2020-2021高中数学人教版第一册5.2.2 同角三角函数的基本关系式含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第一册课时作业：5.2.2同角三角函数的基本关系式含解析第五章5。25.2.2A组·素养自测一、选择题1．α是第四象限角，cosα＝eq\f（12,13)，则sinα等于(B）A．eq\f(5,13) B．－eq\f(5，13）C．eq\f(5,12） D．－eq\f（5,12)［解析］∵α是第四象限角,∴sinα〈0。∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（cosα＝\f(12，13)，，sin2α＋cos2α＝1，）)∴sinα＝－eq\f（5,13）.2．化简eq\r（1－cos2220°）的结果为(D)A．sin220° B．cos220°C．－cos220° D．－sin220°［解析］eq\r（1－cos2220°）＝|sin220°｜，又220°为第三象限角,所以sin220°〈0，故eq\r（1－cos2220°）＝－sin220°.3．已知eq\f(1＋sinx,cosx）＝－eq\f(1，2)，则eq\f（cosx，sinx－1）＝(A）A．eq\f（1,2) B．－eq\f(1，2）C．2 D．－2[解析]由sin2x＋cos2x＝1得cos2x＝1－sin2x，得cos2x＝(1－sinx)(1＋sinx），得eq\f(1＋sinx，cosx）＝eq\f(cosx,1－sinx)，所以eq\f(cosx,sinx－1)＝－eq\f(cosx,1－sinx)＝－eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（1,2)））＝eq\f(1,2）.故选A．4．若α为第三象限角，则eq\f(cosα,\r（1－sin2α))＋eq\f（2sinα,\r（1－cos2α））的值为（B)A．3 B．－3C．1 D．－1[解析]∵α为第三象限角，∴cosα<0，sinα<0，∴原式＝－eq\f（cosα,cosα)－eq\f(2sinα，sinα）＝－3。5．已知α是三角形的一个内角，且sinα＋cosα＝eq\f（2,3）,那么这个三角形的形状为(B）A．锐角三角形 B．钝角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形［解析］（sinα＋cosα）2＝eq\f(4,9），∴2sinαcosα＝－eq\f(5，9）〈0,又∵α∈(0，π），sinα>0。∴cosα〈0,∴α为钝角．6．已知sinα－3cosα＝0,则sin2α＋sinαcosα值为(B)A．eq\f(9,5) B．eq\f（6，5)C．3 D．4［解析］由sinα－3cosα＝0，∴tanα＝3,又sin2α＋sinαcosα＝eq\f（sin2α＋sinαcosα,sin2α＋cos2α）＝eq\f(tan2α＋tanα，1＋tan2α)＝eq\f（12,10)＝eq\f（6,5）.二、填空题7．在△ABC中,eq\r（2）sinA＝eq\r（3cosA），则∠A＝__60°__。［解析]∵2sin2A＝3cosA，∴2(1－cos2A）＝3cosA,即(2cosA－1)(cosA＋2)＝0，∴cosA＝eq\f(1，2),cosA＝－2（舍去），∴A＝60°.8．已知tanα＝cosα，那么sinα＝__eq\f(－1＋\r(5）,2)__.[解析]由于tanα＝eq\f（sinα,cosα)＝cosα，则sinα＝cos2α,所以sinα＝1－sin2α,解得sinα＝eq\f(－1±\r（5),2).又sinα＝cos2α≥0，所以sinα＝eq\f(－1＋\r（5),2)。9．若eq\f（2sinα＋cosα，3sinα－2cosα）＝1，则tanα的值为__3__。[解析］eq\f(2sinα＋cosα,3sinα－2cosα)＝1化为eq\f（2tanα＋1,3tanα－2）＝1，所以2tanα＋1＝3tanα－2，所以tanα＝3.三、解答题10．求证：sinα（1＋tanα）＋cosα(1＋eq\f（1，tanα））＝eq\f(1,sinα）＋eq\f（1，cosα).［证明]左边＝sinα（1＋eq\f（sinα,cosα)）＋cosα(1＋eq\f（cosα，sinα）)＝sinα＋eq\f(sin2α,cosα）＋cosα＋eq\f（cos2α，sinα）＝eq\f(sin2α＋cos2α,sinα）＋eq\f（sin2α＋cos2α,cosα)＝eq\f（1,sinα)＋eq\f(1，cosα）＝右边．即原等式成立．11．已知sinθ、cosθ是方程4x2－4mx＋2m－1＝0的两个根,eq\f（3π，2）<θ〈2π，求角θ。［解析]∵eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（sinθ＋cosθ＝m，，sinθ·cosθ＝\f（2m－1,4)，，Δ＝16m2－2m＋1≥0，)）代入(sinθ＋cosθ）2＝1＋2sinθ·cosθ，得m＝eq\f（1±\r（3),2）.又∵eq\f(3π,2）〈θ〈2π.∴sinθ·cosθ＝eq\f（2m－1，4）<0,sinθ＋cosθ＝m＝eq\f（1－\r（3），2)，∴sinθ＝－eq\f（\r（3)，2),cosθ＝eq\f(1，2).又∵eq\f(3π，2）〈θ〈2π，∴θ＝eq\f(5π,3）。B组·素养提升一、选择题1．若π<α<eq\f（3π,2）,eq\r(\f（1－cosα,1＋cosα))＋eq\r（\f（1＋cosα,1－cosα)）的化简结果为(D）A．eq\f（2,tanα) B．－eq\f(2,tanα)C．eq\f(2，sinα） D．－eq\f（2，sinα）[解析]原式＝eq\r（\f(1－cosα2，1－cos2α))＋eq\r(\f(1＋cosα2,1－cos2α）)＝eq\f(1－cosα，｜sinα｜）＋eq\f(1＋cosα，|sinα|)＝eq\f（2,｜sinα|），∵π<α〈eq\f（3π，2)，∴原式＝－eq\f（2,sinα).2．若eq\f（sinθ＋2cosθ，sinθ－cosθ）＝2，则sinθ·cosθ＝（D）A．－eq\f(4,17) B．eq\f(4,5)C．±eq\f(4，17） D．eq\f（4,17）［解析]由eq\f(sinθ＋2cosθ,sinθ－cosθ)＝2，得tanθ＝4，sinθcosθ＝eq\f(sinθcosθ，sin2θ＋cos2θ）＝eq\f（tanθ，1＋tan2θ）＝eq\f(4，17)。3．（多选题)下列计算或化简结果正确的是(AB)A．eq\f（2tanαcosα,sinα）＝2B．若sinθ·cosθ＝eq\f(1，2)，则tanθ＋eq\f(cosθ,sinθ)＝2C．若tanx＝eq\f(1,2)，则eq\f（2sinx,cosx－sinx)＝1D．若sinα＝eq\f（2\r(5)，5)，则tanα＝2[解析］A正确,eq\f（2tanαcosα，sinα）＝eq\f(2sinα,cosα）·eq\f(cosα，sinα）＝2；B正确，tanθ＋eq\f(cosθ,sinθ）＝eq\f(sinθ，cosθ)＋eq\f（cosθ，sinθ）＝eq\f（1,sinθcosθ)＝2；C不正确，eq\f（2sinx，cosx－sinx)＝eq\f（2tanx，1－tanx)＝eq\f（2×\f（1，2)，1－\f(1，2))＝2;D不正确，∵α范围不确定，∴tanα的符号不确定．4．(多选题）若α是第二象限的角，则下列各式中成立的是(BC）A．tanα＝－eq\f(sinα,cosα）B．eq\r（1－2sinαcosα)＝sinα－cosαC．cosα＝－eq\r(1－sin2α）D．eq\r(1＋2sinαcosα)＝sinα＋cosα［解析]由同角三角函数的基本关系式，知tanα＝eq\f（sinα,cosα)，所以A错；因为α是第二象限角，所以sinα>0,cosα<0，所以sinα－cosα〉0，sinα＋cosα的符号不确定，所以eq\r（1－2sinαcosα)＝eq\r（sinα－cosα2）＝sinα－cosα，所以B，C正确,D错．二、填空题5．已知sinα－cosα＝eq\r（2)（0〈α<π)，则sinα＝__eq\f（\r（2)，2）__,tanα＝__－1__.［解析]由题意可得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（sinα－cosα＝\r(2),,sin2α＋cos2α＝1，,sinα〉0，））解得sinα＝eq\f（\r(2）,2）,cosα＝－eq\f(\r（2），2）,则tanα＝eq\f（sinα，cosα）＝－1.6．已知sinθ＝eq\f（m－3，m＋5)，cosθ＝eq\f（4－2m,m＋5)，则tanθ＝__－eq\f（3，4）或－eq\f（5，12）__。［解析]由sin2θ＋cos2θ＝1得，m＝0或8.m＝0时,sinθ＝－eq\f(3，5）,cosθ＝eq\f(4,5）,tanθ＝－eq\f(3,4）；m＝8时，sinθ＝eq\f(5,13),cosθ＝－eq\f(12,13），tanθ＝－eq\f(5,12)。7．在△ABC中，若tanA＝eq\f(\r（2），3),则sinA＝__eq\f(\r（22)，11）__.［解析]因为tanA＝eq\f(\r（2），3)>0,则∠A是锐角，则sinA〉0,解方程组eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(sin2A＋cos2A＝1，，\f（sinA,cosA）＝\f（\r(2),3),))得sinA＝eq\f(\r（22）,11).三、解答题8．化简下列式子．（1)cos6α＋sin6α＋3sin2αcos2α；（2)若x是第二象限角，化简eq\f（sinx,1－cosx)·eq\r(\f（tanx－sinx,tanx＋sinx））.[解析](1)原式＝(cos2α＋sin2α)(cos4α－cos2αsin2α＋sin4α)＋3sin2α·cos2α＝cos4α＋2sin2αcos2α＋sin4α＝(sin2α＋cos2α）2＝1。（2)原式＝eq\f(sinx，1－cosx）·eq\r（\f(sinx－sinxcosx,sinx＋sinxcosx))＝eq\f(sinx,1－cosx）·eq\r（\f（1－cosx,1＋cosx）)＝eq\f（sinx,1－cosx)·eq\r（\f（1＋cosx1－cosx，1＋cosx2)）＝eq\f（sinx,1－cosx）·eq\f（｜sinx｜，1＋cosx)。∵x为第二象限角，∴sinx>0，∴原式＝eq\f（sin2x,1－cos2x）＝1.9．已知关于x的方程2x2－（eq\r（3)＋1）x＋m＝0的两个根分别为sinθ和cosθ，θ∈(0,eq\f（π，2)）．（1)求eq\f（sinθ，1－\f(1,tanθ）)＋eq\f(cosθ,1－tanθ）的值;(2)求实数m的值；（3)求sinθ，cosθ及θ的值．[解析](1）由题意，得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（sinθ＋cosθ＝\f(\r（3）＋1，2)，，sinθcosθ＝\f（m,2)，)）所以eq\f（sinθ,1－\f(1，tanθ)）＋eq\f（cosθ,1－tanθ)＝eq\f(sin2θ,sinθ－cosθ）＋eq\f(cos2θ,cosθ－sinθ)＝eq\f(sin2θ－cos2θ，sinθ－cosθ）＝sinθ＋cosθ＝eq\f(\r(3）＋1,2）.（2）由(1），知sinθ＋cosθ＝eq\f(\r（3)＋1,2),将上式两边平方，得1＋2sinθcosθ＝eq\f（2＋\r(3)，2）,所以sinθcosθ＝eq\f（\r（3),4），由(1)，知eq\f(m,2）＝eq\f(\r(3），4)，所以m＝eq\f（\r（3）,2)。（3)由（2)可知原方程为2x2－（eq\r(3）＋1)x＋eq\f(\r（3)，2)＝0，解得x1＝eq\f(\r（