高中数学第一章立体几何初步1.2点线面之间的位置关系1.2.4平面与平面的位置关系教案全国公开课一等

两平面垂直

判定和性质1/13一、二面角定义：二、二面角表示方法：三、二面角平面角：四、二面角平面角作法：五、二面角计算：二面角－AB－二面角C－AB－D二面角－l－1、依据定义作出来2、利用直线和平面垂直作出来3、借助三垂线定理或其逆定理作出来1、找到或作出二面角平面角2、证实1中角就是所求角3、计算所求角一“作”二“证”三“计算”从一条直线出发两个半平面所组成图形叫做二面角。这条直线叫做二面角棱。这两个半平面叫做二面角面。221、二面角平面角必须满足三个条件2、二面角平面角大小与其顶点在棱上位置无关3、二面角大小用它平面角大小来度量2/13一、两个平面垂直定义

[情境问题]

（1）竖电线杆时，电线杆所在直线与地面应满足怎样位置呢？

（2）为了让一面墙砌得稳固，不易坍毁，墙面所在平面与地面又应该满足怎样位置关系呢？

轻易得出结论：电线杆与地面应该垂直，不然轻易倾倒；假如墙面发生倾斜，墙就轻易坍毁，所以砌墙时，不能让墙面倾斜．

（3）我们怎样用所学知识去描述“墙面不倾斜”这一事实呢？［探索研究］

1．平面与平面垂直定义

假如两个平面所成二面角是直角（即成直二面角），就说这两个平面相互垂直．

2．两个平面垂直判定定理

提出问题：假如你是一个质检员，你怎样去检测、判断建筑中一面墙和地面是否垂直呢？3/13二、两个平面垂直判定定理

假如一个平面经过另一个平面一条垂线，那么这两个平面相互垂直．

已知：AB⊥β，AB⊂α（图1）．求证：α⊥β。[证实]：设α∩β=CD，∵AB⊥β，CD⊂β，∴AB⊥CD．在平面β内过点B作直线BE⊥CD，则∠ABE是二面角α-CD-β平面角，而AB⊥BE，故α-CD-β是直二面角．∴α⊥β。4/13三、两个平面垂直性质定理[情境问题]：为何墙面和地面垂直时候，墙体就不轻易坍毁呢？将一本书放置在桌面上，且使书所在平面与桌面垂直．当书面沿书面与桌面交线转动时，它会怎么样呢？[探索研究

]：假如两个平面相互垂直，那么在第一个平面内垂直于交线直线，是否垂直于第二个平面呢？由物理学原理知，它会坍毁．5/13三、两个平面垂直性质定理如图2，α⊥β，AB⊂α，AB⊥CD，α∩β=CD，求证：AB⊥β。[分析]

在β内作BE⊥CD。要证AB⊥β，只需证AB垂直于β内两条相交直线就行。而我们已经有AB⊥CD，只需寻求另一条就够了。而我们还有α⊥β这个条件没使用，由α⊥β定义，则∠ABE为直角，即有AB⊥BE，也就有AB⊥β，问题也就得到处理．

6/13四、两个平面垂直性质[两个平面垂直性质定理1]

假如两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线直线垂直于另一个平面．[两个平面垂直性质定理2]

假如两个平面垂直，那么经过第一个平面一点垂直于第二个平面直线，在第一个平面内．7/13五、两个平面垂直应用举例例题

如图4，AB是⊙O直径，点C是⊙O上动点，过动点C直线VC垂直于⊙O所在平面，D、E分别是VA、VC中点，直线DE与平面VBC有什么关系？试说明理由．解：由VC垂直于⊙O所在平面，知VC⊥AC，VC⊥BC，即∠ACB是二面角A-VC-B平面角．由∠ACB是直径上圆周角，知∠ACB=90°。

所以，平面VAC⊥平面VBC．由DE是△VAC两边中点连线，知DE∥AC，故DE⊥AC．由两个平面垂直性质定理，知直线DE与平面VBC垂直。注意：本题也能够先推出AC垂直于平面VBC，再由DE∥AC，推出上面结论。8/13［总结提炼］

☆在解题时注意应用☆证实面面垂直要从寻找面垂线入手☆了解面面垂直判定与性质都要依赖面面垂直定义☆

定义面面垂直是在建立在二面角平面角基础上9/131．给出以下四个命题：

①垂直于同一个平面两个平面平行；

②垂直于同一条直线两个平面平行；

③垂直于同一个平面两条直线平行；

④垂直于同一条直线两条直线平行．

其中正确命题个数是（

）．

A．1

B．2

C．3

D．4六、两个平面垂直课堂练习B

2．给出以下四个命题：（其中a，b表直线，α，β，γ表平面）。

①若a⊥b，a∥α，则b⊥α；

②若a∥α，α⊥β，则a⊥β；

③若β∥γ，α∥γ，则α⊥β；

④若α⊥β，a⊥β，则a∥α。

其中不正确命题个数是（

）．

A．1

B．2

C．3

D．4D10/133．在二面角α-l-β一个面α内有一条直线AB，若AB与棱l夹角为45°，AB与平面β所成角为30°，则此二面角大小是（

）

A.30°，B.30°或150°，C.45°，D.45°或135°。如图，过A点作AO⊥β于O，在α内作AC垂直棱于C，连OB、OC，则∠ABC=45°，∠ABO=30°，∠ACO就是所求二面角平面角。设AB=a,则AC=，AO=则sin∠ACO=∴∠ACO=45°六、两个平面垂直课堂练习AαBβOCD11/134．线段AB长为2a，两端点A，B分别在一个直二面角两个面内，且AB与两个面所成角分别为30°和45°，设A，B两点在棱上射影分别为A′，B′，则A′B′长等于（

）．