2022-2023学年广东省惠州市惠阳区德兴通中英文学校七年级（下）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省惠州市惠阳区德兴通中英文学校七年级（下）开学数学试卷一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。1．﹣5的倒数的相反数是（）A．﹣5 B．5 C． D．2．点P（x，y）的坐标满足xy＞0，且x+y＞0，则点P在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．下列运算一定正确的是（）A．2a+3a＝6a B．a2+a3＝a5 C．a8÷a2＝a6 D．（a3）4＝a74．小明同学做了下面四道计算题：①（x2）3＝x5；②（﹣x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2；③（x+y）（y﹣x）＝y2﹣x2；④（x2y）3＝x6y3，其中正确的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．15．如图，如果AB∥EF、EF∥CD，若∠1＝50°，则∠2+∠3的和是（）A．200° B．210° C．220° D．230°6．如图，正方形ABCD的边长AB＝8，E为平面内一动点，且AE＝4，F为CD上一点，CF＝2，连接EF，ED，则2EF+ED的最小值为（）A．12 B．12 C．12 D．107．下列运算正确的是（）A．4a+b＝4ab B．a2+a3＝a5 C．3a+2a＝5a D．2a2b3﹣2a3b2＝08．如图，将图1中的长方形纸片剪成①号、②号、③号、④号正方形和⑤号长方形，并将它们按图2的方式无重叠地放入另一个大长方形中，若需求出没有覆盖的阴影部分的周长，则下列说法中错误的是（）A．只需知道图1中大长方形的周长即可 B．只需知道图2中大长方形的周长即可 C．只需知道③号正方形的周长即可 D．只需知道⑤号长方形的周长即可9．如图，AB∥CD，∠BED＝110°，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，则∠BFD＝（）A．110° B．115° C．125° D．130°10．求1+2+22+23+…+22021的值，可令S＝1+2+22+23+…+22021，则2S＝2+22+23+24+…+22022，因此2S﹣S＝22022﹣1．仿照以上推理，计算出1+2021+20212+20213+…+20212021的值为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。11．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝30°，∠ACE＝60°，则∠A＝°．12．关于x的方程ax＝2的解是x＝2，则a的值是．13．如图，∠1＝25°，则射线OA表示为南偏东°．14．对于有理数a，b，c，d，给出如下定义：如果|a﹣c|+|b﹣c|＝d．那么称a和b关于c的相对距离为d，如果m和3关于1的相对距离为5，那么m的值为．15．已知P＝x2+t，Q＝2x，若对于任意的实数x，P＞Q始终成立，则t的值可以为（写出一个即可）．16．某超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元不享受优惠；（2）一次性购物超过100元但不超过300元一律9折；（3）一次性购物超过300元一律8折．小红两次购物分别付款99元和225元，如果小红一次性购买以上两次相同的商品，则应付元．17．如图，已知AB＝2，C为线段AB上的一个动点，分别以AC，CB为边在AB的同侧作菱形ACED和菱形CBGF，点C，E，F在一条直线上，∠D＝120°．P、Q分别是对角线AE，BF的中点，当点C在线段AB上移动时，点P，Q之间的距离最短为（结果保留根号）．三、解答题：第18，19，20小题6分，第21，22，23小题8分，第24，25小题10分。18．已知：方程（m﹣2）xm+1+3﹣m＝11是关于x的一元一次方程，求：这个方程的解．19．已知：点A，B，C在同一直线上，AB＝5cm，AC＝3cm；求：B、C两点之间的距离．20．在1到100这100个数中，任找10个不同的数，使其倒数之和等于1．现已有2个数，为2和6，再写出另外的8个数即可．21．有一个正方体，在它的各个面上分别标上数字1、2、3、4、5、6．小明、小刚、小红三人从不同的角度去观察此正方体，观察结果如图所示，问这个正方体各个面上的数字对面各是什么数字？22．一天，小红与小莉利用温差测量山峰的高度，小红在山顶测得温度是﹣1℃，小莉此时在山脚测得温度是5℃．已知该地区高度每增加100米，气温大约降低0.8℃，这个山峰的高度大约是多少米？23．点A，B，C在直线l上，若AB＝4cm，BC＝3cm，点O是线段AC的中点，那么线段OB的长是多少？小明同学根据下述图形对这个题目进行了求解：∵A，B，C三点顺次在直线l上，∴AC＝AB+BC，∵AB＝4cm，BC＝3cm，∴AC＝7cm，又∵点O为线段AC的中点，∴AO＝AC＝×7＝3.5cm，∴OB＝AB﹣AO＝4﹣3.5＝0.5cm．小明考虑得全面吗？如果不全面，请补全解题过程，如果全面，请说明理由．24．某礼品制造厂接了一批玩具熊的订单，按计划天数生产，若每天生产20个玩具熊，则最终比订单少生产100个；若每天生产23个玩具熊，则最终比订单多生产20个．原计划几天完成订单？25．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，∠BAC＝80°，∠B＝60°，求∠DAE的度数．

参考答案一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。1．﹣5的倒数的相反数是（）A．﹣5 B．5 C． D．【分析】先求出﹣5的倒数﹣，再求得它的相反数为．解：﹣5的倒数的相反数是．故选：D．【点评】主要考查倒数，相反数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数；相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．2．点P（x，y）的坐标满足xy＞0，且x+y＞0，则点P在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据xy＞0，且x+y＞0，可判断xy的符号，即可确定点P所在的象限．解：∵xy＞0，∴xy为同号即为同正或同负，∵x+y＞0，∴x＞0，y＞0，∴点P（x，y）在第一象限．故选：A．【点评】坐标平面被两条坐标轴分成了四个象限，每个象限内的点的坐标符号各有特点，该知识点是中考的常考点，常与不等式、方程结合起来求一些字母的取值范围．解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号．3．下列运算一定正确的是（）A．2a+3a＝6a B．a2+a3＝a5 C．a8÷a2＝a6 D．（a3）4＝a7【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及合并同类项法则分别计算得出答案．解：A、2a+3a＝5a，故此选项错误，不符合题意；B、a2与a3无法合并，故此选项错误，不符合题意；C、a8÷a2＝a6，故此选项正确，符合题意；D、（a3）4＝a12，故此选项错误，不符合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及合并同类项，正确掌握运算法则是解题关键．4．小明同学做了下面四道计算题：①（x2）3＝x5；②（﹣x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2；③（x+y）（y﹣x）＝y2﹣x2；④（x2y）3＝x6y3，其中正确的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据幂的乘方的性质，完全平方公式，平方差公式，积的乘方的性质等知识点进行作答．解：①（x2）3＝x6，原计算错误；②（﹣x﹣y）2＝x2+2xy+y2，原计算错误；③（x+y）（y﹣x）＝y2﹣x2，原计算正确；④（x2y）3＝x6y3，原计算错误．故正确的有1个．故选：D．【点评】本题主要考查了幂的乘方的性质，完全平方公式，平方差公式，积的乘方的性质，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键．5．如图，如果AB∥EF、EF∥CD，若∠1＝50°，则∠2+∠3的和是（）A．200° B．210° C．220° D．230°【分析】由平行线的性质可用∠2、∠3分别表示出∠BOE和∠COF，再由平角的定义可得出答案．解：∵AB∥EF，∴∠2+∠BOE＝180°，∴∠BOE＝180°﹣∠2，同理可得∠COF＝180°﹣∠3，∵O在EF上，∴∠BOE+∠1+∠COF＝180°，∴180°﹣∠2+∠1+180°﹣∠3＝180°，∴∠2+∠3＝180°+∠1＝180°+50°＝230°，故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行，④a∥b，b∥c⇒a∥c．6．如图，正方形ABCD的边长AB＝8，E为平面内一动点，且AE＝4，F为CD上一点，CF＝2，连接EF，ED，则2EF+ED的最小值为（）A．12 B．12 C．12 D．10【分析】如图，当点E运动到点E′时，在AD边上取AH＝2，证明△DAE′∽△E′AH，根据2EF+ED的最小值为2HF的值，再根据勾股定理即可求解．解：如图，当点E运动到点E′时，在AD边上取AH＝2，∵AE′＝AE＝4，∴AE′：AH＝2：1，∵AD＝8，∴AD：AE′＝8：4＝2：1，∴AD：AE′＝AE′：AH，∵∠DAE′＝∠E′AH，∴△DAE′∽△E′AH，∴DE′：E′H＝2：1，即DE′＝2E′H，∵2EF+ED＝2E′F+E′D＝2E′F+2E′H＝2HF，∴2EF+ED的最小值即为2HF的值，∵DH＝AD﹣AH＝6，DF＝DC﹣CF＝6，在Rt△DHF中，根据勾股定理，得HF＝＝6，∴2HF＝12．故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是在AD上取AH＝2，利用相似三角形的判定与性质．7．下列运算正确的是（）A．4a+b＝4ab B．a2+a3＝a5 C．3a+2a＝5a D．2a2b3﹣2a3b2＝0【分析】根据合并同类项法则判断即可．解：A．4a与b不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；B．a2与a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；C．3a+2a＝5a，故本选项符合题意；D．2a2b3与﹣2a3b2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；故选：C．【点评】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解答本题的关键．合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．8．如图，将图1中的长方形纸片剪成①号、②号、③号、④号正方形和⑤号长方形，并将它们按图2的方式无重叠地放入另一个大长方形中，若需求出没有覆盖的阴影部分的周长，则下列说法中错误的是（）A．只需知道图1中大长方形的周长即可 B．只需知道图2中大长方形的周长即可 C．只需知道③号正方形的周长即可 D．只需知道⑤号长方形的周长即可【分析】设①号正方形的边长为x，②号正方形的边长为y，则③号正方形的边长为x+y，④号正方形的边长为2x+y，⑤号长方形的长为3x+y，宽为y﹣x，根据图2得没有覆盖的阴影部分的周长＝2（AB+BD），计算即可得到答案．解：设①号正方形的边长为x，②号正方形的边长为y，则③号正方形的边长为x+y，④号正方形的边长为2x+y，⑤号长方形的长为3x+y，宽为y﹣x，∴AB＝2x+y+x+y﹣y＝3x+y，BD＝y﹣x+y+2x+y﹣x﹣y＝2y，根据题意得：没有覆盖的阴影部分的周长＝2（AB+BD）＝2（3x+y+2y）＝6（x+y）．∵图1中大长方形的周长＝2（3x+y+y+x+y+y）＝8（x+y）；图2中大长方形的周长＝2（2x+y+x+y+y﹣x+y+2x+y）＝8x+10y；⑤号长方形的周长＝2（y﹣x+3x+y）＝4（x+y）；∴选项A，C，D说法正确，不符合题意，选项B说法错误，符合题意．故选：B．【点评】此题考查整式加减的应用，解题的关键是设出未知数，列代数式表示各线段进而解决问题．9．如图，AB∥CD，∠BED＝110°，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，则∠BFD＝（）A．110° B．115° C．125° D．130°【分析】首先过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，由AB∥CD，即可得EM∥AB∥CD∥FN，然后根据两直线平行，同旁内角互补，由∠BED＝110°，即可求得∠ABE+∠CDE＝250°，又由BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，根据角平分线的性质，即可求得∠ABF+∠CDF的度数，又由两只线平行，内错角相等，即可求得∠BFD的度数．解：过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，∵AB∥CD，∴EM∥AB∥CD∥FN，∴∠ABE+∠BEM＝180°，∠CDE+∠DEM＝180°，∴∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，∵∠BED＝110°，∴∠ABE+∠CDE＝250°，∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，∴∠ABF+∠CDF＝（∠ABE+∠CDE）＝125°，∵∠DFN＝∠CDF，∠BFN＝∠ABF，∴∠BFD＝∠BFN+∠DFN＝∠ABF+∠CDF＝125°．故选：C．【点评】此题考查了平行线的性质与角平分线的定义．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．10．求1+2+22+23+…+22021的值，可令S＝1+2+22+23+…+22021，则2S＝2+22+23+24+…+22022，因此2S﹣S＝22022﹣1．仿照以上推理，计算出1+2021+20212+20213+…+20212021的值为（）A． B． C． D．【分析】根据阅读材料提供的方法，举一反三推导计算要求的式子．解：记S＝1+2021+20212+20213+…+20212021，则2021S＝2021+20212+20213+…+20212021+20212022，∴2021S﹣S＝20212022﹣1，故S＝．故选：A．【点评】本题考查有理数的乘方运算和数字计算的规律问题．解题的关键是读懂阅读材料，举一反三运用阅读材料的方法解决问题．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。11．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝30°，∠ACE＝60°，则∠A＝90°．【分析】由角平分线的定义可得∠ACD＝2∠ACE＝120°，再由三角形的外角性质即可求∠A的度数．解：∵CE平分∠ACD，∠ACE＝60°，∴∠ACD＝2∠ACE＝120°，∵∠ACD是△ABC的外角，∠B＝30°，∴∠ACD＝∠A+∠B，∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝90°．故答案为：90．【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和．12．关于x的方程ax＝2的解是x＝2，则a的值是1．【分析】把x＝2代入方程即可得到一个关于a的方程，解方程即可求解．解：把x＝2代入方程得：2a＝2，解得：a＝1．故答案是：1．【点评】本题考查了方程的解的定义，正确理解定义是关键．13．如图，∠1＝25°，则射线OA表示为南偏东65°．【分析】标记∠2，由∠1、∠2互余可得出∠2的度数，再根据方向角的定义，即可找出射线OA表示南偏东65°．解：标记∠2，如图所示．∵∠1＝25°，∠1+∠2＝90°，∴∠2＝65°．∴射线OA表示南偏东65°．故答案是：65．【点评】本题考查了方向角，牢记“方向角先叙述北或南，再叙述偏东或偏西”是解题的关键．14．对于有理数a，b，c，d，给出如下定义：如果|a﹣c|+|b﹣c|＝d．那么称a和b关于c的相对距离为d，如果m和3关于1的相对距离为5，那么m的值为4或﹣2．【分析】根据新定义可列等式，结合绝对值的性质计算可求解m值．解：由题意得|m﹣1|+|3﹣1|＝5，即|m﹣1|＝3，∴m﹣1＝3或m﹣1＝﹣3，解得m＝4或﹣2，故答案为4或﹣2．【点评】本题主要考查绝对值，有理数的减法，属于新定义题型，根据新定义列算式是解题的关键．15．已知P＝x2+t，Q＝2x，若对于任意的实数x，P＞Q始终成立，则t的值可以为2（写出一个即可）．【分析】由P＞Q可得x2+t＞2x，整理得x2﹣2x+t＞0，将不等式的左边配方后，利用不等式的性质，结论可得．解：∵P＝x2+t，Q＝2x，∴若对于任意的实数x，P＞Q始终成立，必须x2+t＞2x，即：x2﹣2x+t＞0，∵x2﹣2x+t＝（x﹣1）2+t﹣1，又（x﹣1）2≥0，∴当t﹣1＞0时，x2﹣2x+t＞0永远成立，即P＞Q始终成立．∴t＞1．故答案为：2（答案不唯一）．【点评】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质﹣偶次方．利用配方法将多项式变形，再根据非负数的性质解答是解题的关键．16．某超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元不享受优惠；（2）一次性购物超过100元但不超过300元一律9折；（3）一次性购物超过300元一律8折．小红两次购物分别付款99元和225元，如果小红一次性购买以上两次相同的商品，则应付288或279.2元．【分析】要求小红一次性购买以上两次相同的商品，应付款多少元，就要先求出两次一共实际买了多少元，第一次购物有两种情况，也可能超过100元，显然超过100元，是按九折付款，也可能没有超过100元，就是99元．第二次只有一种情况，是购物超过100元但不超过300元一律9折，依此计算出小红购买的实际款数，再按第三种方案计算即是小红应付款数．解：小红一次性购物付款99元，据条件（1）、（2）知她有可能享受九折优惠，则实际购物款为：99÷0.9＝110（元），也可能实际就是99元，没有优惠，则实际购物款为99元；另一次购物付款225元，只有一种可能，是购物超过100元但不超过300元按九折计算，则实际购物款为＝250（元）．250+110＝360（元），或250+99＝349（元），即小红两次购物总价值为360元，349元，若一次性购买这些商品应付款为：则360×0.8＝288（元），或349×0.8＝279.2（元）．故答案为：288或279.2．【点评】本题考查了一元一次方程的运用，分类讨论思想在数学实际问题中的运用，解答时分析清楚打折销售的几种情况是解答本题的关键．17．如图，已知AB＝2，C为线段AB上的一个动点，分别以AC，CB为边在AB的同侧作菱形ACED和菱形CBGF，点C，E，F在一条直线上，∠D＝120°．P、Q分别是对角线AE，BF的中点，当点C在线段AB上移动时，点P，Q之间的距离最短为（结果保留根号）．【分析】连接QC、PC．首先证明∠PCQ＝90°，设AC＝2a，则BC＝2﹣2a，PC＝a，CQ＝（）．构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．解：连接PC、CQ．∵四边形ACED，四边形CBGF是菱形，∠D＝120°，∴∠ACE＝120°，∠FCB＝60°，∵P，Q分别是对角线AE，BF的中点，∴∠ECP＝∠ACE，∠FCQ＝∠BCF，∴∠PCQ＝90°，设AC＝2a，则BC＝2﹣2a，PC＝a，CQ＝BC＝（）．∴PQ＝＝＝．∴当a＝时，点P，Q之间的距离最短，最短距离是．解法二：连接CD、CG、DG，构造中位线解决，当DG与AD或BG垂直时，取最值．故答案为：．【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构建二次函数解决最值问题．三、解答题：第18，19，20小题6分，第21，22，23小题8分，第24，25小题10分。18．已知：方程（m﹣2）xm+1+3﹣m＝11是关于x的一元一次方程，求：这个方程的解．【分析】利用一元一次方程的定义，可得出关于m的一元一次不等式及一元一次方程，解之可得出m的值，将其代入原方程，解之即可得出结论．解：∵方程（m﹣2）xm+1+3﹣m＝11是关于x的一元一次方程，∴，解得：m＝0，∴原方程为﹣2x+3＝11，解得：x＝﹣4，∴这个方程的解为x＝﹣4．【点评】本题考查了解一元一次方程以及一元一次方程的定义，牢记“只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程”是解题的关键．19．已知：点A，B，C在同一直线上，AB＝5cm，AC＝3cm；求：B、C两点之间的距离．【分析】根据线段的和差，可得答案．解：当C在线段AB的反向延长线上时，BC＝AB+AC＝5+3＝8cm，当C在线段AB上时，BC＝AB﹣AC＝5﹣3＝2cm，综上所述：B、C两点之间的距离是8cm或2cm．【点评】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，要分类讨论，以防遗漏．20．在1到100这100个数中，任找10个不同的数，使其倒数之和等于1．现已有2个数，为2和6，再写出另外的8个数即可．【分析】在平常的解题过程中，经常见到类似于的变形，借助这一特点来求解．解：∵1＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣+＝（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）+＝+，∴这10个数可以是：2、6、10、12、20、30、42、56、72、90（答案不唯一）．【点评】本题考查了倒数，解此题的关键是能够运用类似于的变形．21．有一个正方体，在它的各个面上分别标上数字1、2、3、4、5、6．小明、小刚、小红三人从不同的角度去观察此正方体，观察结果如图所示，问这个正方体各个面上的数字对面各是什么数字？【分析】由图一和图二可看出看出1的相对面是5；再由图二和图三可看出看出3的相对面是6，从而2的相对面是4．解：从3个小立方体上的数可知，与写有数字1的面相邻的面上数字是2，3，4，6，所以数字1面对数字5面，同理，立方体面上数字3对6．故立方体面上数字2对4．【点评】本题考查灵活运用正方体的相对面解答问题，立意新颖，是一道不错的题．解题的关键是按照相邻和所给图形得到其他．22．一天，小红与小莉利用温差测量山峰的高度，小红在山顶测得温度是﹣1℃，小莉此时在山脚测得温度是5℃．已知该地区高度每增加100米，气温大约降低0.8℃，这个山峰的高度大约是多少米？【分析】根据题意，找到等量关系式：山顶温度＝山脚温度﹣山高÷100×0.8．【解答】设这个山峰的高度大约是x米，根据题意得：5﹣×0.8＝﹣1，解得：x＝750．即这个山峰大约是750米；【点评】