最大值最小值问题教学设计

高等数学教学设计PAGEPAGE5广西警官高等专科学校吴建功高等数学教学设计广西警官高等专科学校吴建功最大值最小值问题教学设计使用教材：《高等数学》（第六版），高等教育出版社，主编：同济大学数学系教学章节：第三章微分中值定理与导数的应用——第五节教学目标：1．使学生理解函数极值、最值的概念；培养学生仔细观察、善于思考的素养；提高学生分析问题、解决问题的能力。2．使学生掌握用极值求函数最值的方法和步骤。教学重点：求函数的最大值和最小值的方法。教学难点：极值点导数为零的证明。使用课时：1课时学法分析：学生在学了极值与导数的基础上，知道了利用导数求函数在局部的最值（极值），现在将函数的范围扩宽，来学习函数在某个闭区间上的最大（小）值。学生可以类比利用导数求极值的方法和极值与最值的关系来学习利用导数求最值。教学方法：类比+探究式教学教学过程教学环节教师活动学生活动教学评价温故知新提问1：请同学们回顾极值的定义？及利用导数求极值的解题步骤？思考回答：让同学们复习极值和求解的方法，为下面学习最值和求解方法做好准备。探究新知用多媒体展示图形，提问1：观察如图在闭区间上的函数的图象，你能找出它的极大值，极小值吗？提问2：你能找出在闭区间上的函数的最大值，最小值吗？观察图形并回答问题。（可能出现的错误答案：学生可能会把极值点作为极值的结果，老师要及时纠正。）让学生直观感受函数的极值和最值的关系。从而引出下面的讨论。和同学们一起讨论：在闭区间函数的“最值”与“极值”的关系引导学生归纳结果，并将最值与极值的关系准确的表示出来。①、“最值”是整体概念；而“极值”是个局部概念．②、从个数上看，一个函数在给定的闭区间上的最值是唯一的；而极值可能有多个，也可能只有一个，还可能一个都没有；③、在极值点处的导数=0，而最值点不一定，最值有可能在极值点取得，也可能在端点处取得。讨论最值和极值的关系并得到一定的结果。培养学生思维能力及通过讨论思考形成概念。探究：在上图中观察上的函数图象，它们在上有最大值，最小值吗？如果有分别是什么通过观察回答问题，思考函数最值的存在性通过问题引导学生，让学生观察图形总结规律。引出规律：一般地，如果在闭区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么函数在上必有最大值与最小值．学生总结并记录结论。总结规律，得出结论。归纳方法:由上面函数的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值可疑点的函数值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．通过前面的讨论，得出最值存在的位置，归纳出求最值的方法。培养学生总结归纳的能力，让学生知道最值的一般求解方法。例题巩固例1．问在何处取得最大值？并求出它的最大值.解：（第一步）显然函数在[a,b]上是连续的.（第二步）f(x)¢=20-4x=4(5-x),函数f(x)导数为0的点为x=5.（第三步）比较函数值:f(0)=0，f(10)=0，f(5)=50函数f(x)在x=5处取得最大值,最大值为f(5)=50.老师讲解过程并板书解题过程和解题的步骤：利用导数求函数的最值的步骤：一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：(1)确定函数为连续函数；(2)找在内的极值可疑点；(3)将的各极值可疑点和端点处的函数值、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数在上的最值学生思考解题方法并总结步骤。让学生从实例中感受求最值的方法，形成一种求解的思路。实际应用例2如图3所示，设工厂到铁路的垂直距离为20km，垂足为，铁路线上距点100km处有一原料供应站，现在要在线上选定一点修建一个原料中转车站，再由车站向工厂修筑一条公路。已知每吨公里铁路的运费与公路的运费之比为3:5，为了使原料从供应站运到工厂的运费最省，问点应选在何处？图3解图3设(km)，则，；又设单位长度公路上的运费为5，铁路上的运费为3，从点到点需要的总运费为（元），则目标函数为，即（）。其次，将实际问题的最值转化为函数的最值。问题转化为：求函数在上的最小值。求导数，得，令,得驻点（舍去）。比较函数值：因此，当车站建于、之间与相距15km处时，运费最省。学生动手做，并叫一位学生上黑板上来做。学生可能会没有极值的分析而直接比较，和的大小就的结果。老师要纠正，要强调学生要分析导数为0的点是否是极值点。培养学分析、解决实际问题的能力。小结作业1．一般地，如果在闭区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么函数在上必有最大值与最小值．2．利用导数求函数的最值方法和应用．布置作业思考函数最值存在的条件是什么