由一道高考试题引发的思考-绝对值不等式的解法探究 教学设计

PAGEPAGE1本文属于广东省教育科学规划课题《高中数学探究式学习模式的实验研究》（课题批准号为2013YQJK093)阶段性成果。由一道高考试题引发的思考绝对值不等式的解法探究广州增城区增城中学高中部（511300）肖海英问题再现(2014年高考广东卷第9小题)不等式的解集是。地位分析不等式的解法是高中数学人教版选修4-5的一个重要内容，随着近几年广东省高考考纲对不等式的要求由原来的选做题变为必考内容，不等式的地位也随着提高，笔者查阅了近5年的广东高考理科数学试卷，不等式每年至少必考一题，其分数分布如下：2010201120122013201426分10分10分5分5分而绝对值不等式作为一种重要的不等式类型在高考考查中频频出现，其中2011年（不等式的解集是）、2012年（不等式的解集为______）、2014年(不等式的解集是)都是第9题，作为填空题的第一道题，命题的本意属于送分题，是学生必须快速、准确的拿下的一道题，它起到稳定学生情绪的积极作用，对提高学生后部分答题的自信心有很大帮助,最优的方法将节省很多时间。其余省份高考也有很多考查绝对值不等式的解法，如2014年湖南高考数学理科卷第11题。其中2010年绝对值不等式出现在第21题，作为压轴题考查。因此作为一线教师，随着课标对不等式解法要求的提高，对绝对值不等式的解法进行探究非常必要，以下笔者将从几种典型的绝对值不等式类型出发，从不同的数学思想与方法多方面去探究绝对值不等式的解法。笔者希望通过此文抛砖引玉，能引起广大师生对绝对值不等式解法的关注与重视。（三）深入探究绝对值符号内含有未知数的不等式称为绝对值不等式。解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值符号，化成普通的不等式，而其主要的依据是绝对值的几何意义。含有绝对值的不等式有以下两种基本的类型：第一种类型：设为正数，不等式的解集是，它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于的点的集合，如图1-1所示。图1-1第二种类型：设为正数。不等式的解集是，它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于的点的集合，如图1-2所示。图1-2如果给定的不等式符合以上基本类型，就可以直接利用它的结果来解。但实际考试中考查的不等式大多是变形后的一些绝对值不等式，高中阶段的要求一般不超过带两个绝对值的不等式，笔者通过探究归纳出了变形后的几种主要类型。探究一、和型不等式的解法问题1、解下列不等式：（1）（2)解（1）方法1：直接用公式原不等式可化为：，解之得，所以原不等式的解集为。方法2：利用几何意义原不等式可化为：，不等式的解即为数轴上到坐标为的点的距离不超过的点的集合，由图1-3可得不等式的解集为。图1-3解（2）方法1：直接用公式原不等式可化为：，解之得，所以原不等式的解集为。方法2：利用几何意义原不等式可化为：，不等式的解即为数轴上到坐标为的点的距离大于的点的集合，由图1-4可得不等式的解集为。图1-4方法剖析：在和型不等式的解法中，方法一是直接利用公式求解，属于通性通法；法二是利用绝对值的几何意义，运用数形结合的思想由图象直接求解，此法非常适合快速解答选择题与填空题。变式探究：解不等式解方法1：直接用公式原不等式可化为：，即，解之得，所以原不等式的解集为。方法2：函数与方程分别做出函数的图象，不等式的解即为函数的图象落在函数图象下方部分时的的取值构成的集合，只需通过方程组与分别解出函数与函数的图象交点的横坐标为、，如图1-5所示，由图可得不等式的解集为。图1-5方法剖析：和型不等式可推广到和型不等式，方法一仍然适用，关键是整体意识；方法二是运用数形结合的思想、函数与方程的思想，利用图象直接求解。本题中由图1-5也可以快速得出不等式的解集为。探究二、和型不等式的解法问题2：(2014年高考广东卷第9小题)不等式的解集是。解方法1：绝对值的几何意义这是个含2个绝对值的比较复杂的不等式，从绝对值的几何意义上来分析该不等式的解集就是数轴上到坐标分别为的点的距离之和不小于的点的坐标构成的集合，如图1-6所示，由图可得不等式的解集为。图1-6方法2：零点分割法当时，原不等式可以化为，解得，即不等式组的解集是。当时，原不等式可以化为，即，矛盾。所以不等式组的解集是。当时，原不等式可以化为，解得，即不等式组的解集是。综上所述，原不等式的解集是。方法3：构造函数原不等式可化为，构造函数，即作出函数图象如图1-7所示，由图可得函数的零点是。由图可知，当时，有即，原不等式的解集是。方法剖析：图1-7方法一利用了绝对值的几何意义，体现了数形结合思想，优点是直观简洁，适合快速解答选择、填空题。缺点是只适应于两绝对值中系数可化为1的和型不等式的解，如不等式，此法就不适用。方法二利用的解（零点），将数轴分为三个区间，然后在此三个区间上将原不等式转化为不含绝对值的不等式而解之。体现了分类讨论思想，属于通性通法，适合绝对值不等式的普遍类型。方法三通过构造函数，利用图象直观求解，体现了函数与方程的思想、数形结合的思想。此法不仅适合绝对值不等式的解，也可推广到其余类型的不等式，属于通性通法。探究三、带参数的绝对值不等式问题问题3、（2014年高考湖南卷11）若不等式的解集为，则=．解：方法1：直接用公式原不等式可化为，即，当时，可化为，所以，无解。当时，显然不合题意。当时，可化为，所以，解之得。方法2：函数与方程思想不等式的解集为，所以为不等式对应的方程的解，令，解之得。方法剖析：这是一个含参问题，方法一利用公式直接求解，但需要分类讨论。方法二利用函数、方程、不等式之间的关系（不等式的解的端点为对应方程的根），直接将解的端点代入方程求解，避免了分类讨论，快速而简洁，特别适合选择、填空题的快速解答。（四）教学反思笔者在该内容的教学实践中，通过课堂上引导学生对绝对值不等式的解法进行深