边形，故答案为：AD=BC.【答案】6；【解析】解：•・•在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,.•.B