量子力学-薛定谔方程课件

回顾：叠加原理几率振幅。常数相位绝对常数相位没有意义相对常数相位才是有意义的依赖于能够在测量结果中反映变化的相位是有意义的（能够在测量中反映出来）

§2.2薛定谔方程1.薛定谔方程

量子力学的基本定律是波函数所满足的偏微分方程。这个基本定律在本质上是一个假说。

德布罗意物质波概念推广薛定谔方程的“建立”寻找deBroglie波满足的方程，并加以推广这不是严格推导（薛定谔方程不能由旧理论严格导出）再推广到含有势能U的情况两边作用于波函数记住便于记忆的形式多粒子（N个粒子）情况非定域性：整个体系的状态用3N个空间坐标和一个时间坐标描述。2.几率守恒定律与几率流密度

由薛定谔方程导出一个反映几率守恒的定律，从而引入几率流密度概念。

几率密度根据薛定谔方程几率流密度的推导（单粒子）几率密度的时间演化：薛定谔方程理解（推导积分形式）对任何体积V，对上式积分等式右方用Gauss定理，得VSV内部几率变化由边界流入或流出的量。薛定谔方程能够满足全空间几率守恒代表全空间几率守恒，实际上也就是粒子数守恒。相对论情况薛定谔方程不成立，以上结果也不成立；实际上相对论情况有粒子产生和消灭，粒子数一般不守恒！，电流密度几率流密度电流密度可以应用于原子内部电子运动的电流的计算可以应用于超导体等量子系统电流的计算例题对平面波情况求几率流密度3.薛定谔方程的求解——定态薛定谔方程方程求解-分离变量法：设代入薛定谔方程先寻找特解（一系列基本函数），再叠加生成通解两边同时除以左边（t）=右边（r）任意t，r均成立，而左边与r无关，所以右边与r也应该无关，右边与t无关，所以左边也应该与t无关。所以两边都等于一个与t，r都无关的常数E空间部分（定态薛定谔方程）定态薛定谔方程定态概念完整的定态波函数（定态薛定谔方程的解乘以时间因子）对比deBroglie波，我们发现常数E的物理意义正是粒子的能量。定态就是能量E确定的状态。思考题两个不同的定态叠加生成的态是否是定态？提示：4.波函数应满足的条件

从波函数的几率解释以及波函数满足二阶微分方程这一要求，一般地说，波函数应该满足以下三个条件：(1)单值性；(2)有限性；(3)连续性。连续性通常意味着和都连续，但在势能有无穷大跳跃的地方，允许不连续。作业作业：p.52,#2.2，注意：在球坐标中,§2.3一维运动问题的一般分析

1.一维定态薛定谔方程的解的一般性质

一维定态薛定谔方程是二阶常微分方程，容易求解它的解有如下的规律Wronskian定理若都是方程的解(能量相同)，则(c是与x无关的常数)，称为Wronskian定理。Wronskian定理的证明

证明：定态方程的两个解满足另外两个定理共轭定理：若是定态行薛定谔程的解，则也是该方程的解(且能量相同)。

反射定理：对(原点对称的势)，那么若是该方程的解，则也是该方程的解(且能量相同)。（由定态薛定谔方程可以直接证明，请自己完成）2.一维定态的分类：束缚态与非束缚态若则束缚态相反的情况是非束缚态（或称为散射态）例子束缚态：原子中的“束缚”电子人工量子微结构束缚态几率分布被限制在有限的空间范围内。非束缚态：如自由电子；电离态原子3.一维束缚态的一般性质先引入一个概念－简并与非简并如果对一个给定的能量，只有一个线性独立的波函数存在（即只有一个状态），则称该能级是非简并的，否则称它是简并的，其线性独立的波函数的个数称为它的简并度。线性独立的定义：对常数c1，c2一维束缚态不简并定理定理：一维束缚态必是非简并态（可以由Wronskian定理证明）。En不简并定理的证明

证明（反证法）：利用Wronskian定理与束缚态性质，推导如下：

假设简并，则方程有两个线性独立的解，但是由两个函数不是线性独立的（对应同一个状态），因此不简并。与题设矛盾，故定理得证。*更严格的证明应该考虑波函数有节点（为零的点）的情况，这时需要分段考虑每个节点之间的区域，再利用波函数连续性条件证明以上常数C对每一段是同一个常数（可参考曾谨言量子力学卷1，83页）对定理的补充说明（1）此定理仅对一维情况成立；二维、三维束缚态的能量仍然可能简并（如氢原子、二维、三维谐振子等）；（2）非束缚态的能量一般是简并的。非束缚态的例子例如：一维自由粒子能量是2度简并的：即同一个能量E，有两个线性独立的波函数，可以取为：两个推论推论1：一维束缚态波函数的相位必是常数。即因此波函数可以取为实函数宇称宇称是态的重要的量子力学性质，它具有“纯量子力学”的特征，在经典力学中没有对应物。推论2(宇称定理)：如果则一维束缚态波函数必有确定的宇称。束缚态能量离散性定理：束缚态(不只是一维)的能级是不连续的（仅当能量取某些离散的数值时，方程才有符合单值、有限、连续条件的解）。这就是通常意义的“量子化”。以后将用例子说明可以由波动理论自然地导出能量的不连续性。E作业作业(补充题2.2)：证明本节中的推论1和推论2。量子力学中的离散与连续能量有时是量子化（离