理论力学03二平面力系二

1理论力学第二章平面力系二2静力学第二章平面力系二平面任意力系

若所有力的作用线都在同一平面内，且它们既不相交于一点，又不平行，此力系称为平面任意力系，简称平面力系。本章将研究该力系的简化与平衡问题，这是静力学的重点之一。本章还介绍平面简单桁架的内力计算。3静力学第二章平面力系二§2-1平面任意力系向作用面内一点简化

要研究一个力系的平衡，首先要研究它的简化。力系简化的理论基础是力线平移定理。1．力线平移定理

作用在刚体上点A的力F可以平行移动（简称平移）到任一点O上，但必须同时附加一个力偶，此附加力偶的矩等于原来力F对新作用点B的矩。

4静力学第二章平面力系二请看动画5静力学第二章平面力系二6静力学第二章平面力系二2．平面任意力系向作用面内一点简化•主矢与主矩

设刚体上有一平面任意力系F1，F2，…，Fn，如图（a）。应用力线平移定理，得一作用在点O的汇交力系F1′，F2′，…，Fn′以及相应的附加平面力偶系M1，M2，…，Mn，如图（b）。再将平面汇交力系进一步合成过点O的一个力FRˊ，如图（c）,即

(c)7静力学第二章平面力系二平面力偶系进一步合成为对点O的一个力偶MO，即

FRˊ是平面汇交力系的合力，它的大小和方向称为原力系的主矢。MO为平面力偶系的合力偶，但它是原力系的主矩。主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关，故必须指明力系是对于哪一点的主矩。

结论：平面任意力系向作用面内任一点O简化。可得一个作用线通过简化中心的与主矢相等的力和一个相对于简化中心的主矩。该主矩等于原力系对简化中心的矩。它们的解析表达式为

8静力学第二章平面力系二大小方向余弦主矩9静力学第二章平面力系二3．固定端约束及其约束力

在工程实际中，有一种约束称为固定端（或插入端）支座，如电线杆的支座，阳台的支座等约束，使被约束物体既不能移动也不能转动。其力学模型如下图所示。

10静力学第二章平面力系二约束给约束物体的约束力实际上是一个分布力，在平面问题中，它是一个平面任意力系，如图（a）所示。无论它们是如何分布，根据力系简化理论，可将它们向A点简化得一力FA及一力MA，如图（b）所示，也可表示成两个分力FAx，FAy的形式，如图（c），共有三个未知数。

11静力学第二章平面力系二4.平面任意力系的简化结果分析

简化结果可有四种情况：（1）FRˊ=0，MO≠0；（2）FRˊ≠0，

MO=0；（3）FRˊ≠0，

MO≠0；（4）FRˊ=0，MO=0。对以上进一步分析有以下三种情形。

（1）简化为一个力偶当FR=0，MO≠0则原力系合成为合力偶，其矩为

此时主矩与简化中心选择无关，主矩变为原力系合力偶，即

12静力学第二章平面力系二⑵简化为一个合力

当FRˊ≠0，

MO=0则原力系合成为合力，其作用线恰好通过选定的简化中心O，即

FR=FRˊ

当

FRˊ≠0，MO≠0

则原力系合成为合力，合力矢等于主矢，即

FR=FRˊ但合力作用线不通过简化中心O，而到点O的距离d为

13静力学第二章平面力系二至于作用线在点O哪一侧，需根据主矢方向和主矩转向确定。如下图所示

由此很容易证得平面任意力系的合力矩定理：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。即

⑶平衡

当FRˊ=0，MO

=0

则原力系平衡。

14静力学第二章平面力系二例题2-1

在长方形平板的O，A，B，C点上分别作用着有四个力：F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN（如图），试求以上四个力构成的力系对O点的简化结果，以及该力系的最后合成结果。F1F2F3F4OABCxy2m3m30°60°15求向O点简化结果解：建立如图坐标系Oxy。所以，主矢的大小1.求主矢。F1F2F3F4OABCxy2m3m30°60°静力学第二章平面力系二例题2-1162.求主矩MO由于主矢和主矩都不为零，所以最后合成结果是一个合力FR。如右图所示。主矢的方向：合力FR到O点的距离静力学第二章平面力系二例题2-1FROABCxyMOd17

水平梁AB受三角形分布的载荷作用，如图所示。载荷的最大集度为q，梁长l。试求合力作用线的位置。静力学第二章平面力系二例题2-2ABqxl

在梁上距A端为x的微段dx上，作用力的大小为q'dx，其中q'为该处的载荷集度，由相似三角形关系可知因此分布载荷的合力大小解：xABqxdxhlF18xABqxdxhlF静力学第二章平面力系二例题2-2

设合力F

的作用线距A端的距离为h，根据合力矩定理，有将q'和F

的值代入上式，得19

重力坝受力情况如图所示。设P1=450kN，P2=200kN，F1=300kN，F2=70kN。求力系的合力FR的大小和方向余弦,合力与基线OA的交点到O点的距离x，以及合力作用线方程。静力学第二章平面力系二例题2-3将力系向O点简化，得主矢和主矩，如右图所示。解：AOCMO9m3m1.5m3.9m5.7m3mxyABCOF1P1P2F220主矢的投影9m3m1.5m3.9m5.7m3mxyABCOF1P1P2F2静力学第二章平面力系二例题2-3所以力系合力FR的大小AOCMOxy21方向余弦则有静力学第二章平面力系二例题2-3因为力系对O点的主矩为AOCMOxy22其中故解得所以由合力矩定理得静力学第二章平面力系二例题2-3

设合力作用线上任一点的坐标为（x，y)，将合力作用线过此点，则可得合力作用线方程或AOCFRFRyFRxxyx23静力学第二章平面力系二§2-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程

1.平面任意力系平衡的平衡条件和平衡方程对于平面任意力系平衡的情形，显然有于是，平面任意力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和对于任一点的主矩都等于零。

它的解析式为

于是，平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对任意一点的矩的代数和也等于零。上式称为平面任意力系的平衡方程。有三个独立方程，可以求解三个未知数。

24

支架的横梁AB与斜杆DC彼此以铰链C连接，并各以铰链A，D连接于铅直墙上。如图所示。已知杆AC=CB；杆DC与水平线成45o角；载荷F=10kN，作用于B处。设梁和杆的重量忽略不计，求铰链A的约束力和杆DC所受的力。ABDCF静力学第二章平面力系二例题2-425

取AB杆为研究对象，受力分析如图。FFCFAyFAxllABC解：静力学第二章平面力系二例题2-4解平衡方程可得若将力FAx和FAy合成，得ABDCF26

外伸梁的尺寸及载荷如图所示，F1=2kN，F2=1.5kN，M=1.2kN·m，l1=1.5m，l2=2.5m，试求铰支座A及支座B的约束力。F1ABl2l1llF2M静力学第二章平面力系二例题2-527取梁为研究对象，受力分析如图。由平衡方程解方程。解：F1ABl2l1llF2M静力学第二章平面力系二例题2-5FAxABxyFAyF1FByF2M28

如图所示为一悬臂梁，A为固定端，设梁上受强度为q的均布载荷作用，在自由端B受一集中力F和一力偶M作用，梁的跨度为l，求固定端的约束力。ABlqFM静力学第二章平面力系二例题2-629由平衡方程解方程得取梁为研究对象，受力分析如图解：ABlqFMqABxyMFFAyMAlFAx静力学第二章平面力系二例题2-630静力学第二章平面力系二2.平面任意力系平衡方程的其它形式

前面导出的是平面任意力系平衡方程的基本形式，它是两个投影式和一个力矩式.共有三个独立的方程，可以求出三个未知数。

应该指出，投影轴和矩心都可以任意选取的。两坐标轴不一定是正交，只要不相平行即可（原因何在？请读者自行考虑）。矩心不一定是坐标轴原点。为了求解方便，应尽量使每个方程式中的未知数含量越少越好。一般投影轴尽可能选取该力系中多数力（尤其是未知力）的作用线平行或垂直，矩心选在未知力的交点上。

除此以外，有时还不能避免要解联立方程。因此为了简化计算，还可选择适当的平衡方程形式，除了式（3-7）所表示的基本形式外，还有其它两种形式。

31静力学第二章平面力系二（1）二力矩形式的平衡方程即两个力矩式和一个投影式，但必须注意，x轴不得垂直于A、B的连线。

这是因为平面任意力系向已知点简化只可能有三种结果：合力、合力偶或平衡。若力系已满足了，则表明力系不可能简化为一力偶，只可能是作用线通过A点的一个合力，或者是平衡。如果该力系又同时满足，则该力系合成结果或者是作用线通过A、B两点的一个合力，或者是平衡。但当该力系又同时满足，而x轴不得垂直于AB连线时，显然力系不可能有合力。这就表明，只要满足以上三个方程及附加条件，该力系必平衡

32静力学第二章平面力系二(2)三力矩形式的平衡方程

即三个力矩式。但必须注意：A、B、C三点不得共线。其证明从略。无论是二矩式还是三矩式，都是一组独立的平衡方程。

思考：平面任意力系的平衡方程能否用三个投影方程而不用矩方程。33静力学第二章平面力系二3.平面平行力系的平衡方程

只有两个独立平衡方程，只能求解两个未知数。

上式是平面平行力系平衡方程的基本形式，它的二矩式是

但A、B两点的两线不得与力作用线平行。请自证。

若力系中所有力的作用线都在同一平面内且平行，称为平面平行力系，它是平面任意力系的特殊情况,如图所示。当取x轴与力系中各力垂直，则自然满足。则平面平引力系平衡方程为34P2FAP1P3PFBAB3.0m2.5m1.8m2.0m静力学第二章平面力系二例题2-7

一种车载式起重机，车重P1=26kN，起重机伸臂重P2=4.5kN，起重机的旋转与固定部分共重P3

=31kN。尺寸如图所示。设伸臂在起重机对称面内，且放在图示位置，试求车子不致翻倒的最大起吊重量Pmax。35

取汽车及起重机为研究对象，受力分析如图。由平衡方程。解：PP2FAP1P3FBAB3.0m2.5m1.8m2.0m静力学第二章平面力系二例题2-7不翻倒的条件是：FA≥0，故最大起吊重量为Pmax=7.5kN联立求解

所以由上式可得36静力学第二章平面力系二§2-3物体系的平衡·静定和超静定问题

前面讨论了平面问题中几种力系的平衡问题。对应于每一种力系，其独立的平衡方程数目都是一定的。平面汇交力系和平面平行力系各有2个，平面任意力系有3个，平面力偶系只有1个。因此，对于每一种力系，能求解的未知数的数目也是一定的。

若系统中的未知约束力数目恰好等于独立平衡方程的数目，则这些未知数就可全部由平衡方程求出，这类问题称为静定问题。

若未知约束力的数目多于独立平衡方程的数目，仅仅用刚体静力学平衡方程不能全部求出那些未知数，这类问题称为超静定（或静不定）问题。37静力学第二章平面力系二

上图中，图（a）（汇交力系），图（c）（平行力系），图（e）（任意力系）均为静定问题。图（b）（汇交力系），图（d）（平行力系），图（f）（任意力系）均为超静定问题。

图（a）图（b）图（c）图（d）图（e）图（f）38静力学第二章平面力系二

图（a）是静定的；图（b）是一次超静定；图（c）又是静定的；图（d)是二次超静定。图（a）图（b）图（c）

在下面各图中，并没有给出结构的主动载荷的形式，试问主动载荷会对结构的静定与否产生影响吗？指出哪些是静定，哪些是超静定，并给出超静定的次数。图（d）39静力学第二章平面力系二

需要指出的是，超静定问题并不是不能求解的问题，而只是不能仅仅用静力学平衡方程来解决的问题。如果考虑到物体受力后的变形，在平衡方程外，加上足够的补充方程也可求出全部未知约束力。这将在材料力学、结构力学等课程中加以研究。工程上很多结构都是超静定的。由于结构增加了多余约束后，使结构具有更大的刚度，更经济地利用材料，使安全更可靠。40静力学第二章平面力系二

在工程中，无论在机械还是结构工程中，由几个物体通过某种约束的联系组成的系统称为物体系统。简称物系。

研究物系的平衡问题，根据问题要求，可以取整体，也可取其中某单个物体，或某几个物体作为分离体。因为整体系统是平衡的，则每一个单个物体也是平衡的。对于由n

个物体组成的系统，每个物体在平面任意力系作用下，整个系统可以也只能列出3n

个独立平衡方程，可以也只能求解3n个求知数。如果此时未知数数目超过它的独立方程数，系统就成为超静定结构了。超出数目个数就是超静定的次数。当系统中的物体有受平面汇交力系或平行力系等作用时，则其独立方程的总数目要相应地减少。

41

三铰拱桥如图所示，由左右两段借铰链C连接起来，又用铰链A，B与基础相连接。已知每段重P

=40kN，重心分别在D，E处，且桥面受一集中载荷F

=10kN。设各铰链都是光滑的，试求平衡时，各铰链中的力。尺寸如图所示。静力学第二章平面力系二例题2-842解：静力学第二章平面力系二先取整体为研究对象。受力分析如图。例题2-8FAy=42.5kNFBy=47.5kN43再取AC段为研究对象。受力分析如图。ACDFCxPFAxFAyFCy静力学第二章平面力系二例题2-8由平衡方程。FAx=9.2kNFCx=9.2kN代入(a)式得FBx=-9.2kNFCy=2.5kN负号表示力的方向和图示方向相反。44l/8qBADMFCHEl/4l/8l/4l/4静力学第二章平面力系二例题2-9

组合梁AC和CE用铰链C相连，A端为固定端，E端为活动铰链支座。受力如图所示。已知：l=8m，F=5kN，均布载荷集度q=2.5kN/m，力偶矩的大小M=5kN•m，试求固端A，铰链C和支座E的约束力。45CE1.取CE段为研究对象。受力分析如图。解：联立求解。

FE=2.5kN，FC=2.5kNF1M3l/8Hl/8FCFE静力学第二章平面力系二例题2-9由平衡方程l/8qBADMFCHEl/4l/8l/4l/446由列平衡方程。联立解之。

FA=15kN，MA=－2.5kN·mMAF2l/4IAFCHl/8l/8FA再取AC段为研究对象，受力分析如图。静力学第二章平面力系二例题2-947

A，B，C，D处均为光滑铰链，物块重为P，通过绳子绕过滑轮水平地连接于杆AB的E点，各构件自重不计，试求B处的约束力。

静力学第二章平面力系二例题2-10P48FAyFAxFCxFCyPFBxFAyFAxFByFE解：取整体为研究对象。受力分析如图，由平衡方程。再取杆AB为研究对象，受力分析如图。由平衡方程联立求解可得解得静力学第二章平面力系二例题2-1049

(1)保证起重机在满载和空载时都不翻倒，求平衡荷重P3应为多少?(2)当平衡荷重P3=180kN时，求满载时轨道A，B给起重机轮子的约束力？静力学第二章平面力系二例题2-11

塔式起重机如图所示。机架重P1=700kN，作用线通过塔架的中心。最大起重量P2=200kN，最大悬臂长为12m，轨道AB的间距为4m。平衡荷重P3到机身中心线距离为6m。试问：AB2m2m6m12mP1P2P350(1)满载时不绕B点翻倒，临界情况下FA=0，可得

空载时，P2=0，不绕A点翻倒，临界情况下FB=0，可得

取塔式起重机为研究对象，受力分析如图所示。则有

75kN＜P3＜350kN解：AB2m2m6m12mP1P2P3静力学第二章平面力系二例题2-1151(2).取P3=180kN，求满载时轨道A，

B给起重机轮子的约束力。列平衡方程解方程得AB2m2m6m12mP1P2P3静力学第二章平面力系二例题2-1152

齿轮传动机构如图所示。齿轮Ⅰ的半径为r，自重P1。齿轮Ⅱ的半径为R=2r，其上固定一半径为r的塔轮Ⅲ，轮Ⅱ与Ⅲ共重为P2=2P1。齿轮压力角为q=20°

被提升的物体C重为P=20P1。求：（1）保持物C匀速上升时，作用于轮上力偶的矩M；（2）光滑轴承A，B的约束力。ABrrRMCⅠⅡⅢPP1P2静力学第二章平面力系二例题2-1253(1).取Ⅱ，Ⅲ轮及重物为研究对象，受力分析如图所示。解方程得列平衡方程解：静力学第二章平面力系二例题2-12ABrrRMCⅠⅡⅢPP1P2CBKPFBxFByFnP2542.再取Ⅰ轮为研究对象，受力分析如图所示。解方程得由平衡方程静力学第二章平面力系二例题2-12ABrrRMCⅠⅡⅢPP1P2AKMP1FAxFAy55

如图所示，已知重力P，DC=CE=AC=CB=2l；定滑轮半径为R，动滑轮半径为r，且R=2r=l,θ=45°

。试求：A，E支座的约束力及BD杆所受的力。DⅡKCABEⅠP静力学第二章平面力系二例题2-1356DⅡKCABEⅠ

1.选取整体研究对象，受力分析如图所示。由平衡方程解平衡方程FAPFExFEy解：静力学第二章平面力系二例题2-1357

2.选取DEC研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程ECKD解平衡方程FKFEyFExDⅡKCABEⅠP静力学第二章平面力系二例题2-13显然58

刚架结构如图所示，其中A，B和C都是铰链。结构的尺寸和载荷如图所示。试求A，B，C三铰链处的约束力。PqABCbaa/2a/2M静力学第二章平面力系二例题2-1459ABCxyqbPMFAxFAyFBxFBy1.取整体为研究对象，受力如图所示。由平衡方程解方程得解：静力学第二章平面力系二例题2-14602.再取AC为研究对象，受力分析如图所示。由平衡方程ACxyqbFAxFAyFCyFCx解方程得PqABCbaa/2a/2M静力学第二章平面力系二例题2-1461

重为P=980N的重物悬挂在滑轮支架系统上，如图所示。设滑轮的中心B与支架ABC相连接，AB为直杆，BC为曲杆，B为销钉。若不计滑轮与支架的自重，求销钉B作用在与它相连接的每一构件上的约束力。ABCDEFIH0.6m0.8mP静力学第二章平面力系二例题2-1562

取滑轮B为研究对象，受力分析如图。由平衡方程解得解：BHFFBxFBy静力学第二章平面力系二例题2-15PABCDEFIH0.6m0.8m63PABCDEFIH0.6m0.8m

再取销钉B为研究对象，受力分析如图所示。由平衡方程解得静力学第二章平面力系二例题2-15B64静力学第二章平面力系二§2-4平面简单桁架的内力计算

工程中，屋架、桥架、电视塔、起重机、输电线塔等结构物常用桁架结构。65静力学第二章平面力系二66静力学第二章平面力系二67静力学第二章平面力系二68海洋石油钻井平台静力学第二章平面力系二69桥梁房屋建筑通讯国防机械静力学第二章平面力系二70静力学第二章平面力系二

桁架是由一些杆件彼此在两端用铰链连接几何形状不变的结构。桁架中杆件铰链接头称为节点。所有杆件的轴线都在同一平面内的桁架称为平面桁架。

桁架的优点是：每根杆件只承受拉力或压力，可以充分发挥材料的作用，节省材料，减轻结构的自重。

为简化桁架的计算，工程实际中采用以下几个假设：

（1）桁架中各杆件都是直杆；（2）杆件用光滑铰链连接或可以简化为铰链连接；（3）所受外力都作用在桁架平面内，而且都作用在节点上；（4）杆件自重不计，或平均分配在杆件两端的节点上。

据此假设，桁架中每根杆件都可以视为二力杆

71节点

工程上把几根直杆连接的地方称为节点静力学第二章平面力系二72榫(sun)接木桁架节点静力学第二章平面力系二73钢桁架节点铆接焊接静力学第二章平面力系二74钢筋混凝土桁架节点刚接静力学第二章平面力系二75各杆件轴线都是直线，并通过铰链中心静力学第二章平面力系二76各杆件都用光滑铰链相连接静力学第二章平面力系二77

所有外力，包括荷载及支座约束力都作用在节点上静力学第二章平面力系二78静力学第二章平面力系二

本节只研究平面静定桁架，如图所示。以基本三角形ABC为基础，每增加一个节点，需要增加两根轴线不平行的杆件，依次类推所构成的桁架称为平面简单桁架。如果两支承点是简支的，很容易证明此桁架是静定的。

节点杆件79静力学第二章平面力系二80静力学第二章平面力系二

桁架的计算就是二力杆内力的计算。如果桁架是平衡的，则假想地截取桁架的一部分为分离体也是平衡的。若分离体只包含一个节点，称为节点法，为平面汇交力系的平衡；若分离体包含两个以上的节点，称为截面法，为平面任意力系的平衡。

应注意：（1）首先判断桁架是否静定；（2）除了悬臂桁架外一般要先求支座反力；（3）所有杆件的内力先设为拉力，计算结果为负，说明该杆为压力；（4）用节点法时，节点上的未知力一般不能多于两个，用截面法时，节点上的总未知力一般不能多于三个，否则不能全部解出。（5）若只要求桁架中某几个杆件的内力时，可以适当地选取一截面截取某一部分为分离体，选择适当的力矩方程，可较快地求得某些杆的内力。

81解：节点法

先取整体为研究对象,受力如图所示。由平衡方程静力学第二章平面力系二例题2-14

如图平面桁架，求各杆内力。已知铅垂力FC=4kN，水平力FE=2kN。aaaaFCACDBEFFE联立求解得

FAx=－2kNFAy=2kN

FB=2kNaaaaFCABDCEFFEFAyFBFAx82取节点A，受力分析如图。由平衡方程解得FAxFAyAFACFAFFFEFFAFFCF解得静力学第二章平面力系二例题2-14取节点F，受力分析如图。由平衡方程FCFFCAFCCFCDFCE取节点C，受力分析如图。由平衡方程83解得FDEFDCDFDB解得静力学第二章平面力系二例题2-14取节点D，受力分析如图。由平衡方程FBBFBDFBE解得取节点B