华师大初等数学讲义16平行四边形的认识

第十六章平行四边形的认识平行四边形是我们常见的一种图形，它具有十分和谐的对称美．它是什么样的对称图形呢?它又具有哪些基本性质呢?读下去，你就会发现这些答案了．§16.1平行四边形的性质平行四边形是随处可见的几何图形，本章导图上的桌面、书面……甚至连在阳光照耀下它们的影子都是平行四边形．回忆我们知道，有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形(parallelogram)．你能从图16.1.1所示的图形中找出平行四边形吗?图16.1.1两组对边分别平行，是平行四边形的一个主要性质．除此之外，它还有什么性质呢?探索如图16.1.2，按照下面的步骤，在方格纸上画一个平行四边形．步骤1：画两条平行线．步骤2：在两条线上分别取点A和点B，连结AB．步骤3：沿着水平方向平移AB到DC，就得到ABCD．图16.1.2如图16.1.3，用剪刀把ABCD(可以先放大些)从方格纸上剪下，再在一张纸上沿ABCD的边沿，画出一个四边形，记为EFGH．则四边形EFGH和ABCD完全一样，也为平行四边形．它们的对应边、对应角都相等．在ABCD中连结AC、BD，它们的交点记为O．用一枚图钉在O点穿过，将ABCD绕点O旋转180°．观察旋转后的ABCD和纸上所画的EFGH是否重合．你能从中得出ABCD的一些边角关系吗?图16.1.3我们发现，旋转180°之后两个平行四边形完全重合，即平行四边形是中心对称图形，对角线的交点O就是对称中心．由此可以得到AD＝BC，AB＝DC，∠A＝∠C，∠B＝∠D．即平行四边形的对边相等，对角相等．例1如图16.1.4，在ABCD中，已知∠A＝40°，求其他各个内角的度数．图16.1.4解在ABCD中，∠D＝∠B，∠C＝∠A＝40°(平行四边形的对角相等)．又∵AD∥BC，∴∠B＝180°-∠A＝180°-40°＝140°，∴∠D＝∠B＝140°．例2如图16.1.5，在ABCD中，已知AB＝8，周长等于24，求其余三条边的长．图16.1.5解在ABCD中，AB＝DC，AD＝BC(平行四边形对边相等)．又∵AB＝8，AB+BC+CD+DA＝24，∴CD＝8，AD＝BC＝4．练习1.已知在ABCD中，∠A＝120°，求其余各内角的度数．2.已知在ABCD中，AB＝5，BC＝3，求它的周长．观察在如图16.1.3那样的旋转过程中，你观察到OA与OC、OB与OD的关系吗?我们已经发现，ABCD是一个中心对称图形，对角线的交点O就是对称中心，所以OA＝OC，OB＝OD．即平行四边形的对角线互相平分．例3如图16.1.6，在ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB＝6，那么对角线AC与BD的和是多少?图16.1.6解在ABCD中，已知AB＝6，AO+BO+AB＝15，∴AO+BO＝15-6＝9．又∵AO＝OC，BO＝OD(平行四边形对角线互相平分)，∴AC+BD＝2AO+2BO＝2(AO+BO)＝２×９＝18．试一试如图16.1.7，在方格纸上画两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点，过这些点作另一条直线的垂线，用刻度尺度量出平行线之间的垂线段的长度．图16.1.7经过度量，我们发现这些垂线段的长度都相等(从图16.1.7中也可以看到这一点)．这种现象说明了平行线的又一个性质：平行线之间的距离处处相等．练习1.在ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，指出图形中相等的线段．(第1题)(第2题)2.如图，如果直线l1∥l2，那么△ABC的面积和△DBC的面积是相等的．你能说出理由吗?你还能在这两条平行线l1、l2之间画出其他与△ABC面积相等的三角形吗?习题16.11.如图，在ABCD中，AE垂直于CD，E是垂足．如果∠B＝55°，那么∠D与∠DAE分别等于多少度?(第1题)2.如图，在ABCD中，已知AC、BD相交于点O，两条对角线的和为２２厘米，CD的长为5厘米，求△OCD的周长．(第2题)3.在ABCD中，∠A与∠B的度数之比为２∶３，求这个平行四边形各个内角的度数．4.如图，已知ABCD的周长为80cm，对角线AC与BD相交于点O，△AOB的周长比△AOD的周长小20cm，求这个平行四边形各边的长．（第４题）§16.2矩形、菱形与正方形的性质1.矩形试一试如图16.2.1，用四段木条做一个平行四边形的活动木框，将其直立在地面上轻轻地推动点D，你会发现什么?图16.2.1可以发现，角的大小改变了，但不管如何，它仍然保持平行四边形的形状．我们若改变平行四边形的内角，使其一个内角恰好为直角，就得到一种特殊的平行四边形，也就是我们早已熟悉的长方形，即矩形(rectangle)，如图16.2.2所示．图16.2.2平行四边形所具有的性质，矩形都具有，此外，矩形还具有另一些特有的性质，你能说出几条吗?作为特殊的平行四边形，矩形也是中心对称图形．我们很容易发现矩形还是轴对称图形，对称轴为通过对边中点的直线．这样，我们可以列出矩形所具有的一些性质：矩形的四个内角都是直角．矩形的对角线相等且互相平分．图16.2.3例1如图16.2.3，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少?解△AOB、△BOC、△COD和△AOD四个小三角形的周长和为86cm，又∵AC＝BD＝13cm（矩形的对角线相等），∴AB+BC+CD+DA＝86-2(AC+BD)＝86-4×１３＝３４（cm)，即矩形ABCD的周长等于34cm．练习1.如图，在矩形ABCD中，找出相等的线段与相等的角．(第1题)(第2题)2.如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，且∠AOD＝120°，你能说明AC＝2AB吗?例2如图16.2.4，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，BE⊥AC于E．试求出BE的长．图16.2.4解在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝＝＝＝5(勾股定理)．又∵S△ABC＝1/2AB·BC＝1/2AC·BE，∴BE＝AB·BC/AC＝3·４/５＝2.4．练习1.如图，在矩形ABCD中，E是边AD上的一点．试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系．(第1题)(第2题)2.如图，在矩形ABCD中，∠AOB＝60°，AB＝3.6，试求AC与AD的长．(精确到0.1)2.菱形试一试将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形呢?这就是另一类特殊的平行四边形，即菱形(rhombus)．如图16.2.5，菱形是四条边都相等的四边形，它也是一组邻边相等的平行四边形，它的两条对角线互相垂直平分．图16.2.5图16.2.6如图16.2.6，菱形是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为它的对角线所在的直线．这样，菱形具有以下的性质：菱形的四条边都相等．菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．例3如图16.2.7，在菱形ABCD中，∠BAD＝2∠B，试求出∠B的度数，并说明△ABC是等边三角形．图16.2.7解(1)在菱形ABCD中，∠B+∠BAD＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．又∵∠BAD＝2∠B，∴∠B＝60°．(2)在菱形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＢＣ（菱形的四条边都相等），∴在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝∠ＢＣＡ（等边对等角）．又∵∠B+∠BAC+∠BCA＝180°(三角形内角和公式)，∴∠BAC＝∠BCA＝∠B＝60°．∴AB＝BC＝AC(等角对等边)，即△ABC是等边三角形．菱形的应用非常广泛．现在流行一种新式的衣帽架，可以根据需要将它伸缩，形成各种形状的菱形，固定在墙上，既美观又实用．可伸缩的衣帽架练习练习1.如图，在菱形ABCD中，AB＝5，OA＝4，求这一菱形的周长与两条对角线的长度．(第1题)2.试说明菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半．例4如图1628，已知菱形ABCD的边长为2cm，∠BAD＝120°，对角线AC、BD相交于点O，试求这个菱形的两条对角线AC与BD的长．图16.2.8解(1)在菱形ABCD中，∠BAO＝1〖〗2∠BAD＝1〖〗2×１２０°＝60°(菱形的每一条对角线平分一组对角)．又在△ABC中，AB＝BC，∴∠BCA＝∠BAC＝60°(等边对等角)，∠ABC＝180°-∠BCA-∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AC＝AB＝2(cm)．(2)在菱形ＡＢＣＤ中，ＡＣ⊥ＢＤ（菱形的对角线互相垂直），∴△ＡＯＢ为直角三角形，∴BO＝AB2-AO2＝22-12＝3cm(勾股定理)，∴BD＝2BO＝23(cm)．练习1.如图，已知菱形ABCD的边AB长5cm，一条对角线ＡＣ长6cm，求这个菱形的周长和它的面积．(第1题)(第2题)2.如图，已知菱形ABCD的一条对角线BD恰好与其边AB的长相等，求这个菱形的各个内角的度数．3.正方形正方形(square)是我们早就熟悉的平面图形，如图16.2.9，在正方形ABCD中，四条边都相等，四个角都是直角．所以正方形可以看作为：有一个角是直角的菱形；有一组邻边相等的矩形．正方形是中心对称图形，也是轴对称图形．图16.2.9图16.2.10例5如图16.2.10，在正方形ABCD中，求∠ABD、∠DAC、∠DOC的度数．解由于正方形是一个角为直角的菱形，每一条对角线平分一组对角，且对角线互相垂直平分，∴∠ABD＝∠DAC＝90°×1/2＝45°，∠DOC＝90°．正方形还有许多有趣的性质．例如，如果要用给定长度的篱笆围成一个最大面积的四边形区域，那么应当把这区域的形状选成正方形．练习1.在下列图中，有多少个正方形?有多少个矩形?（１）（２）2.已知正方形ABCD的边AB长2cm，求这个正方形的周长、对角线长和它的面积．习题16.21.如图，已知矩形ABCD的一条对角线AC长8cm，两条对角线的一个交角∠AOB＝60°．求这个矩形的周长．(精确到0.1cm)(第1题)(第2题)2.如图，已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD分别长6cm和8cm，求这个菱形的周长和它的面积．(第3题)3.利用矩形的对角线相等且互相平分这一性质，说明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．阅读材料黄金矩形看一看雅典帕德嫩神庙的造型，甚至现在这还是世界上最美丽的建筑之一，这神庙建筑于古希腊数学繁荣的年代，并且它的美丽就是建立在严格的数学法则上的．如果我们在帕德嫩神庙周围描一个矩形，那么可以发现它的长大约是宽的1.6倍，这种矩形称为黄金矩形．你看到过具有黄金矩形形状的物体吗?按照下图中给出的指示，用圆规与三角尺画一个黄金矩形．将一个正方形分成在一个矩形中用圆规以A点为圆心、两个相等的矩形．引一条对角线．AB为半径画一圆弧．延长底边与弧相交于一点，过交点画底边的垂线，与顶边延长线交于一点，这样我们就画成了黄金矩形．§16.3梯形的性质我们知道，只有一组对边平行的四边形叫做梯形(trapezoid)．两腰相等的梯形叫做等腰梯形；有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．(如图16.3.1所示)图16.3.1如图16.3.2，梯形总可以看成是一个平行四边形与一个三角形的组合，这也是我们解决有关梯形的问题时经常使用的方法．图16.3.2做一做如图，在半透明的方格纸上，画一个等腰梯形ABCD，过两底边AD、BC的中点E、F画一条直线，将等腰梯形ABCD沿直线EF对折．你发现了什么?我们可以发现等腰梯形是一个轴对称图形，因而有以下性质(如图16.3.3)：等腰梯形同一底边上的两个内角相等．等腰梯形的两条对角线相等．图16.3.3例1如图1634，延长等腰梯形ABCD的两腰BA与CD，相交于点E．试说明△EBC和△EAD都是等腰三角形．图16.3.4解在等腰梯形ABCD中，∠B＝∠C(等腰梯形两底角相等)，∴EB＝EC(等角对等边)，因此△EBC是等腰三角形．又∵AB＝DC，∴EA＝ED，因此△EAD也是等腰三角形．例2如图16.3.5，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，CE∥DA．已知AB＝8，DC＝5，DA＝6，求△CEB的周长．图16.3.5解在等腰梯形ABCD中，CB＝DA＝6．又∵AB∥DC，CE∥DA，∴四边形AECD是平行四边形，∴CE＝DA＝CB＝6，AE＝DC＝5(平行四边形的对边相等)，∴EB＝AB-AE＝8-5＝3．于是△CEB的周长为CE+EB+BC＝6+3+6＝15．练习1.梯形ABCD中，如果DC∥AB，AD＝BC，∠A＝60°，DB⊥AD，那么∠DBC＝，∠C＝．(第1题)(第2题)2.如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，E是DC延长线上的一点，BE＝BC，试说明∠A和∠E的关系．习题16.31.如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，DE∥CB，△AED的周长为18，EB＝4，求梯形的周长．(第1题)(第2题)2.如图，在梯形ABCD中，BC∥AD，DE∥AB，DE＝DC，∠A＝100°，试求梯形ＡＢＣＤ的其他三个内角的度数．请问此时ABCD为等腰梯形吗?说说你的理由．阅读材料四边形的变身术我们知道，一个平行四边形总可以剪开拼成一个矩形．一个梯形可以剪开拼成一个矩形，一个矩形可以剪开拼成一个三角形．那么任意一个四边形呢?它也可以剪开拼成各种各样的图形.下面给出了一些剪拼的示意图，观察一下，你也试试看．想想看，在这些剪拼过程中，都用到了图形的什么变换?小结知识结构平行四边形梯形平行四边形梯形矩形菱形正方形等腰梯形直角梯形四边形两组对边分别平行只有一组对边平行有一直角邻边相等邻边相等有一直角两腰相等一腰垂直于底二、概括本章通过操作探索几类特殊四边形的性质，学会解决一些简单的度量问题．平行四边形是中心对称图形，这是它的本质特征．矩形、菱形、正方形作为特殊的平行四边形，不仅具有平行四边形的一般的性质，而且它们都是轴对称图形，分别具有一些独特的性质．梯形经常通过划分成一个平行四边形和一个三角形而加以探索．复习题A组1.观察下列挂件的图形，将它们分割成一个个你所熟悉的图形，分别指出它们的名称．（第１题）2.如图，在ABCD中，过点P画线段EF、GH分别平行于AB、BC，试找出图中的平行四边形，与你的同伴比一比，看看谁找出的多．(第2题)3.如图，在ABCD中，∠BAC＝68°，∠ACB＝36°，求∠D和∠BCD的度数．(第3题)4.如图，在矩形ABCD中，相邻两边AB、BC分别长15cm和25cm，内角∠BAD的角平分线与边BC交于点E．试求BE与CE的长度．(第4题)5.已知正方形ABCD的一条对角线AC长为4cm，求它的边长和面积．B组6.如图，在ABCD中，AB＝BE，