中考数学二轮培优专题精讲 第27讲 存在性问题之等腰三角形 (含详解)

第27讲存在性问题之等腰三角形【例题讲解】例题1.如图，直线l1、12相交于点A,点B是直线外一点,在直线l1、12上找一点C，使△ABC为一个等腰三角形.满足条件的点C有个.【提示】①以B为圆心,线段BA长为半径作圆,与l1、12交点即为满足条件点C；②以A为圆心,线段BA长为半径作圆，与l1、12交点即为满足条件点C；③作线段AB的垂直平分线，与l1、12交点即为满足条件点C.(此方法简称为“两圆一线”)【巩固训练】1、一次函数y=SKIPIF1<0x+4分别交x轴、y轴于A、B两点,在坐标轴上取一点C,使△ABC为等腰三角形,则这样的点C最多有个。2、已知△ABC的三条边长分别为3,4,6,在△ABC所在平面内画一条直线,将△ABC分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画()A.6条B.7条C.8条D.9条例题2.一次函数y=SKIPIF1<0x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，在y轴上取一点C,使得AC=BC,求出C点坐标？【代数法、几何法均可解】解：如图所示,直线AB的解析式为y=SKIPIF1<0x+4,当y=0时,x=－3,则A(－3.0);当x=0时,y=4,则B(0,4)。设C点坐标为(x.0),在Rt△AOB中,由勾股定理得SKIPIF1<0,在Rt△BOC中,由勾股定理得BC=SKIPIF1<0。①当以AB为底时,AC=BC,则3+x=SKIPIF1<0,整理得6x=7,解得x=SKIPIF1<0,则(SKIPIF1<0,0);②当以BC为底时,可得AC=AB,则SKIPIF1<0,解得x=2或－8,则C(2,0)或(－8,0);③当以AC为底时,可得AB=BC,即得SKIPIF1<0=5,整理得x2=9,解得x=±3,则C(3,0)或(－3,0)(舍去)。综上所述,满足条件的点C的坐标是(SKIPIF1<0,0)或(2,0)或(3,0)或(－8,0)例题3.如图,直线x=－4与x轴交于点E,一开口向上的抛物线过原点交线段OE于点A,交直线x=－4于点B,过B且平行于x轴的直线与抛物线交于点C,直线OC交直线AB于D,且AD:BD=1：3.(1)求点A的坐标；(2)若△OBC是等腰三角形,求此抛物线的函数关系式.解:(1)如图过点D作DF⊥x轴于点F.由题意可知OF=AF则2AF+AE=4①∵DF∥BE,∴△ADF∽△ABE,∴SKIPIF1<0,即AE=2AF②①与②联立解得AE=2,AF=1.∴点A的坐标为(－2,0);(2)∵抛物线过原点(0,0),∴可设此抛物线的解析式为y=ax2+bx∵抛物线过原点(0,0)和A点(－2,0),∴对称轴为直线x＝SKIPIF1<0＝－1∵B、C两点关于直线x=－1对称B点横坐标为－4,∴C点横坐标为2,∴BC＝2－(－2)＝6∵抛物线开口向上,∴∠OAB>90°,OB>AB=OC.∴当△OBC是等腰三角形时分两种情况讨论:①当OB=BC时设B(－4,y1),则16+y12=36解得y1=SKIPIF1<0(负值舍去).将A(－2,0),B(－4,SKIPIF1<0)代入y=ax2+bx得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0∴此抛物线的解析式为y=SKIPIF1<0x2+SKIPIF1<0x②当OC=BC时设C(2,y2),则4+y22=36解得y2=SKIPIF1<0(负值舍去)将A(－2,0),C(2,SKIPIF1<0)代入y=ax2+bx,得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0∴此抛物线的解析式为y=SKIPIF1<0x2+SKIPIF1<0x例题4.如图甲,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4cm,BC=3cm.如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动,同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动,它们的速度均为1cm/s.连接PQ,设运动时间为t(s)(0<t<4),解答下列问题：(1)设△APQ的面积为S,请写出S关于t的函数表达式？(2)如图乙,连接PC,将△POC沿QC翻折,得到四边形PQP'C,当四边形PQP'C为菱形时,求t的值；(3)当t为何值时,△APQ是等腰三角形？解:(1)如图1,过点P作PH⊥AC于H,∵∠C=90°,∴AC⊥BC,∴PH∥BC,∴△APH∽△ABC,∴SKIPIF1<0,∵AC=4cm,BC=3cm,∴AB=5cm∴SKIPIF1<0,∴PH＝3－SKIPIF1<0，∴△AQP的面积为:S=SKIPIF1<0×AQ×PH=SKIPIF1<0×t×(3－SKIPIF1<0)=SKIPIF1<0∴当t为SKIPIF1<0秒时,S最大值为SKIPIF1<0cm2.(2)如图2,连接PP',PP'交QC于E,当四边形PQP'C为菱开时,PE垂直平分QC,即PE⊥AC,QE=EC,∴△APE∽△ABC,∴SKIPIF1<0,∴AE=SKIPIF1<0∴QE=AE－AQ=SKIPIF1<0+4－t=SKIPIF1<0+4，QE=SKIPIF1<0QC=SKIPIF1<0(4－t)=SKIPIF1<0t+2∴SKIPIF1<0+4＝SKIPIF1<0t+2，∴解得:t＝SKIPIF1<0，∵0＜SKIPIF1<0＜4.∴当四边形PQP'C为菱形时,t值是SKIPIF1<0秒;(3)由(1)知,PD=SKIPIF1<0,与(2)同理得:QD=AD－AQ=SKIPIF1<0∴PQ＝SKIPIF1<0在△APQ中,①当AQ=AP,即=5－t时,解得:t1=SKIPIF1<0，②当PQ=AQ,即SKIPIF1<0=t时,解得:t2=SKIPIF1<0,t3=5.③当PQ=AP即SKIPIF1<0=5－t时,解得:t4=0,t5=SKIPIF1<0∵0<t<4,∴t3=5,t4=0不合题意,舍去,∴当t为SKIPIF1<0s或SKIPIF1<0s或SKIPIF1<0s时,△APQ是等腰三角形.例题5.已知,如图,在Rt△ABC中,AC=6,AB=8,D为边AB上一点,连接CD,过点D作DE⊥DC交BC与E,把△BDE沿DE翻折得△DEB1,连接B1C(1)证明:∠ADC=∠B1DC；(2)当B1E/∥AC时,求折痕DE的长；(3)当△B1CD为等腰三角形时,求AD的长.解:(1)证明由折叠的性质得:∠BDE=∠B1DE,∵DE⊥DC,∴∠ADC=180°－90°－∠BDE=90°－∠BDE,∠B1DC=90°－∠B1DE，∴∠ADC=∠B1DC(2)解延长B1E交AB于F.∵B1E∥AC,∠A=90°,∴B1F⊥AB,∴∠EB1D+∠BDB1=90°.∵∠B=∠EB1D,∴∠B+∠BDB1=90°,∴∠BGD=90°,在△BDC和△B1FD中,SKIPIF1<0∴△BDG≌△B1FD.∴DF=DG,在△ADC和△GDC中,SKIPIF1<0,∴△ADC≌△GDC,∴DG=AD.∴DF=AD=DG,设DF=AD=DG=x,∴BF＝8－2x,∵EF∥AC,∴△BFE∽△BAC,∴SKIPIF1<0,∴EF＝SKIPIF1<0，∵△EFD∽△ACD,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0，解得:x=3,∴BF=3,EF＝SKIPIF1<0，∴DE＝SKIPIF1<0.(3)解设AD=x,则CD=SKIPIF1<0,BD=8－x，∵△B1CD是等腰三角形,①当B1D=B1C时则∠B1DC=∠B1CD,∴DB1=BD=8－x,如图2过B1作B1F⊥CD,则DF=CF=SKIPIF1<0CD=SKIPIF1<0,∵∠ADC=∠B1DC,∠B1FD=∠A=90°,∴△CDA∽△B1DC,∴SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0，∴3x2－16x+36=0,此方程无实数根.∴B1D≠BC.②B1D=CD时，∴B1D=CD=BD=8－x.∴(8－x)2=x2+6，∴x＝SKIPIF1<0,∴AD＝SKIPIF1<0.③当CD=BC时如图2过C作CH⊥DB,则DH=B1H=SKIPIF1<0DB1=SKIPIF1<0BD=SKIPIF1<0(8－x)在△ACD和△CHD中，SKIPIF1<0∴△ACD≌△CHD,∴AD=DH=x∴x＝SKIPIF1<0(8－x),∴x=SKIPIF1<0,∴AD=SKIPIF1<0,综上所述:当△B1CD是等腰三角形时AD的长为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.

【巩固训练】1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以△ABC的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上,则可以画出不同的等腰三角形的个数最多为()A.4B.5C.6D.72.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,若点P在AD边上,连接BP、PC,使得△BPC是一个等腰三角形.(1)用尺规作图画出符合要求的点P.(保留作图痕迹,不要求写做法)(2)求出PA的长.3.如图,在边长为4的正方形ABCD中,请画出以A为一个顶点,另外两个顶点在正方形ABCD的边上,且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形.(要求:只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3)4.如图,一长度为10的线段AC的两个端点A、C分别在y轴和x轴的正半轴上滑动,以A为直角顶点,AC为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC,连接BO.(1)求OB的最大值；(2)在AC滑动过程中,△OBC能否恰好为等腰三角形？若能,求出此时点A的坐标;若不能,请说明理由.5、如图,抛物线y=－x2+bx+c与x轴交于A(－1，0),B(5,0)两点，直线y=－2x+3与y轴交于点C,与x轴交于点D,点P是x轴上方的抛物线上一动点,过点P作PF⊥x.轴于点F,交直线CD于点E,设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)若△PCE为等腰三角形,求m的值.6.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(12,－8),点B、C在x轴上，tan∠ABC=SKIPIF1<0，AB=AC，AH⊥BC于H,D为AC的中点,BD交AH于点M.(1)求过B、C、D三点的抛物线的解析式，并求出抛物线顶点E的坐标；(2)过点E且平行于AB的直线l交y轴于点G,若将(2)中的抛物线沿直线1平移，平移后的抛物线交y轴于点F,顶点为E'(点E'在y轴右侧).是否存在这样的抛物线,使△EFG为等腰三角形？若存在,请求出此时顶点E'的坐标;若不存在,请说明理由.7.如图,在平面直角坐标系中点B坐标为(6,0),点A在第一象限,△AOB为等边三角形,OH⊥AB于点H,动点P、Q分别从B、O两点同时出发,分别沿BO、OA方向匀速移动,它们的速度都是1cm/s,当点P到达点O时,P、Q两点停止运动,设点P的运动时间为t(s),PQ交OH于点M,设四边形AQPB的面积为y.(1)求y与t之间的函数关系式；(2)设PQ的长为x(cm)试确定y与x之间的函数关系式；(3)当t为何值时,△OPM为等腰三角形；(4)线段OM有最大值吗？如果有,请求出来;如果没有,请说明理由.8.已知:如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=SKIPIF1<0.E为矩形外一点,且△EBA∽△ABD.(1)求AE和BE的长；(2)将△ABE绕点B顺时针旋转一个角a(0°<α<180°),记旋转中的△ABE为△A'BE',在旋转过程中,设A'E'所在的直线与直线AD交于点P,与直线BD交于点Q.是否存在这样的P、Q两点,使△DPQ为等腰三角形？若存在,求出此时DQ的长;若不存在,请说明理由.9.如图(1),∠AOB=45°,点P、Q分别是边OA,OB上的两点,且OP=2cm.将∠O沿PQ折叠,点O落在平面内点C处。(1)①当PC//QB时,OQ=;②当PC⊥QB时,求OQ的长.(2)当折叠后重叠部分为等腰三角形时，求OQ的长.

参考答案1.答案：42.答案：B参考答案1.答案：C2.解:(1)如图所示P,P1,P2即为所求;(2)当BC=BP1=6时,AB=4,∴PA=SKIPIF1<0,当CB=CP2=6时,P2A=AD－P2D=SKIPIF1<0当PB=PC时，PA=SKIPIF1<0AD=3综上PA的长为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,3.3.略4.解:(1)取AC的中点D连接OD、BD.在Rt△ABC中,∵AC=AB=10,∴OD=SKIPIF1<0AC=5,AD=DB=5,BD=SKIPIF1<0,∵OB≤OD+BD,∴OB的最大值为5+SKIPIF1<0.(2)作BE⊥y轴于E,∵∠BEA=∠AOC=90°,∠BAC=90°,∴∠EBA=∠OAC.∵AB=AC,∴△ABE≌△CAO.∴BE=OA,AE=OC,①∵EA<AB<OB,EA=OC,∴OC<OB,即OC≠OB,②∵OC<0A<BC,即OC≠BC.③当OB=BC时作BF⊥轴于F,则OF=FC=BE,设OA=a,则BE=a,OC=2a,由OA2+OC2=AC2,a2+4a2=102,解得a=SKIPIF1<0,∴A(0.2√5)SKIPIF1<0综上所述:当A(0,SKIPIF1<0)时,△OBC是等腰三角形.5.解(1)∵抛物线y=－x2+bx+c与x轴交于A(－1,0),B5,0)两点，∴SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0∴抛物线的解析式为y=－x2+4x+5.(2)∵点P的横坐标为m.∴P(m,－m2+4m+5),E(m,SKIPIF1<0m+3),F(m,0).∴PE=|yP－yE|=|(－m2+4m+5)－(SKIPIF1<0m+3)|=|－m2+SKIPIF1<0m+2|,∴EF=|yE－yF|=|(SKIPIF1<0m+3)－0|=|SKIPIF1<0m+3|由题意PE=5EF,即|－m2+SKIPIF1<0m+2|=5|SKIPIF1<0m+3|＝|SKIPIF1<0m+15|①若－m2+SKIPIF1<0m+2=SKIPIF1<0m+15，理得:2m2－17m+26=0，解得m=2或m=SKIPIF1<0.②若－m2+SKIPIF1<0m+2=－(SKIPIF1<0m+15),整理得m2－m－17=0.解得:m=SKIPIF1<0或m=SKIPIF1<0.由题意m的取值范围为:－1<m<5,故m=SKIPIF1<0,m＝SKIPIF1<0这两个解均舍去.∴m=2或m=SKIPIF1<0∴点F的坐标为(2,0)或(SKIPIF1<0,0)(2)假设存在.作出示意图如下.∵点E、E'关于直线PC对称,∴∠1=∠2,CE=CE',PE=PE',∵PE平行于y轴,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,PE=CE,∴PE=CE=PE'=CE',即四边形PECE'是菱形.当四边形PECE'是菱形存在时,由直线CD解析式y=SKIPIF1<0x+3,可得OD=4,OC=3由勾股定理得CD=5.过点E作EM⊥x轴交轴于点M易得△CEM∽△CDO,∵∴SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,解得CE=SKIPIF1<0∵∴PE=CE=SKIPIF1<0,又由(2)可知：PE＝|－m2+SKIPIF1<0m+2|①若－m2+SKIPIF1<0m+2=SKIPIF1<0,整理得:2m2－7m－4=0解得m=4或m=SKIPIF1<0②若－m2+SKIPIF1<0m+2=SKIPIF1<0,整理得m2－6m－2=0,解得m1=3+SKIPIF1<0,m2=3－SKIPIF1<0由题意m的取值范围为:－1<m<5故m=3+SKIPIF1<0这个解舍去.当四边形PECE'是菱形这一条件不存在时,此时P点横坐标为OECE'三点重合与y轴上也符合题意.∴P(0,5)综上所述:存在满足条件的m的值为0或SKIPIF1<0或4或3+SKIPIF1<0.6.解:(1)∵S△ADM=S△BHM,∴S△ACH=S△BCD,∵AB=AC,AH⊥BC,∴H是BC中点,∴D是AC中点.∵AH=8,tan∠ABC=SKIPIF1<0,BH=CH=6，∵A的坐标为(12,－8),∴B、C坐标分别为(18,0)、(6,0)∴D的坐标为(9,－4)作DK⊥BC,C(6,0),B(18,0),D(9,－4)抛物线的解析式为:y＝SKIPIF1<0(x－6)(x－18)顶点E的坐标为(12,SKIPIF1<0)(2)解:设GE的直线方程为:y=SKIPIF1<0x+b∵直线过点E,∴直线方程为:y=SKIPIF1<0x－SKIPIF1<0,∴G(0,SKIPIF1<0)设E'(m,SKIPIF1<0m－SKIPIF1<0),平移后的抛物线解析式为:y＝SKIPIF1<0∴F(0,SKIPIF1<0).若E'G=E'F,SKIPIF1<0,∴m=9,∴E(9,SKIPIF1<0),若E'G=GF,SKIPIF1<0,∴m=SKIPIF1<0,∴E(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0),若E'F=GF,不存在.7.解：（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0T=2有，OM最大为SKIPIF1<08.解:(1)在Rt△ABD中,由勾股定理得BD=SKIPIF1<0,又∵S△ABD=SKIPIF1<0AB×AD=SKIPIF1<0AE×BD=SKIPIF1<0∴AE=4,在Rt△ABE中,BE=SKIPIF1<0.(3)存在.△ABF在旋转过程中,△DPQ是等腰三角形的情况共有四种.①如图2,点Q在BD的延长线上,且,∵∠2=2∠Q,∠1=∠3+∠Q且∠1＝∠2,∴∠3＝∠Q,∴A'B=A'Q,∴QF'=A'F'+A'Q=A'F'+A'B=4+5=9∴在Rt△QFB中,根据勾股定理可得QB=SKIPIF1<0,∴DQ=QB－BD=SKIPIF1<0－SKIPIF1<0，PD=DQ.②如图3,点Q落在BD上,且PQ=DQ,∴∠2=∠P,∵∠1=∠2,∠2=∠3,∴∠1=∠3,∴BQ=AQ,∴F'Q=A'F'－A'Q=A'F'－BQ=4－BQ,令BQ=t,则在Rt△BF'Q中,根据勾股走理可得32+(4－t)2=t2,解得t=SKIPIF1<0,即BQ＝SKIPIF1<0，∴DQ=BD－BQ=SKIPIF1<0－SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0.③如图4,点Q落在BD上,且PD=DQ.∴∠3=∠4,∴在△DPQ中,2∠4+∠2=180°,∴∠4＝90°－SKIPIF1<0∠2,又∵∠1=∠2,∠4=∠A'QB,∴∠A'QB=90°－SKIPIF1<0∠1,即180°－∠1=2∠A'QB,∴∠A'QB=∠A'BQ,∴A'Q=A'B,∴F'Q=A'Q－F'Q=A'B－F'Q=5－4＝1∴在Rt△BF'Q中,BQ=SKIPIF1<0,∴DQ=BD－BQ=SKIPIF1<0－SKIPIF1<0④如图5,点Q落在BD上,且PD=DQ,∴∠2=∠3,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∴∠1=∠4,∴BQ=A'B=5∴DQ=DB－BQ=SKIPIF1<0－5=SKIPIF1<0综上所述,△ABF