2020-2021高中数学第一册学案：第3章 3.4数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第一册学案：第3章3.4数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点含解析3。4数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点学习目标核心素养1。理解几种常见函数模型的概念及性质．(难点)2．会分析具体的实际问题，建模解决实际问题．(重点、难点）1。通过几种函数模型的学习，培养数学抽象的素养．2．理解几种函数模型的应用，培养数学建模的素养．牛顿(1642～1727）是英国著名的物理学家、数学家和天文学家，是17世纪最伟大的科学巨匠．然而，对于一些在自然科学上一知半解的人来说，牛顿的赫赫有名与其说来自于他的科学发现，毋宁说是来自于那个妇孺皆知的苹果落地的传说．那是1666年夏末的一个傍晚，在英格兰林肯郡乌尔斯索普，一个腋下夹着一本书的年轻人走进了他母亲家的花园,坐在一棵树下，开始埋头读他的书．正在他翻动书页时，他头顶上的树枝被风吹得晃动了起来．突然，“啪"的一声，一只历史上最著名的苹果落了下来，恰好打在了这位青年的头上．这位青年不是别人，正是牛顿．据说,牛顿当时正在苦苦思索着一个问题:是什么力量使月球保持在环绕地球运行的轨道上,又是什么力量使行星保持在其环绕太阳运行的轨道上？掉下来的苹果打断了他的思索，“为什么这只苹果会坠落到地上呢?”牛顿转而考虑起这个使他感到困惑不解的问题．有人说正是从这一问题的思考中，他找到了答案，并提出了万有引力定律．问题(1)你认为牛顿是从“苹果从树上落下”这一问题的思考中很简单的提出的万有引力吗？(2)你能想象一下牛顿发现万有引力的过程吗？1．对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题就是数学建模．2．数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解,验证结果、改进模型，最终解决实际问题．1．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图像如图所示,那么图像所对应的函数模型是(）A．分段函数 B．一次函数C．二次函数 D．反函数A［根据图像知，在不同的时间段内,行驶路程关于时间变化的图像不同，故对应函数模型应为分段函数．］2．在x克a％的盐水中，加入y克b%的盐水，浓度变为c％，则x与y的函数关系式为（)A．y＝eq\f（c－a，c－b)·x B．y＝eq\f（c－a，b－c)·xC．y＝eq\f(a－c，b－c）·x D．y＝eq\f(b－c,c－a）·xB[据题意有eq\f（a％x＋b%y,x＋y)＝c%，所以eq\f（ax＋by，x＋y)＝c，即ax＋by＝cx＋cy，所以（b－c）y＝（c－a）x，所以y＝eq\f(c－a，b－c）·x。]3．某车主每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油的情况：加油时间加油量（升)加油时的累计里程（公里)2019年123200020194832600(注：“累计里程”是汽车出厂后行驶的总路程）则16日－21日这段时间内汽车每百公里的平均油耗为()A．6升 B．C．10升 D．B[由表格信息,得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量为48÷6＝8（升)，故选B。]4．某家具的标价为132元，若降价以九折出售（即优惠10%）,仍可获利10%（相对进货价），则该家具的进货价是________元．108[设进货价为a元，由题意知132×(1－10％）－a＝10%·a,解得a＝108。］建模过程描述与介绍(1）发现问题当市面上的苹果比较多时,苹果的价格就会降低．这时，如果将苹果利用一定的技术手段进行保鲜存储，等到市面上的苹果变少、价格上升之后再出售，则同样多的苹果就可以获得比较高的销售收入．不过，需要注意的是，保鲜存储是有成本的，而且成本会随着时间的延长而增大．(2)提出问题针对上述这种日常生活中的现象,我们可以探讨的问题很多．例如，为什么会发生这些现象？什么情况下不会发生这样的现象?能够利用哪些技术手段进行保鲜存储？哪种保鲜存储的成本最低？等等．（3)用数学观点对问题分析①类似的这些问题,因为不仅仅涉及量的关系，所以如果只用数学手段研究，将是十分困难的．②上述现象中，涉及了量的增大与减少的问题,这可以用数学符号和语言进行描述．（4）用数学知识描述问题，建立模型①定性描述,确立初步模型设市面上苹果的量为x万吨,苹果的单价为y元．上述现象说明，y会随着x的增大而减少，且y也会随着x的减少而增大-—也就是说，如果y是x的函数并记作y＝f（x）的话，f（x)是减函数．同样地，如果设保鲜存储的时间为t天,单位数量的保鲜存储成本为C元，且C是t的函数并记作C＝g(t)的话，g(t）是一个增函数．由于市面上的苹果的量x会随着时间t的变化而变化，因此可以认为x是t的函数，并记作x＝h(t)。从上面这些描述不难看出，在第t天出售苹果时，单位数量的苹果所获得的收益z元可以用t表示出来，即z＝y－C＝f（x）－g（t)＝f（h（t））－g(t）。此时，如果f（x）,g（t）,h（t)都是已知的,则能得到z与t的具体关系式．有了关系式之后，就能解决如下问题：z是否有最大值？如果z有最大值，那么t为多少时z取最大值？②合理假设，确立模型怎样才能确定上述f（x），g（t)，h（t)呢?这可以通过合理假设来完成．例如，为了简单起见，我们可以假设f(x)和g（t)都是一次函数，且f（x）＝k1x＋l1，g(t)＝k2t＋l2；并假设h(t)是一个二次函数，且h（t）＝at2＋bt＋c.则有z＝f(h（t）)－g(t)＝k1at2＋(k1b－k2）t＋k1c＋l1－l2，其中k1＜0，k2＞0，a≠③收集数据确定参数上述各参数可以通过收集实际数据来确定．例如,如果我们收集到了如下实际数据．x/万吨8.47.6y/元0.81。2t/天12C/天0.110.12t/天123x/万吨9。4629。3289。198利用待定系数法,根据前面的假设就可以确定出y＝f（x）＝－0。5x＋5，C＝g(t）＝0.01t＋0.1，x＝h(t）＝0.002t2－0.14t＋9.6,因此z＝－0.001t2＋0.06t＋0。1.④问题解决与总结注意到上式可以改写成z＝－0.001(t－30）2＋1，所以此时在t＝30时，z取最大值1.也就是说,在上述情况下，保鲜存储30天时，单位商品所获得的利润最大，为1元．以上我们用叙述的方式，让大家经历了一个简单的数学建模全过程．在实际的数学建模过程中，为了向别人介绍数学建模的成果，给别人提供参考，我们还需要将建模结果整理成论文的形式．一般来说，数学建模论文的结构可以按照建模过程来确定．数学建模—建立函数模型解决实际问题【例】某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0。125万元和0.5万元．（1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系；(2）该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？[解]（1)设两类产品的收益与投资的函数分别为f（x）＝k1x，g(x)＝k2eq\r(x）.由已知得f(1）＝eq\f（1,8）＝k1，g（1)＝eq\f(1，2）＝k2,所以f(x）＝eq\f(1，8)x(x≥0),g（x）＝eq\f（1,2)eq\r(x)（x≥0).（2)设投资债券类产品为x万元,则投资股票类产品为（20－x）万元，依题意得y＝f（x）＋g(20－x）＝eq\f(1,8)x＋eq\f(1,2)eq\r（20－x)（0≤x≤20)。令t＝eq\r(20－x）（0≤t≤2eq\r（5)），则y＝eq\f（20－t2，8)＋eq\f(1，2）t＝－eq\f(1，8）(t－2）2＋3，所以当t＝2，即x＝16时，收益最大,即投资债券16万元，投资股票4万元时获得最大收益，最大收益为3万元．解决此类问题过程:如下图所示．eq\a\vs4\al（[跟进训练］)某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场销售中发现,此商品的销售单价x（元）与日销售量y件之间有如下关系(见下表）:销售单价x(元）…30404550…日销售量y(件）…6030150…(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对（x，y)对应的点，并确定y与x的一个函数关系式y＝f（x)；(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？[解](1）根据题干中所给表作图，如图,点(30，60)、(40，30)、(45，15）、（50,0）在同一条直线上，设此直线为y＝kx＋b,∴eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（50k＋b＝0，，45k＋b＝15，））解得eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（k＝－3，，b＝150.))∴y＝－3x＋150（30≤x≤50).经检验，点(30，60)、（40，30）也在此直线上，故所求函数关系式为y＝－3x＋150(30≤x≤50)。（2)依题意有P＝y(x－30)＝(－3x＋150）（x－30）＝－3（x－40)2＋300，∴当x＝40时，P有最大值300。故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润。1．已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地,把汽车离开A地的距离x表示为时间t(时）的函数表达式是（）A．x＝60t＋50t（0≤t≤6。5）B．x＝eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（60t（0≤t≤2。5），150（2.5＜t≤3。5），150－50t（3。5＜t≤6。5））)C．x＝eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(60t(0≤t≤2。5），150－50t（t＞3.5）））D．x＝eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（60t(0≤t≤2。5)，150（2.5＜t≤3.5），150－50（t－3.5)（3.5＜t≤6.5）））D[根据题意，函数为分段函数，求出每一段上的解析式即可．]2．甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模（产量)进行调查，提供了两个方面的信息，如图．甲调查表明:每个甲鱼池平均产量从第1年1万只甲鱼上升到第6年2万只．乙调查表明：甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个．请你根据提供的信息说明:（1）第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数;（2）第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了？说明理由；（3)第几年的养殖规模最大？最大养殖量是多少？［解](1)由题图可知，直线y甲＝kx＋b经过（1，1)和（6，2）,可求得k＝0。2，b＝0。8.∴y甲＝0.2（x＋4）.同理可得y乙＝4eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x＋\f(17,2））)。当x＝2时，y甲＝1。2，y乙＝26，故第2年甲鱼池的个数为26个，全县出产甲鱼的总数为26×1.2＝31.2（万只）.（2)规模缩小了．原因是:第一年出产甲鱼总数30万只，而第6年出产甲鱼总