最优化课件等师范学报

CYDE是相 的,下面的文献讨论了最佳近解收稿日期:2011-12-基金项目 省高校省级自然科学基金(KJ2011B119)资助项目作者简介:(1970-),男,山东诸城人,,博士,主要从事智能计算和优化理论的研究文献[5]利用广义奇异值分解(generalizedsingular position,GSVD)给出了极小范数最小二乘解;文献[6]为求极小范数最小二乘解提出一个算法并且推广了这个算法,用于计算给定矩阵的最佳近解;文献[7]利用共轭梯度的思想给出一个算法用于计算给定矩阵的中心对称最佳近解;文献[8]给出了一个算法用于求解自反矩阵(或反自反

迭代算首先给出解决问题Ⅱ的迭代算法,然后证明该算法收敛,最后研究如何计算到非空凸集K上的投影.算法步骤1:输入矩阵ARmpBRpn,CRmq矩阵)最佳近解 文献[9]介绍了最佳近解的表示方法.上述文献中,文献[5]仅求解了极小范数最小二乘解,而其它文献研究了任意给定矩阵的最佳

和Y*Rqq(Q),r步骤2:M12(BBT(ATAM22(BDT(ATC),N12(DBT)(CTA),N22(DDT)(CTC);近解 M2; 2关于不相容矩阵方程AXBCYD最佳近解的研究成果较少见.对于矩阵方程AXBCYDE

3:FBBTATAvec

k

BDT文献[10]阐述了极小范数对称最小二乘解;对于矩阵方程AXATBYBTC,文献[11]给出了极小范数最小二乘解的表达式;对于矩阵方程ATXBBTXTAD,文献[12]讨论了它的极小范数最小二乘解;对于

ATCvecYk1BATvecE,GDBTCTAvecXk1DDTCTCvecYk1DCTvecE任意给定矩阵,文献[13]提出一种算法求它的最佳

vecX Fk近解.在文献[5,6,9,12,13]中k

般矩阵,也就是说未知矩阵没有特殊的约束条件

vecYk1vec(Xk1)

G k1k对于同一矩阵方程,无约束未知矩阵的最 近 Tvec(Y)PK k1k k1 k1 k题要比有约束未知矩阵的最佳近问题容易些 vec(X) 2vec 2vec kvec(Y)1kTvec(Y)kvec(Y*)关于反射矩 P的自反矩阵或反自反矩阵在 k k1 统与控制理论、工程、科学计算等领域中都有广 步骤4:若XkXk1YkYk1,则停止应用[14-16若矩阵方程AHXBC和AXB是相容的,文献[17-18]分别研究了自反(或反自反)最佳

否则,k:k1,转向步骤为了证明该算法的收敛性,首先给出如下的定近解.若矩阵方程A1XB1C1,A2XB2C2是不相 义和定理的,文献[19]提出一种算法求自反矩阵(或反自反 定义 若x,ySH,0,使T(x)T(y)≤x 则称映 T:HH阵)的最佳近解I.Yamada提出了复合最速下降法(HSDM)[20].HSDM已经应用于正定Toeplitz矩阵集合上最佳近解的求解[21].本文借助于HSDM研究当矩阵方程AXBCYDE不相容时求它的自反矩阵(或反自

-Lipschitzian(或-Lipschitzian连续);特别地,若对于一切xyH,有T(x)T(y)≤xy,则称映射T:HH为非扩展映射.定义 对于给定的集合SH,若x,yS 反矩阵)最佳近 0,使F(x)F(y),xy射FHH在集合S上强单调

xy2,则称定理1[20](hybridsteepestdescent DDTCTCvecYDCTvecET:HH是非扩展映射且Fix(T),函 AXBCYDE2AXB :H

Gâteaux导数:HH,且 在T(H)上- 且强单调,u0H CYDE,AXBCYDEAXB,AXB 正实数序列(n)n≥1满足: CYD2AXB,CYD2AXB,E2CYD,EE,(L1)limn0 Evec(AXB),vec(AXB)vec(CYD),vec(CYD)2vec( vec(CYD)2vec(AXB),vec(E)2vec(CYD),vec(E)(L2)n

vec(E),vec(E)BTAvec(X),BTAvec(X)(L3)lim(nn1)20 DTCvec(Y),DTCvec(Y)2BTAvec(X),DT或(W1)lim0n(W2)n

Cvec(Y)2BTAvec(X),vec(E)2DTCvec(Yvec(E)vec(E),vec(E)(BTAvec(X))T(BTvec(X)(DTCvec(Y))T(DTC)vec(Y)2(BTAvec(X))T(DTC)vec(Y)2(BTAvec(X))Tvec(E)(W3)|nn1|

2(DTCvec(Y))Tvec(E)(vec(E))Tvec(E)(vec(X))T(BT则由 :T(u)(T(u))(n≥0)生成的序 A)T(BTA)vec(X)(vec(Y))T(DTC)T(DTC)vec(Y) 2(vec(X))T(BTA)T(DTC)vec(Y)2(vec(X))T(BT(un)n≥0强收敛于唯一的u*,其中u*满 A)vec(E)2(vec(Y))(DC)vec(E)(vec(E))vec(E)(u*)infFi(x (vec(X))(BA)(BA)vec(X)(vec(Y))(D注 n1/n是满足(W1)~(W3)的序列(n)n≥1定理 设KH是闭凸子集,假

CT)(DTC)vec(Y)2(vec(X))T(BAT)(DCT)vec(Y)2(vec(X))T(BAT)vec(E)2(vec(Y))T(DCT)vec(E):H

是Gâteaux可微的凸函数 (vec(E))Tvec(E)(vec(X))T(BBT)(ATA)vec(X)它的导数：HH在H上满足- (vec(Y))T(DDT)(CTC)vec(Y)2(vec(X))T(BDT)是:H是

Gâteaux

(ATC)vec(Y)2(vec(X))T(BAT)vec(E)2(vec(Y))T(D它的导数：HHT(H)上满足-Lipschitzia

CTvec(Evec(E))Tvec(E),则定理3得证和强单调,其中T:

(Iv),v(0,2/

vec(X) 定理 设vec(Y)

XX*2YY*2则uH,由u:T )(T ))产生的 un

强收敛于唯一的x*arginf(x其中 vec(X) vec(XX*)K:arginfx() vec(Y)2vec(YY*) 现在对于问题Ⅱ,在集合K上定义函数并证明它们满足定理2的条件

vec(X)vec(Y)vec(Y)

XX*2YY*2X vec(X) 定理

AXBCYDE2

X*,XX*YY*,YY*vec(XX*),vec(Xvec(Y) vecXF X*)(vec(YY*))Tvec(YY*则定理4得证 vec(Y) G

易 vec(X) vec(X) vec(X)其中FBBTATAvecXBDTATCvecYBATvecE,GDBTCTAvecX

vec(Y)vec(Y) vec(Y) vec(X) vec(Y,因此,分别用vec(Y

vec(Y

vec(Y

vec(Y 1 2定理 设vec(X)和vec(X)如定 vec(X1X*) vec(X2X*) 2 2 vec(Y) vec(Y) vec(YY*) vec(YY*) 3和定理4中所示, vec(XX) vec(YY)

vec(X)vec(X) 1 2 ,vec(Y) 1 2 ,vec(X)vec(Y是凸函数

2 1 2vec(X) vec( 是凸函数

因此vec(Y是-Lipschitizian其中2 vec(X)

vec(Y-Lipschitizian

1 2 1vec(X)是-Lipschitzian vec(X2)

X1X2

X1X2

vec(Y

vec(Y)

2vec

, YY YY 2 2 2 vecX是强单调的

X1X2

vec(X1)

vec(X2)

vec(Y)

2vec

Y

vec(Y)vec(Y) 2 1 2 由凸函数的定义可以证明(i),(ii)成立.

由定义2知2

vecX是强单调的,其中 vec(Y M12(BBT)(ATA)N12(DBT)(CTA)根据(1)式知

M22(BDT)(ATC)N22(DDT)(CTC)

从上述证明中可以发现X,Y和X,Y满足定理2的条件,由定理2可以推出算法1是收敛的.在算法1中需要计算到凸集K上的投影,vec(X) vec(X)

1

下定理 vec(Y2)

定理 XRpp,YRqq

vec(X0)则F1F2

M2vec(X1)vec(X2)

vec(Y)2

0G1G2 N2vec(Y1)vec(Y2) 到K上的投影计 M2vec(X1)vec(X2) vec(X0) vec(X0)

N2

vec(Y1)vec(Y2)

,11

vec(Y0) vec(Y0) vec(Y0) N

M2 N2vec(X)

vec(X)vec(Y2)

X

vec(Y0)其中F1(BBT)(ATA)vec(X1)(BDT)(ATC)vec(Y1 PTP (BAT)vec(E),G(DBT)(CTA)vec(X)(DDT) 其中 ,s是矩0

QTQI (CTC)vec(Y1)(DCT)vec(E),F2(BBT)(ATA)vec(X2)(BDT)(ATC)vec(Y2)(BAT)vec(E),G2(DBT)(CTA)vec(X2)(DDT)(CTC)vec(Y2)(DCTvec(X)

空间的标准正交基 由自反矩阵的定义知X 因此vec(Y) 是-Lipschitizian,其 Y M2

对(4)式两边运用拉伸算子vec(),vec(X)vec(PXP)PTPvec(X. N

2

vec(Y)vec(QYQ)QTQvec(Y(iv)由(2)式 (5)式也可以写 1113(QTQI)vec(Y) A12B

因此 113 1PTP 1 0 C212,D 1 QTQIvec(Y) 1 1 4K中元素就是线性系统方程(6)的解.因此只要给定(6)式解集合的标准正交基,就可以利用(3)K上的投影

7E 13910162

1 0PQ0 000 对于问题I和问题II,若规定矩阵X、Y是反自反矩阵集合, 同样可以得到反自反最佳近解.

X*

200 200

Y*

5 0 0002

数值试接下来给出2个数值例子来说明上述结论,所 2007R中进行的.例 考虑矩阵方程AXBCYDE,其

101010 Y0X0101010 101010 该方程有多个自反解.利用算法1,1.0109,可得

0.000000374425 211

1.999998052875

0.000000374425 2.999998671469

0.500002024930 211

0.499997638690

0.500002509772 0.999998567367 相应的余项 0 7 B DE9.52848106 PQ 1,E 9211

211 211

0 0其中下标是迭代步数.在计算误差之内,可以认为解满足矩阵方程,另外可以证明解是自反矩阵.例2 仍然考虑矩阵方程AXBCYDE,A,B,C,D,X0,Y0,X*和Y*同例1中的一样.令

可以证明上述矩阵方程是不相容的1.0109,

168.7951122314427154.4564470814956594.456447081495659 X56761962.687357408923 2.965530890840 0.232157278421583 2.687357761271 0.232157278421 2.965531243189215

0.023118647531 0.0231185594443095676196

0.303163961628

4.428330726955 2.8984932973522360.303164049715 2.898493297352 4.428330550780 R5676196AX5676196BCY5676196DE4.433944972729

结本文根据HSDM,提出求解矩阵方程r可以验证X5676196R33(P),r

5676

R33(Q)AXBCYDE自反最佳近解的迭代算法.无论矩阵方程AXBCYDE是否相容,所给的算法都可以计算其最佳近解.数值试验充分说明了算法的可行性,但算法要求自反矩阵反自反矩阵的集合是凸集,而且存在收敛速度慢的缺点.若其它矩阵方程的未知约束矩阵是凸集,则可以应用HSDM解决其最佳近问题.针对广义自反矩阵或(P,Q)广义自反矩阵的方程最佳近解已有一些研究成果,如何应用HSDM求解广义自反矩阵或(P,Q)广义自反矩阵下方程AXBCYDE最佳近问题是今后的研究工作.参考文YasudaK,SkeltonRE.Assigningcontrollabilityandobservabilitygramiansinfeedbackcontrol[J].GuidanceControl,1990,145(5):878-885.

[9].矩阵方程AXB+CYD=E的解及其最佳近[J].数学理论与应用,2002,22:99-103.[10],廖,.矩阵方程AXB+CYD=E的对称极小范数最小二乘解[J].计算数学,2007,29:203-216.廖,.矩阵方程AXATBYBTC的对称与称最小范数最小二乘解[J].计算数学,2005,27:81-95.袁永新,.矩阵方程ATXBBTXTAD的极小范数最小二乘解[J].高等学校计算数学学报,2005,27:232-238.盛兴平,,.矩阵方程ATXBBTXTAD的极小范数最小二乘解的迭代算法[J].高等学校计算数学学报,2008,30(4):352-362.ChenHsinChu.Generalizedreflexivematrices:specialproper-tiesandapplications[J].SIAMJ.MatrixAppl,1998,19:ChenHsinChu,SamehA.Numericallinearalgebraalgorithmsonthecedarsystem[J].AmericanSocietyofMechanicalEngi-neers,AppliedMechanicsDivision,AMD,1987,v86,p101-125.ChenHsinChu.TheSASpositionmethodforstructuralysis[R].Centerfor putingResearchandDevelopment,UniversityofIllinois,Urbana,IL,1988.PengXiangyang,HuXiyan,ZhangLei.ThereflectiveandFujickaH,HaraS.Statecovarianceassignmentproblem ti-reflectivesolutionsofthematrixequationsAHXBCmeasurementnoise:anunifiedapproachbasedonasymmetricmatrixequations[J].LinearAlgebraandAppl,1994,203/204:XuGui,WeiMusheng,ZhengDaosheng.OnsolutionsofmatrixequationsAXB+CYD=E[J].LinearAlgebraandAppl,1998,279:93-109.BaksalaryJK,KakaR.ThematrixequationsAXB+CYD=E[J].LinearAlgebraandAppl,1980,30:141-147.袁永新.矩阵方程的最小二乘解[J].高等学校计算数学学报,200123(4324-329.ZhenYunpeng,YaXinpeng.AnefficientitivemethodforsolvingthematricequationAXB+CYD=E[J].NumerLinearAl-gebraandApp1,2006,13:473-485.,周海林,锦.AXB+CYD=E的中心对称解及其最佳近解的迭代算法[J].扬州大学学报,2008,11(3):9-13.MehdiDehghan,MasoudHajarian.Finitei tivealgorithmsforthereflexiveandanti-reflexivesolutionsofthematrixequa-tionsA1X1B1C,A2X2B2D[J].MathematicalandComputerModelling,2009,49:1937-1959.

JournalofComputationalandAppliedMathematics,2007,200(2):PengZhenyun,HuXiyan.Thereflectiveandanti-reflectivesolu-tionsofthematrixequationsAXC[J].LinearAlgebraandAppl.2003,375:147-155.PengZhuohua,HuXiyan,ZhangLei.Anefficientalgorithmfortheleast-squaresreflectivesolutionofthematrixequations[J].AppliedMathematicsandComputation,2006,181:988-999.YamadaI.Thehybridsteepestdescentmethodforthevariationalinequalityproblemovertheintersectionoffixedpointsetsofnonexpansivemaps[M].Butnariu:Elsevier,2001,473-504.Konstantinos,Slavakis,YamadaI,etal.Computationofsym-metricpositivedefiniteToeplitzmatricesbythehybridsteepestdescentmethod[J].SignalProcessing,2003,83:1135-1140.YamadaI,OguraN,ShirakawaN.Anumericallyrobusthybridsteepestdescentmethodfortheconvexlyconstrainedgeneralizedinverse