双曲线和抛物线复习

【典型例【双曲线A】例已知圆C程为的动圆圆心P的迹方程。

双曲线抛物线复习，定点（，），求过定点A且圆C外解：圆P圆C外，∴＝＋，即－|PA|＝，∴由双曲线定义，点P的轨迹是以A，为焦点，为轴长的双曲线的左支，其中，故所求轨迹方程为点：利用双曲线第一定义解题时，要特别注意对定义“绝对值”的理解，以避免解题时出现片面性。当P满

时P的迹是双曲线的一支时点P的迹是双线的另一支当

时点P的迹是两射线。例如，以

不可能大于。和

为焦点的椭圆的离心率

，它与抛物线交于两，以为两渐近线的双曲线上的动点Py）到一定点（2）的距离的最小值为，求此双曲线方程。解：条件知，椭圆中则∴椭圆方程为

。解方程组得

两点的坐标分别为（），（3－）。∴所求双曲线的渐近线方程为

又（2，）到的离为所以双曲线的实轴只能在x轴。设所求双曲线方程为，则，方程化为，得∵（x，y）在双曲线上，∴①当当

，即时，

时，解得∴所求双曲线方程为②当当解得

，即时，或

时，（舍去），∴所求双曲线方程为综上，所求双曲线方程为或点评：待定系数法是求曲线方程最常用的方法之一。（1与双曲线

有共同渐近线的双曲线方程可表示为

；（2双曲线的渐近线方程是

双线的方程可表示为

；

共焦点的双曲线方程可表示为（3与双曲线；（4过两个已知点的双曲线的标准方程表示为有共同焦点的双曲线方程表示为（5与椭圆

；

＝利用上述结论求关于曲线的标准方程，可简化解题过程，提高解题速度。例3.已知曲线的中心在原点点（1求双曲线方程；

在坐标轴上心率为

过。（2若点M，m）在双曲线上，求证：

；（3求解：）

的面积。，∴可设双曲线方程为∵过点∴双曲线方程为

，∴

，即，（2由（）可知，双曲线中

，∵点（3，）在双曲线上，∴故（3

的底，的高点：曲线的标准方程和几何性质中涉及到很多基本量，如b，”，树立基本量思想对于确定曲线方程和认识其几何性质有很大帮助线双曲线特有的，双曲线线方程可设为

的渐近线方程可记为（）

同时以

为渐近线的双曲

特别地，等轴双曲线方程可设为（）。另外，类似于“MF⊥MF”1垂直关系的证明可以通过k·＝，证明，也可以通12现了证明解析几何问题方法的多样性．【双曲线B】

来证明，它体[例1]已知椭圆：

与双曲线：

有公共焦点F、，两曲线在第一象限内的交点为P，求证：1

的面积

。证由且设则故

，（其中周长的一半为m则

）另，[例2]求（1的双曲线的方程。

）F（，0）为焦点，并与直线2

有公共点且实轴最长解先求F（3）关于直线2

的对称点

由又，则故所求双曲线方程为[例3]已A（3，），M是双曲线H：的最小值及此时M的标。

上的动点，是H的焦点，求解：由，则此时M坐标（

）[例4]已双曲线C，条长为的两端在上运动中点为，则距

轴最近的M点坐标为。

解又

，则当且仅当

时，取=”由逆径

，故可取“”又由即）故M[例5]双线中心在原点一个焦点为（

直

与其相交于MN两点，中横坐标为C.解1设H：

，则此双曲线方程是（）（）联立中点条件是再由焦点条件解出解2由中在直线

上，则中点纵坐标

由故：，选。[例6]已A、B是曲线（1若过右焦点F，且2

右支上两点，求

的周长（F为焦点）；1（2若弦的中点到y轴距离为4求的最大值。解：（1）因AB在曲线右支上，故由双曲线义可知，两式相加得由

，即故

，所以即

的周长为（2由题设，双曲线设A（），B

中，），则AB到焦点的距离分别由弦中点到y轴离为，即故，

，则最大值为8此时过点2

=8

[例7]过（1）作双曲线弦AB是存在并说明理由。

的弦AB，使的点恰与P点合，这样的解设AB：

代入双曲线方程并整理得（*）若，合题意，若，由若P是的中点即

，得得此时，

（舍去）代入（*）当不在时，直线与曲线只有一个公共点因此这样的弦不在另：A（）B（）由AB在曲线上两式相减得，其中，得

以下同解法[例8]双线的中心在坐标原点O点在X轴过曲线的右焦点斜率为线交双曲线于、Q两，若OPOQ，双曲线的方程。解：设双：，线PQ程为

的直由设P（

，消去），Q

得）若，，则直线与曲线渐线平行，与双曲线只能有一个交点，与题设矛盾，故故由于P在直线由OP⊥OQ，则整理得将（*代入，又由即由，

上可记为（）（），并整理得由整理得

，得将（*式代入，又代入，解得，而，双曲线方程

2[例9]若FF为曲线12

的左右焦点为标原点在曲线的左支上，点M右准线上，且满足（）

（1求此双曲线的离心率；（2若此双曲线过N2，

），求双曲线方程；（3若过N，

）的双曲线的虚轴端点分别为、B（B在y轴半轴上），1点A、B在曲线上，且

，求

时，直线方程。解：（1）由

知四边形OM为行四边行1又

（）

平

故

OM为形1又由故

，（（由

），则）

，由

（

舍）（2由其过点N（，）则故所求双曲线方程为

，设双曲线方程（3依题意得B（，3，（01

）由，

共线不妨设直线：，（）B（）由由合题意，则

的渐近线为，当

时与双曲线只有个交点，不

，又，则即

，故所以所求直线的程为：

或[例10]求经过定点M（程。

），以轴左准线离心率为2的曲线右顶点的轨迹方解：设双曲线的右顶点为P（x，y）左焦点为（

）双曲线对称轴设双曲线的半实轴，半焦距分别为由双曲线的性质，得

，则离心率又由

代入得（*）由焦点与线y轴距离为故

代入（*）得，即由双曲线的定义，有，即

即又由

代入得即右顶点M的轨迹方程为[例11]已知抛物线

的焦点为，线为，否存在双曲线，同时满足下列条件双线的个焦点为F于准线为双线c截与直线垂直的直线所得的弦长为，并且该线段的中点恰好在直线这个双曲线c的方程；若不存在，说明理由。

上，若存在，求出解1如图，符合条件的双曲线c存，则其右焦（0），右准线为设离心率为，点（x，y为双曲线上任意一点，则由

，整理，得设与坐标为把

垂直的直线方程为代入①式整理，得

①，此直线与双曲线C交AB两点，其当

时，

为方程的两实根由弦长公式

得故适合条件的双曲线的程存在为即解2设弦中坐标为Q故，

）由斜为）又点AB到线：

的距离为

及

由双曲线定义知：即由因此，双曲线方程为解3设双线方程由已知设由两式相减，得

即而由在双曲线上，则又由即

即，

即故双曲线【抛物线】例已知抛物线C顶点在坐标原点，对称轴为x，直线AB交抛物线C于A、B两点，交正半轴于点M（，0），AB到x轴距离的积为2m（1求抛物线的程。

（2若tan＝，求的值范围。解析：（）由题意设抛物线方程为当直线AB的斜率不存在时AB⊥x，由A、两到轴离之积是，得A、B两的坐标分别为，

），（，－）代入，∴抛物线C方程为当直线AB的斜率存在时，设为k，则AB所在直线方程为消去x，整理得由已知∴抛物线方程为∴无论直线的率在与否，抛物线C的程为（2设

。当AB的斜率存在时，由）当AB斜率不存在时A（，），B（m－）

，得∴的值范围为。点求抛物线的标准方程般用待定数法若开口方向不确定时应分类讨论，应避免只设定一种形式的标准方程后求解，从而致使丢解情况发生。例2.如图，AB是抛物线准线，⊥lN为足。求证：

焦点的弦，M是AB的点l是物线的（1）⊥BN；（2）FN⊥；（3）若MN交物线于Q则平；（4）。证明：（）作ACl垂足为C在直角梯形ABDC，∵|AF|=|AC||BF|=|BD|∴，由平面几何知识可eq\o\ac(△,知)是角三角形，即ANBN（2∵，∠MAN=∠。∵∥MN，∴∠∠MNA，∴∠∠。在△ACN和△AFN中，ACN，

，，且∠CAN=∠FAN，∴△∴∠NFA=NCA=

，即FN⊥。（3eq\o\ac(△,Rt)MNF中接QF抛物线的定义2结得∠，且∠QFN=∠，∠QMF=-∠QNF∴∠QFM=∠QMF，∴|QF|=|QM|，∴，Q平MN。（4方法一：当AB不直于轴时，可设的方程为

∠QNF=

将之与

联立，消去x，得：设

，

，则。∵，，∴，∴=。当AB垂直于轴时，∵

=，结论显然成立。∴综上可知，。方法二：设与轴于点E∵∥，∴∠MNF=NFE∴eq\o\ac(△,Rt)∽eq\o\ac(△,Rt)FEN，∴∴

，，∴。点评本是证明过焦点F的物线的弦AB具的一些性质和结论在证明时若ABx轴为例来证，则失去一般性，故证明此类问题时，切不可以特殊代替一般。由抛物线的焦点弦、准线以及根据定义所作的弦端点到准线的垂线段构成的直角梯形，有很多有趣的结论助抛物线的定义及平面几何知识可以一一证明于焦点弦有关的抛物线几何性质的证明般用几何法证明比用代数法证明要简单以于一些解析几何问题灵运用平面几何性并辅助代数运算进行我们的解析几何问题有翼”，解决问题的路子将更开阔。

例3.一隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成尺寸如图（单位），一辆卡车空车时能通过此隧道载集装箱宽3m车与箱共高此能否通隧道？并说明理由。解析：如图，建立坐标系，则A（

，）B（3）设抛物线方程为将B点坐标代入，得

。，∴。∴抛物线方程为。∵车与箱共高。∴集装箱上表面距抛物线型隧道拱顶。设抛物线上点D坐标为（

）。则，。∴，此不能通过隧道。点评：求实际应用问题的解关键在于读取信息，梳理信息，转化信息，如有不慎，则可导致全题解错故加强对此三骤的重视与训练功解决实际问题关键在于成功转化信息，而成功转化信息则重在对抽象数学模型的理解：重抛物定义理解运用。例如物线。

上的点到点的距离抛线有四种不同形式的标准方程，应注意区分它们的异同点。明在标准形式下，焦点与准线的距离与标准方程中的特征量2p的系。注运用数形结合的思想方法简图分析尽量运用平面析几何知识化简已知条件进行求解。【模拟试】一、选择题（本大题共2小，每小题，共60分在每小给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）椭双线

的焦点坐标是（）C.D.的虚轴是实轴长的倍则m的值为（）C.D.

若物线

的焦点与椭圆

的右焦点重合，则值为（）2C.椭两准线间的距离是焦距的倍则离心率为（）B.D.若程

表示焦点在y轴的椭圆，则实数k取值范围为（）C.（0）已双曲线曲

的一条渐近线方程为C.与曲线

，则双曲线的离心率为（）的（）焦距相等C.焦相同过0，1）与双曲线条B.2条

离率相等准线相同仅有一个公共点的直线共有（）C.4条条已正三角形的三个顶点在双曲线顶点，则实数m取值范围是（）B.C.

的右支上其中一个顶点是双曲的右10.设是曲线结论正确的是（）C.

上的点，对于点P，

，，则下列11.已椭中心O且C.

=0，

，A（20）为长轴上的一个端点，弦BC过椭圆的，则椭圆的焦距为（）以上答案都不对12.已点是

、

为焦点的椭圆

上的一点，若，，则此椭圆的离心率为（）B.D.

二、填空题（本大题共4个题，每小题4，共16分把答案填在题中的横线上。）13.在面角坐标系中，若抛物线，则点P的横坐标x的为。

上的点到抛物线的焦点的离为14.椭

（）的两个焦点为

、，在圆上，则当∠

取最大值

时，椭圆的离心率为。15.抛线

上的点到直线

距离的最小值是。16.双曲线

上一点P对两焦点

、

的视角为，eq\o\ac(△,则)

的面积为。三、解答题（本大题共题，共74分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。）17.（小满分12分）已知三点（，）

（，），（6，）。（1）求以、

为焦点且过点P的椭圆的标准方程；（2）设点、、关直线

的对称点分别为′

、，以、

为焦点且过点P′双曲线的标准方程。18.（小满分12分）如图，抛物线关于x轴对称，它的顶在坐标原点，点P（，）A（，）（，）在抛物线上。（1写出该抛物线方程及其准线方程。（2当与的率存在倾斜角互补时，求19.（小满分12分）

的值及直线的斜率。若、

为双曲线

的左、右焦点，O为标原点，P在双曲线的左支上，点M右准线上，且满足：（1）求此双曲线的离心率；

。），求双曲线的方程。（2）若此双曲线过N220.（小满分12分）如图，平面内的定点F到直线l距离为，点E满：点Q是直线l上一动点，点M满：，P满：

且

于G，。

（1）建立适当的直角坐标系，求动点的轨迹方程；（若经过点E的直线与点的迹交于相异的两点A、，∠，当时，求直线的率的值范围。21.（小满分12分）已知、、D三不在一条直线上，且（，0）（2，，，。（1）求点E的迹方程；（2）过A作直线交以AB为点的椭圆于MN两，线段的点到y轴的距离为，直线MN与E轨迹相切，求椭圆的方程。22.（小满分14分）已知椭圆：。（1）求椭圆C的方程；

的离心率为，轴一个端点右焦点的距离为（2设直线与圆C交AB两，坐标原点到线的离为面积的最大值。【试题答案】

，AOBD2.A3.D4.C6.A7.AC9.A11.C12.13.14.提示：D∵坐标是

15.，∴焦点在轴，

，∴，焦点A双线=2∴。

的虚轴长是实轴长的倍曲方程为

D椭。

的右焦点为（2，）所以抛物线

的焦点为（2，），则，∴由题意D焦点在轴上须满足

且

，即，故

，∴。

。A双线焦点在x轴由渐近线方程可得

，

。A由

知该方程表示焦点在x轴的椭圆（

）知该方程表示焦点在y轴的双曲线

，焦距都为4直线与

不合题意，∴可设联立得

为直线方程。。当时，

。当

地，由eq\o\ac(△,=)

，解得故共有四条直线。D由对称性知，直线方程为∴，∴。

，将

代入双曲线方程得10.AP（x，）足。11.C

，所以P在圆，由

上或在其内部，所以，得，则C（1，），代入椭圆方程得又，∴，，12.D∵∴，且。由，得

，，。

。

，。又∴，选D

，∴，

13.由物线的焦半径公式知∴，x

，14.

根据椭圆的几何性质知当点P在圆的短轴端点时∠

的值最大。∵∠

，∴，

。15.

∵直线

的斜率为

，，∴

。把代入故抛物线上的点（

得，

，）到直线

的距离是抛物线

上的点到直线

的距离的最小值，其最小值为

。16.

由双曲线的定义，得

，两边平方得。①由余弦定理得。②联立①②两式可得

。∴。17.解由意设所求椭圆的标准方为，∴

，

=

其半焦距=

，，故所求椭圆的标准方程为（2）点P（5），（

。（分）0，（，）关于直线

的对称点分别为：′（25）、（，

）、（0，6。设所求双曲线的标准方程为

，由题意知半焦距，，

∴，，故所求双曲线的标准方程为

。（12分18.解（1由已知条件，可设抛物线的方程为

。∵点P（1，2在抛物线上，∴

·，∴p=2。故所求抛物线方程是

，准线方程是。分（2设直线PA的率为则，

，直线的率为。

，∵PA与PB斜率存在且倾斜角互补。∴由A（，

。），B，）抛物线上，得∴∴

。。∴。由①-得直线的率。（12分19.解（1由又知平∠又因为

知四边形，，所以四边形所，

为平行四边形。为