2020-2021高中数学人教版第一册学案：5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年高中数学新教材人教A版必修第一册学案：5.4.1正弦函数、余弦函数的图象含解析5。4三角函数图象与性质5。4.1正弦函数、余弦函数的图象【素养目标】1．了解利用单位圆正弦函数的概念画正弦曲线的方法．（数学抽象）2．掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能利用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线．(直观想象)3．理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系．（逻辑推理）4．通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工作精神．（逻辑推理)【学法解读】本节学习中,学生首先回顾三角函数的定义，再利用单位圆作出正弦函数的图象，从而得出“五点法"，培养学生的直观想象．必备知识·探新知基础知识知识点1正弦曲线正弦函数y＝sinx，x∈R的图象叫__正弦曲线__.思考1：作正弦函数的图象时，函数自变量(x)应使用什么作单位？为什么?提示：作正弦函数的图象时，函数自变量要用弧度制，以保证自变量与函数值都为实数．知识点2正弦函数图象的画法（1)几何法:①利用正弦线画出y＝sinx,x∈[0,2π］的图象；②将图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度）．（2)“五点法”：①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的__五个关键点__（0，0),（eq\f(π,2)，1）,（π,0)，(eq\f(3π,2)，－1)，(2π，0）,用光滑的曲线连接;②将所得图象向左、向右平行移动（每次2π个单位长度）．思考2：观察上图,你认为正弦曲线是如何画出来的？提示：利用单位圆中的正弦线可以作出y＝sinx，x∈［0，2π］的图象，将y＝sinx在［0，2π］内的图象左右平移即可得到正弦曲线．知识点3余弦曲线余弦函数y＝cosx，x∈R的图象叫余弦曲线．思考3:你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象?提示：诱导公式左右平移知识点4余弦函数图象的画法（1）要得到y＝cosx的图象，只需把y＝sinx的图象向左平移eq\f(π,2）个单位长度即可，这是由于cosx＝sin(x＋eq\f(π，2))．（2）用“五点法"：画余弦函数y＝cosx在[0，2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为（0，1)，（eq\f（π，2），0）,（π，－1)，(eq\f(3π，2),0)，（2π，1），再用光滑的曲线连接．思考4：正弦曲线和余弦曲线有怎样的关系？提示:eq\x(\a\al(y＝sinx，，x∈R的图象））eq\o（,\s\up7(向左平移eq\f(π,2）个单位，向右平移eq\f（π,2）个单位））eq\x(\a\al（y＝cosx，,x∈R的图象））基础自测1．对于正弦函数y＝sinx的图象，下列说法错误的是（D）A．过原点B．与y＝cosx的图象形状相同，只是位置不同C．与x轴有无数个交点D．关于y轴对称2．从函数y＝cosx,x∈［0，2π)的图象来看，满足cosx＝eq\f（1，2)的x有（B)A．1个值 B．2个值C．3个值 D．4个值3．用五点法画y＝sinx，x∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点(A)A．（eq\f（π,6)，eq\f(1,2)） B．(eq\f(π,2),1)C．（π,0) D．(2π，0)4．已知正弦函数过点（eq\f（π，6）,m），则m的值为(A)A．eq\f（1，2) B．－eq\f（1,2)C．eq\f（\r（3）,2) D．15．在“五点法”中，正弦曲线最低点的横坐标与最高点的横坐标的差等于(B）A．eq\f(π，2) B．πC．eq\f（3π,2) D．2π关键能力·攻重难题型探究题型一用“五点法”作三角函数的图象例1用“五点法”作出下列函数的简图：（1)y＝sinx－1，x∈[0,2π］;(2）y＝2＋cosx，x∈［0,2π］．[分析］先在［0，2π]上找出五个关键点，再用光滑曲线连接即可．［解析］（1)列表x0eq\f（π,2）πeq\f（3，2)π2πsinx010－10sinx－1－10－1－2－1描点，连线，如图（2）列表：x0eq\f(π,2）πeq\f(3，2）π2πcosx10－1012＋cosx32123描点连线,如图[归纳提升]用“五点法”画函数y＝Asinx＋b(A≠0）或y＝Acosx＋b(A≠0)在[0，2π]上的简图的步骤:（1)列表:x0eq\f（π,2)πeq\f（3,2)π2πsinx或cosx0或11或00或－1－1或00或1yy1y2y3y4y5（2）描点:在平面直角坐标系中描出下列五个点：（0,y1），(eq\f(π,2)，y2)，（π，y3),(eq\f(3π，2），y4），（2π，y5）．(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来．【对点练习】❶用“五点法”画出下列函数在区间[0，2π]上的简图．(1)y＝2－sinx；(2）y＝cosx－1。［解析]（1）按五个关键点列表:x0eq\f（π，2)πeq\f（3π,2)2πsinx010－102－sinx21232描点并将它们用光滑的曲线连接起来（如图(1）)．(2）按五个关键点列表：x0eq\f（π，2)πeq\f(3π，2）2πcosx10－101cosx－10－1－2－10描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图（2)）．题型二利用图象平移作三角函数的图象例2利用图象变换作出下列函数的简图：（1）y＝1－cosx，x∈［0，2π];（2）y＝｜sinx｜，x∈[0，4π］．[分析］先作出y＝cosx和y＝sinx,x∈[0，2π］上的图象,再作对称和平移变换．[解析］（1)首先用五点法作出函数y＝cosx,x∈[0，2π］的图象,再作出y＝cosx关于x轴对称的图象，最后将图象向上平移1个单位．如图(1）所示．(2）首先用五点法作出函数y＝sinx，x∈［0，4π］的图象，再将x轴下方的部分对称到x轴的上方．如图(2)所示．［归纳提升]1.平移变换（1)函数y＝f（x＋a)的图象是由函数y＝f（x)的图象向左(a〉0)或向右(a<0)平移|a|个单位得到的．(2)函数y＝f（x)＋b的图象是由函数y＝f（x)的图象向上(b〉0)或向下（b〈0)平移|b|个单位得到的．2．对称变换(1）函数y＝｜f（x)｜的图象是将函数y＝f（x）的图象在x轴上方的部分不动，下方的部分对称翻折到x轴上方得到．（2)函数y＝f（｜x|)的图象是将函数y＝f（x)的图象在y轴右边的部分不动,并将其对称翻折到y轴左边得到．（3）函数y＝－f（x)的图象与函数y＝f（x)的图象关于x轴对称．(4)函数y＝f（－x）的图象与函数y＝f(x)的图象关于y轴对称．（5）函数y＝－f（－x）的图象与函数y＝f（x)的图象关于原点对称．【对点练习】❷函数y＝cosx|tanx｜(0≤x<eq\f(3π,2），且x≠eq\f（π,2）)的图象是(D）[解析]将函数写成分段函数可得y＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（sinx,0≤x<\f(π，2)，－sinx，\f(π,2)<x≤π,sinx，π<x〈\f（3，2）π））观察选项可知选D．误区警示利用正弦函数、余弦函数图象判断方程根的个数例3方程sinx＝lgx的实根个数有（C）A．1个 B．2个C．3个 D．无穷多个[错解］如图所示，y＝sinx与y＝lgx的图象，有且只有1个公共点，故选A．［错因分析］作y＝lgx图象时，没有找准临界点的坐标，只作出了草图．[正解］在同一直角坐标系中作函数y＝sinx与y＝lgx的图象．由图中可以看出两函数图象有三个交点（xi,yi)，其中xi∈(1,10)(i＝1，2,3）是方程sinx＝lgx的解．［方法点拨］有些方程从正面直接求解较难时，可通过对方程变形，转化成两个熟悉的函数，再通过画函数图象，利用数形结合求解．学科素养利用正、余弦函数的图象解不等式例4利用正弦曲线，求满足eq\f(1，2）〈sinx≤eq\f（\r（3），2）的x的集合．[分析］作出正弦函数的图象，再利用数形结合法求解．［解析］首先作出y＝sinx在［0，2π]上的图象．如图所示,作直线y＝eq\f(1，2)，根据特殊角的正弦值,可知该直线与y＝sinx，x∈[0，2π]的交点横坐标为eq\f(π,6）和eq\f（5π，6）；作直线y＝eq\f(\r(3),2），该直线与y＝sinx,x∈[0，2π]的交点横坐标为eq\f(π,3)和eq\f(2π,3）。观察图象可知，在[0,2π］上,当eq\f（π，6）<x≤eq\f（π，3），或eq\f（2π,3)≤x<eq\f(5π，6）时,不等式eq\f（1,2)〈sinx≤eq\f(\r（3),2)成立．所以eq\f（1，2)〈sinx≤eq\f(\r(3)，2)的解集为｛x｜eq\f（π，6)＋2kπ<x≤eq\f（π,3)＋2kπ或eq\f（2π，3)＋2kπ≤x<eq\f(5π,6）＋2kπ，k∈Z}．[归纳提升]用三角函数图象解三角不等式的步骤(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在［0,2π]上的图象．（2)写出适合不等式在区间[0，2π］上的解集．(3)根据公式一写出定义域内的解集．课堂检测·固双基1．用“五点法”作出函数y＝3－cosx的图象，下列点中不属于五点作图中的五个关键点的是(A)A．（π，－1） B．（0，2）C．(eq\f（π，2)，3） D．(eq\f(3，2)π，3)2．函数y＝－sinx，x∈［－eq\f(π，2），eq\f（3π，2)］的简图是（D）［解析］用特殊点来验证．x＝0时，y＝－sin0＝0，排除选项A、C；又x＝－eq\f(π，2)时,y＝－sin（－eq\f(π,2）)＝1,排除选项B．3．（2020·广州海珠区期中)函数y＝eq\r(\f(2，sinx)）的定义域为（C)A．［0，π]B．{第一或第二象限的角｝C．{x｜2kπ<x<(2k＋1）π,k∈Z｝D．(0，π)[解析］要使函数y＝eq\r(\f(2，sinx））有意义，则需sinx〉0，由y＝sinx的图象可得｛x｜2kπ<x<（2k＋1)π，k∈Z}．4．函数y＝sinx,x∈[0，2π]的图象与直线y＝－eq\f(1,2）的交点有(B)A．1个 B．2个C．3个 D．4个[解析］如图所示，y＝sinx，x∈[0，2π］与y＝－eq\f（1，2）的图象有2个交点．5．用“五点法”作出下列函数的简图：（1)y＝－sinx（0≤x≤2π）；（2)