高中高考数学数列专题复习总结计划

高考数学数列专题复习【知识框架】定义项，通项数列基础知识数列表示法数列分类数列定义等差数列通项公式等比数列前n项和公式特别数列性质其余特别数列乞降【知识重点1】一、数列的观点1.数列是按必定次序摆列的一列数，记作a,a,aa,简记{a}.123nn2.数列{an}的第n项an与项数n的关系若用一个公式an=f(n)给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式.3.假如已知数列{a}的第一项（或前几项），且任何一项a与它的前一项annn-1（或前几项）间的关系能够用一个式子来表示，即an=f（an-1）或an=f（an-1，an-2），那么这个式子叫做数列{a}的递推公式.n4.数列能够看做定义域为N*（或其子集）的函数，当自变量由小到大挨次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点.二、数列的表示方法：列举法、图示法、分析法（用通项公式表示）和递推法（用递推关系表示）.三、数列的分类1/81.依据数列的项数分：有穷数列、无量数列.2.依据任何一项的绝对值能否不超出某一正数分：有界数列、无界数列.从函数角度考虑分：（考点）①递加数列：关于任何n∈N+，均有an+1>an②递减数列：关于任何n∈N+，均有an+1<an③摇动数列：比如:1，-1，1，-1，1，-1④常数数列：比如:6，6，6，6，6，6⑤有界数列：存在正数M，使an<M,n∈N+⑥无界数列：关于任何正数M,总有项an,使得|an|>M四、an与Sn的关系：（考点）S1(n=1)nainn-1(n≥2)i11.Sn=a+a+a++a=2.a=123nn【例题1】已知数列{an}是递加数列,其通项公式为n2+λn（n=1，2，3）,则实数λ的取值范围.a=n[分析]：∵数列{an}的通项公式为an=n2+λn（n=1，2，3）数列是递加数列an+1-an=(n+1)2+λ(n+1)-n2-λn=2n+1+λ>0恒建立∵2n+1+λ的最小值是3+λ∴3+λ>0∴λ>-3实数λ的取值范围是（-3，+∞）【例题2】数列{ann2-28n,则数列各项中最小项是（B）}的通项公式为a=3nA．第４项B．第５项C．第６项D．第７项28[分析1]：an=f(n)=3n2-28n，f(n)是一元二次函数，其图像张口向上，有最低点，最低点是6因为n∈N+，故取n=4和n=545，应选择B代入，获得a=-64，a=-65[分析2]：an≥an-13n2-28n≥3(n-1)2-28(n-1)设an为数列的最小项，则有代入化简获得3n2-28n≤3(n+1)2-28(n+1)an≤an+12/82531n6故n=5解得：6【练习1】在数列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中，x的值为（Ｄ）A．10B．11C．12D．13-2(n=1)【练习2】数列{ann2nn}的前n项和S=n-4n+1，则aa=2n-5(n≥2)【知识重点2等差数列】定义：假如数列{an}从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差.即an-an-1=d（n∈N+，且n≥2），或许an+1-an=d（n∈N+）通项公式：an=a1+(n-1)dan=am+(n-m)d(公式的变形)an=an+b此中a=d，b=a1-d前n项和公式：Snn(a1an)Snna1n(n-1)d(公式的变形)Sn=An2+Bnda1d22此中A=2B=2性质：（1）公式变形2）假如A=a+b2

,那么A叫做a和b的等差中项.（3）若{an}为等差数列，且有k+l=m+n,则ak+al=am+an（4）若{an},{bn}为等差数列则{pan+qbn}是等差数列，此中p,q均为常数（5）若{an}为等差数列，则ak,ak+m,ak+2m,...（k,m?N*）构成公差为md的等差数列.6）若Sm,S2m,S3m分别为{an}的前n项，前2m项，前3m项的和，则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列.（7）若{an}设等差数列，则{Sn}是等差数列，其首项与{an}首项同样，公差是{an}公差的1n2（7）非零等差数列奇数项与偶数项的性质3/8S偶anS偶n若项数为2n,则S偶-S奇=nd，S奇an1若项数为2n-1,则S偶=(n-1)an，S奇=nan，S奇n-15.判断：①定义法：an+1n+）-a=d（n∈N②中项法：2an+1nn+2{an}为等差数列.=a+a③通项公式法：an=an+b（a,b为常数）④前n项和公式法：Sn=An2+Bn（A,B为常数）【例题1】已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S84S4，则a10（B）1719（A）2（B）2（C）10（D）12Snna1n(n-1)2dd=1∴S8=8a1+28S4=4a1+6[分析]：∵19∵S8=4S4∴a1=0.5an=a1+(n-1)d∴a10=2【例题2】在等差数列an中，若a3a4a5a6a725，则a2a8=10.an是等差数列，因此a3a7a4a6a2a82a5，a3a4a5a6a75a525[分析]：因为即a55，因此a2a82a510，故应填入10．【知识重点3等比数列】定义：假如一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个不为零的常熟，那么这个数列就an+1=q(n?N*)叫做等比数列.这个常熟叫做等比数列的公比，往常用字母q表示，及an通项公式：假如等比数列{an}的公比为q，那么它的通项公式为an=a1qn-1.3.前n项和公式：na(q=1)1设等比数列{an}的公比为q，其前n项和Sn=a1(1qn)a1anq1q或1q(q≠1)4/8性质：（1）等比数列{an}知足或时，{an}是递加数列；知足或时，{an}是递减数列.当q=1时，{an}为常数数列；当q<0时，{an}为摇动数列，且全部奇数项与a1同号，全部偶数项与a异号.1（2）关于正整数m,n,p,q,若m+n=p+q,则在等比数列{an}中，am,an,ap,aq的关系为:am·an=ap·aq1nan2a（3）若{an},{bn}为等比数列（项数同样），则{lan}(l≠0),{an},{},{an·bn},{bn}还是等比数列.（4）假如a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且G=±√ab.不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个等比中项.【例题1】已知数列{an}是递加的等比数列，a1a49,a2a38，则数列{an}的前n项和等于2n1.Sna1(1qn)12n2n1[分析]：由题意解得：a=1，a=8，q=2，那么1q1214【例题2】数列an中a12,an12an,Sn为an的前n项和，若Sn126，则n6.n+1n∴数列an是等比数列，q=2[分析]：∵a=2aa1(1qn)∵Sn=1q=126此中a1=2∴n=6【知识重点4】★（大题）一、考点1：求an：概括法（由特别到一般即找规律）因为概括法求解通项的题目一般在选择填空常有，较少出此刻大题中.5/8利用Sn与an的关系求通项公式由Snn和n≥2两种状况议论，而后考证两种状况可否用一致的式子表示.若不可以，则分求a时，要分n=1段表示.由递推关系求数列的通项公式【累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学概括法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特点根法】1.累加法：若已知a1且an-an-1=f(n)(n32)则(an-an-1)+(an-1-an-2)+...+(a3+a2)+(a2+a1)=an+a1=f(n)+f(n-1)+...+f(3)+f(2)，即an=a1+f(2)+f(3)+...+f(n-1)+f(n).2.累乘法：若已知a1且ananan-1a3a2,即=f(n)(n32),则··...··=f(n)·f(n-1)·....·f(3)·f(2)an-1an-1an-2a2a1an=a1·a2·f(2)·f(3)·...·f(n-1)f(n)3.换元法：若已知a1且an=pan-1+b(n32,且pp10,p11）则令bn=an+l,可得{bn}（此中bn=pbn-1）为等比数列，此中l=b可用待定系数法求出.p-1【例题1】已知数列{an}知足an1an2n1，a11，求数列{an}的通项公式.（累加法）解：由an1an2n1得an1an2n1则an(anan1)(an1an2)L(a3a2)(a2a1)a1[2(n1)1][2(n2)1]L(221)(211)12[(n1)(n2)L21](n1)12(n1)n(n1)12(n1)(n1)1n2因此数列{an}的通项公式为ann2.【例题2】已知数列{an}知足an12(n1)5nan，a13，求数列{an}的通项公式.（累乘法）an1n解：因为an12(n1)5nan，a13，因此an0，则an2(n1)5，故6/8ananan1La3a2a1an1an2a2a1[2(n11)5n1][2(n21)5n2]L[2(21)52][2(11)51]32n1[n(n1)L32]5(n1)(n2)L2132n1n(n1)352n!32n1n(n1)因此数列{an}的通项公式为an52n!.二、考点2：求Sn：1.公式法：直接用等差、等比数列的乞降公式求解2.倒序相加法：在数列{an}中，与首末两头等“距离”的两项和相等或可构成能乞降的新数列，可用倒序相加法求此数列的前n项和.（此法在实质解体过程中其实不常用，例子：等差数列前n项和公式推导）3.错位相减法：在数列{anbn}中，{an}是等差数列，{bn}是等比数列，可用错位相减法求此数列的前n项和.4.裂项相消法：把数列的每一项拆成两项之差，乞降时有些部分能够互相抵消，进而达到乞降的目的.5.分组转变乞降法：若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列构成，则乞降时可用分组转变法分别乞降再相加减.即把复杂的通项公式乞降的任务转变为简单的等差和等比的乞降.6.并项乞降法：一个数列的前n项和中，可两两联合求解，则称之为并项乞降.形如an=(-1)nf(n)种类，可采纳两项归并求解.【例题1】设数列an知足a2,aa322n1an的通项公式；1n1n，（1）求数列（2）令bnnan，求数列的前n项和Sn（错位相减法）.[分析]：（1）由已知，当n≥1时，an1[(an1an)(anan1)L(a2a1)]a13(22n122n3L2)