矢量分析与场论讲义

矢量分析与场论讲义第一页，共119页。一、场的概念

场是用空间位置函数来表征的。若对全空间或其中某一区域V中每一点M,都有一个数量

(或矢量)与之对应,则称在V上确定了一个

数量场

(或矢量场).场都是矢量场。例如:温度场和密度场都是数量场,

重力场和速度若场中物理量在各点处的对应值不随时间变化，就称为稳定场，否则，称为不稳定场。

第二页，共119页。注

引入或选择某种坐标系是为了便于通过数学方法来

进行计算和研究它的性质.

2.场的性质是它本身的属性,和坐标系的引进无关.

场的特点：

①分布于整个空间，看不见，摸不着，只能借助仪器进行观察测量，靠人脑去想像其分布情况；

②具有客观物质的一切特征，有质量、动量和能量。第三页，共119页。3、描述方法

①函数表示法：借助一定坐标系下的函数来表示场的分布。对矢量场，用；数量场常用表述。

②几何表示法，也叫图示法：用能反映场性质和分布的一族曲线或曲面表示场的分布特征，分别称为矢量线（像电力线、磁力线）；等值面（像等温面，等位面）。第四页，共119页。二、数量场、矢量场的描述方法以下讨论中总是设它对每个变量都有一阶连续偏导数。因此给定了某个数量场就等于给定了一个数性函数

在引进了直角坐标系后,点

M的位置可由坐标确定。同理,每个矢量场都与某个矢性函数并假定它们有一阶连续偏导数。相对应.

这里

为所定义区域上的数性函数,第五页，共119页。数量场的等值面（线）：

是由场中使u取相同数值的点所组成的曲面。

（c值不同对应不同等值面）

等值面其方程为等值线在某一高度上沿什么方向高度变化最快？直观表示数量u在场中的分布。第六页，共119页。以温度场为例：热源等温面等值面举例可以看出：数量场的函数是单值函数，各等值面是互不相交的。第七页，共119页。矢量场的矢量线：矢量线上每一点处曲线与对应于该点的矢量相切。

直观描述矢量在场中的分布情况。2.矢量线连续分布，一般互不相交。图2矢量线ArMxyzol观察：1.在曲线上的每一点M处，场的矢量都位于该点处的切线上（如图所示），称其为矢量线。例：静电场电力线、磁场的磁力线、流速场中的流线等。第八页，共119页。MA(r)drrO矢量线的微分方程：

M点位置矢量线l微分

场矢量l第九页，共119页。矢量线在这点的切线的方向余弦和矢量线上的

成比例，从而得到矢量线应满足的微分方程在场矢量不为零的条件下，由线性微分方程组的理论可知所考虑的整个场被矢量线所填满，而通过场中每一点有一条且只有一条这样的曲线，且过不同的点的两条矢量线没有公共点。例2求矢量场的矢量线方程。第十页，共119页。【例1】

设点电荷q位于坐标原点，它在空间一点M(x,y,z)处所产生的电场强度矢量为式中，q、ε均为常数，r=xi+yj+zk为M点的位置矢量。求E的矢量线方程并画出矢量线图。解题过程：整理求解作图矢量的直角坐标系方程矢量线的微分方程第十一页，共119页。图点电荷的电场矢量线(P27)第十二页，共119页。2、方向导数

方向导数是数性函数

在一点处沿任意方向对距离的变化率，它的数值与所取的方向有关，一般来说，在不同的方向上

的值是不同的，但它并不是矢量。如图所示，为场中的任意方向，M0是这个方向线上给定的一点，M为同一线上邻近的一点。M0M第十三页，共119页。

为M0和M之间的距离，从M0沿

到M的增量为若下列极限存在，则该极限值记作，称之为数量场

在M0处沿的方向导数。第十四页，共119页。例题例1求函数方向的方向导数。例3设例4求数量场方向的方向导数。第十五页，共119页。3、梯度

由于从一点出发，有无穷多个方向，即数量场沿某一确定方向取得

在该点的最大方向导数，则可引进梯度概念。在一点处的方向导数有无穷多个，其中，若过一点梯度：（场在某点的梯度为一矢量）它的大小等于所有方向导数的最大值，它的方向为取得最大值的方向。梯度(Gradient)第十六页，共119页。梯度、方向导数与等值面当,即

与方向一致时,为最大。第十七页，共119页。方向导数与梯度的关系：

是等值面

上p1点法线方向单位矢量。它指向增长的方向。表示过p2点的任一方向。易见，p1p0p2等值面等值面θ第十八页，共119页。所以即p1p0p2等值面等值面θ第十九页，共119页。该式表明：即沿某一方向的方向导数就是梯度在该方向上的投影。

梯度的概念重要性在于，它用来表征数量场在空间各点沿不同方向变化快慢的程度。4、算符（哈密顿算符）算符既具有微分性质又具有方向性质。在任意方向上移动线元距离dl，的增量称为方向微第二十页，共119页。分，即显然，任意两点值差为第二十一页，共119页。总结：数量场梯度的性质（1）数量场沿任一方向的方向导数等于梯度在该方向的投影。（2）数量场在任一点的梯度垂直于过该点的等值面，且指向场增大的一方。（注意：等值面的法向有两个）（3）一个数量场的梯度（一旦）确定，则该数量场也随之确定，最多相差一个任意常数第二十二页，共119页。

标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）数量场沿任一方向的方向导数等于梯度在该方向的投影。例1三维高度场的梯度图三维高度场的梯度例2电位场的梯度图电位场的梯度梯度、方向导数与等值面第二十三页，共119页。高度场的梯度与过该点的等位线垂直；数值等于该点的最大方向导数；补充：梯度的物理意义数量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数;梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向.梯度的大小为该点数量函数的最大变化率，即该点最大方向导数;例1三维高度场的梯度

与过该点的等高线垂直；数值等于该点位移的最大变化率；

指向地势升高的方向。图三维高度场的梯度例2电位场的梯度电位场的梯度指向电位增加的方向。图电位场的梯度第二十四页，共119页。§3矢量场的通量与散度第二十五页，共119页。1、通量

一个矢量场空间中，在单位时间内，沿着矢量场

方向通过

的流量是dQ，而dQ是以ds为底，以vcosθ为高的斜柱体的体积，即称为矢量

通过面元

的通量。

对于有向曲面s，总可以将s分成许多足够小的面元，于是θds第二十六页，共119页。通过曲面s的通量f即为每一面元通量之和对于闭合曲面s，通量f为向量场沿选定方向的曲面S的面积分定义称为向曲面指定一侧穿过曲面S的通量。第二十七页，共119页。例题例1设由矢径圆锥面曲面S。P553.求矢量场所围成的封闭有一由第二十八页，共119页。如果曲面s是闭合的，并规定曲面法矢由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是：

第二十九页，共119页。（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）表示有净的矢量线流入，闭合面内有吸收矢量线的负源；表示有净的矢量线流出，闭合面内有产生矢量线的正源；表示流入和流出闭合曲面的矢量线相等或没有矢量线流入、流出闭合曲面第三十页，共119页。闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系

若S为闭合曲面，可根据净通量

的大小判断闭合面中源的性质:>0(有正源)<0(有负源)=0

(无源)第三十一页，共119页。2、散度

设封闭曲面s所包围的体积为

，则就是矢量场在中单位体积的平均通量，或者平均发散量。当闭合曲面s及其所包围的体积向其内某点收缩时，若平均发散量的极限值存在，便记作称为矢量场在该点的散度(div是divergence的缩写)。第三十二页，共119页。散度的重要性在于，可用表征空间各点矢量场发散的强弱程度，当div，表示该点有散发通量的正源；当div，表示该点有吸收通量的负源；当div，表示该点为无源场。的散度为定理

重点

散度(Divergence)的表达式第三十三页，共119页。直接从散度的定义出发，不难得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场散度的积分。

上式称为矢量场的Gauss定理。

积分的Gauss定理

注：它能把一个闭合曲面的面积分转为对该曲面所包围体积的体积分，反之亦然。第三十四页，共119页。推论2若处处散度为0，则通量为0.推论3若某些点（或区域）上有散度不为0或不存在，而在其他点上都有散度为0，则穿出包围这些点（或区域）的任一封闭曲面的通量都相等，为一常数。电学上的高斯定理：穿出任一封闭曲面S的电通量，等于其内各点电荷的代数和。高斯定理第三十五页，共119页。§4矢量场的环量及旋度(Rotation)第三十六页，共119页。1.矢量场的环量定义：①线矢量l:矢量场A中的一条封闭的有向曲线②环量Г：（图2）性质：①Г是标量

②Г≠0，l内有旋涡源

③Г=0，l内无旋涡源图2矢量场的环量(P56)

第三十七页，共119页。定义线积分向量场沿空间有向闭曲线l的称为沿闭曲线l的环量。环量的表达式

图3闭合曲线方向与面元的方向示意图

(P59)定义：若存在，则称此极限为矢量场A沿l之正向的环量在点P处沿n方向的环量面密度。第三十八页，共119页。性质：l围成的面元法矢量旋涡面的方向矢量R①在任意面元方向上的投影就给出该方向的环量面密度②方向为环量面密度最大的方向；模为最大环量面密度的值⑵旋度的定义定义：固定矢量R为矢量A的旋度，记作：rotA=R重合，最大夹角，中间值垂直，0R旋度矢量第三十九页，共119页。图4旋度及其投影

旋度矢量R在n方向的投影:第四十页，共119页。②涡量（或环量面密度）第四十一页，共119页。③旋度矢量场在某点的旋度，其大小为该点涡量的最大值，方向为使得该点涡量取最大值的方向物理意义：是场在矢量方向上旋转性的强弱第四十二页，共119页。定义

向量场的旋度定义为

旋度(Rotation

or

Curl)

简单地说,旋度是个矢量，它的物理意义是场在该矢量方向上旋转性的强弱。第四十三页，共119页。利用环量与旋度(它可以从整体上描述场旋转的强度)，我们可以用向量的形式重写Stokes公式。第四十四页，共119页。小结1、散度（流出的量）发散源

通量即该矢量(的垂直平面分量)穿过平面的大小

一般点的散度为0，散度不为0的点表示该点有提供源(source)

散度是标量，物理意义为通量源密度，可以从Gauss公式理解

散度为零，说明是无源场；散度不为零时，则说明是有源场（有正源或负源）矢量场第四十五页，共119页。2、旋度（没有流出的量）旋涡源

旋度即该矢量(的平行平面分量)沿平面的大小密度(即大小/面积)

旋度不为0表示有量在该平面“逗留”

旋度是矢量；其物理意义为环量密度，可以从Stokes公式里理解

旋度为零，说明是无旋场；旋度不为零时，则说明是有旋场

第四十六页，共119页。一、无旋场§5几种重要的矢量场第四十七页，共119页。无旋场有势场保守场第四十八页，共119页。空心球体环面体第四十九页，共119页。二、无源场矢量管：矢量线构成的管形曲线（矢量线与曲面重合）第五十页，共119页。第五十一页，共119页。矢量场的Helmholtz定理

空间区域V上的任意矢量场，如果它的散度、旋度和边界条件为已知，则该矢量场唯一确定，并且可以表示为一无旋矢量场和一无源矢量场的叠加，即：第五十二页，共119页。三、管形场与有势场

式知道,此时沿任何封闭曲面的曲面积分都等于零.

中作一矢量管

(图2),即由矢量线围成的管状的

若一个矢量场的散度恒

为零,即我们曾

称为无源场.从高斯公

我们又把称作管形场.这是因为,若在矢量场

曲面.

用断面去截它,以表示所截出的管第五十三页，共119页。的表面,这就得到了由所围成的封闭曲面

S.于是由(1)式得出而矢量线与曲面的法线正交,所以第五十四页，共119页。这等式说明了流体通过矢量管的任意断面的流量是

间单连通区域内沿任何封闭曲线的曲线积分都等于

相同的,所以把场称为管形场.

若一个矢量场的旋度恒为零,即我们在

前面称

为无旋场.从斯托克斯公式知道,这时在空

零,这种场也称为有势场.这是因为当时,第五十五页，共119页。由定理1推得空间曲线积分与路线无关,且存在某函数,使得即则必存在某个势函数v,使得这也是一

个矢量场是某个数量场的梯度场的充要条件.通常称v=-u为势函数.因此若某矢量场的旋度为零,

第五十六页，共119页。若一个矢量场既是管量场,又是有势场,则称这个矢量场为调和场.

若是一个调和场,则必有即必有u满足这时称函数

u为调和函数.也有v=-u为调和函数。

显然第五十七页，共119页。(1)若线积分的值在G内与路径无关，其中A,B为G内任意两点；则称为保守场,(2)若在G内恒有,则称为无旋场;有势场，并称为的势函数.定义6设向量场(3)若存在G上的函数，使,则称为第五十八页，共119页。定理4设G

是单连域，则以下四个命题等价：是无旋场，即沿G内任意简单闭曲线C的环量与路径无关；是一保守场，即在G内线积分第五十九页，共119页。是一有势场，即在G内存在，作证明.它可以看作是Green

公式的推论.以下我们只对定理4的2D空间的情况定理定理设区域则以下四个命题等价：在内,处处成立第六十页，共119页。

定理4(及定理)的重要性在于：

给出场论中的一个具有实际意义及数学意义的重要结论，即：无旋场有势场保守场

给出了数学上判定保守场的多种方法；

特别还给出了求势函数的方法：相当于求某些二元函数的原函数的方法，同时为解全微分方程提供了一种有效的方法。第六十一页，共119页。例1验证矢量场是有势场，并求其势函数.解因所以，为有势场。

以下介绍两种求势函数方法。在积分与路径无关条件下，选择特殊路径，用线积分求势函数法.方法1第六十二页，共119页。例4验证向量场是有势场，并求其势函数.解因所以，为有势场。

以下介绍两种求势函数方法。在积分与路径无关条件下，选择特殊路径，用线积分求势函数法.方法1第六十三页，共119页。此例选积分路径由yxo即：是

的一个原函数(力函数)。第六十四页，共119页。势函数一般表达式为：用偏积分求势函数.要求函数即亦即先对式，视为定数，两边对积分：方法2第六十五页，共119页。这个积分“常数”当然可能是y的函数，故记作将(c)式两端对y求导,并与(b)式比较，得：代入(c)

式第六十六页，共119页。Stokes定理Stokes定理实际上将在任一点涡量或旋度定义所反映的与环量的关系推广到任一曲面或闭合回路第六十七页，共119页。方向相反大小相等结果抵消第六十八页，共119页。4、若在空间某一区域内，矢量场的散度和旋度都给定，则该矢量场确定，最多相差一个常数（由边界条件所决定第六十九页，共119页。§0-3矢量场的旋度斯托克斯定理RotationofVectorField,Stoke’sTheorem第七十页，共119页。1、矢量场的环流

在数学上，将矢量场沿一条有向闭合曲线L（即取定了正线方向的闭合曲线）的线积分称为沿该曲线L的循环量或流量。2、旋度

设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近，那么第七十一页，共119页。以闭合曲线L为界的面积逐渐缩小，也将逐渐减小，一般说来，这两者的比值有一极限值，记作即单位面积平均环流的极限。它与闭合曲线的形状无关，但显然依赖于以闭合曲线为界的面积法线方向，且通常L的正方向与规定要构成右手螺旋法则，为此定义第七十二页，共119页。称为矢量场的旋度（rot是rotation缩写）。旋度的重要性在于，可用以表征矢量在某点附近各方向上环流强弱的程度，如果场中处处rot称为无旋场。3、斯托克斯定理（Stoke’sTheorem）它能把对任意闭合曲线边界的线积分转换为该闭合曲线为界的任意曲面的面积分，反之亦然。第七十三页，共119页。§0-4正交曲线坐标系中运算的表达式ExpressionofOperationonOrthogonalCurvilinearCo-OrdinatesSystem第七十四页，共119页。1、度量系数设x,y,z是某点的笛卡儿坐标，x1,x2,x3是这点的正交曲线坐标，长度元的平方表示为其中第七十五页，共119页。称度量系数（或拉梅系数），正交坐标系完全由三个拉梅系数h1,h2,h3来描述。2、哈密顿算符、梯度、散度、旋度及拉普拉斯算符在正交曲线坐标系下的一般表达式第七十六页，共119页。

第七十七页，共119页。其中为正交曲线坐标系的基矢；是一个标量函数；是一个矢量函数，只有在笛卡儿坐标系中，，在其它正交坐标系中第七十八页，共119页。3、不同坐标系中的微分表达式a)笛卡儿坐标x1=x，x2=y，x3=zh1=1，h2=1，h3=1xyzZ为常数平面y为常数平面x为常数平面(x,y,z)p第七十九页，共119页。

第八十页，共119页。b)圆柱坐标系坐标变量:x1=r

x2=φ

x3=z与笛卡儿坐标的关系：

x=rcosφ

y=rsinφz=z拉梅系数:h1=1h2=rh3=1φzxyz为常数平面r为常数平面φ为常数平面r第八十一页，共119页。

第八十二页，共119页。将应用于圆柱坐标可得：第八十三页，共119页。c)球坐标系zθrφy(r,θ,φ)xθ为常数平面r为常数平面φ为常数平面第八十四页，共119页。坐标变量：与笛卡儿坐标的关系：拉梅系数：第八十五页，共119页。

第八十六页，共119页。其中第八十七页，共119页。

第八十八页，共119页。§0-5二阶微分算符格林定理Second-orderDifferentiationOperator,Green’sTheorem第八十九页，共119页。1、一阶微分运算

将算符直接作用于标量场和矢量场，即分别得到梯度、散度和旋度，即这些都叫一阶微分运算。举例：a)设为源点与场之间的距离，r的方向规定为源点指向场点，试分别对场点和源点求r的梯度。第九十页，共119页。第一步：源点固定，r是场点的函数，对场点求梯度用r表示，则有而场点（观察点）场源点坐标原点o第九十一页，共119页。同理可得：故得到：第九十二页，共119页。第二步：场点固定，r是源点的函数，对源点求梯度用表示。而同理可得：第九十三页，共119页。所以得到：b)设u是空间坐标x,y,z的函数，证明第九十四