2022-2023学年广西大学附中九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年广西大学附中九年级第一学期期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．在，﹣4，0，这四个数中，属于负整数的是（）A． B． C．0 D．﹣42．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成这四个图案中是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．“碧玉妆成一树高，万条垂下绿丝绦”．每到春天，人们流连于柳绿桃红之间的同时也被漫天飞舞的柳絮所烦扰．据测定，柳絮纤维的直径约为0.0000105m，该数值用科学记数法表示为（）A．1.05×105 B．1.05×10﹣5 C．﹣1.05×105 D．105×10﹣74．下列计算正确的是（）A．a3+a3＝a6 B．（3a﹣b）2＝9a2﹣b2 C．a6b÷a2＝a4b D．（﹣ab3）2＝a2b35．如图，△OAB与△OMN是以点O为位似中心的位似图形，若A（2，1），B（3，0），N（9，0），则点M的坐标为（）A．（4，2） B．（6，3） C．（5，3） D．（5，4）6．分式方程﹣＝0的解为（）A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝±1 D．无解7．下列说法正确的是（）A．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S甲2＝3，S乙2＝4，说明乙的跳远成绩比甲稳定 B．了解某市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查 C．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5 D．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生8．我国古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，则所列方程组正确的是（）A． B． C． D．9．将分别标有“最”、“美”、“广”、“西”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字不同外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字可以组成“广西”的概率是（）A． B． C． D．10．在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（）A． B． C． D．11．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．以点A为圆心，BC的长为半径作弧交AB于点D，再分别以点A，D为圆心，以AB，AC的长为半径作弧交于点E，连接AE，DE，若点F为AE的中点，则DF的长为（）A．4 B．5 C．6 D．812．如图，四边形OABF中，∠OAB＝∠B＝90°，点A在x轴上，双曲线y＝过点F，交AB于点E，连接EF．若，S△BEF＝4，则k的值为（）A．6 B．8 C．12 D．16二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）13．＝．14．分解因式：3a2﹣27＝．15．若一个圆锥的母线长为5cm，它的侧面展开图的圆心角为120°，则这个圆锥的底面半径为cm．16．如图所示，在一幅长50cm、宽30cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图如图所示，如果要使整个矩形挂图的面积是3036cm2，则金色纸边的宽为cm．17．定义：对于一个数x，我们把[x]称作x的相伴数；若x≥0，则[x]＝x﹣1；若x＜0，则[x]＝x+1．例＝，[﹣2]＝﹣1；已知当a＞0，b＜0时有[a]＝[b]+1，则代数式（b﹣a）3﹣3a+3b的值为．18．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝12，点D为BC边上的中点，将△ACD沿AD对折，使点C落在同一平面内的点C'处，连接BC'，则BC'的长为．三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．计算：﹣12﹣6÷（﹣2）×|﹣|．20．解不等式5x﹣1≤3（x+1），并把解集在数轴上表示出来．21．在由单位正方形（每个小正方形边长都为1）组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上．（1）把△AOB向左平移4个单位，再向上平移2个单位得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1，并写出点A1的坐标；（2）请画出△AOB关于x轴对称的△A2OB2，并求出△A2OB2的面积．22．某校为了了解初一年级共840名同学对禁毒知识的掌握情况，对他们进行了禁毒知识测试．现随机抽取甲、乙两班各15名同学的测试成绩（满分100分）进行整理分析，过程如下：【收集数据】甲班15名学生测试成绩分别为：78，83，85，87，89，90，92，93，94，96，97，98，99，100，100乙班15名学生测试成绩中90≤x＜95的成绩如下：90，91，92，93，94【整理数据】班级75≤x＜8080≤x＜8585≤x＜9090≤x＜9595≤x≤100甲113m6乙1235n【分析数据】班级平均数90分及其以上甲ab乙90c（1）根据以上信息，填空：m＝，n＝，b＝，c＝；（2）若规定测试成绩90分及其以上为优秀，请估计参加禁毒知识测试的840名学生中成绩为优秀的学生共有多少人？（3）根据以上数据，你认为哪个班的学生禁毒知识测试的整体成绩较好？请说明理由（一条理由即可）．23．如图是某小区入口的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM＝60°．（1）求点M到地面的距离；（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：≈1.73，结果精确到0.1米）24．我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF，则EF＝BE+DF，试说明理由．（1）思路梳理∵AB＝AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．∵∠ADC＝∠B＝90°，∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线．根据，易证△AFE≌，得EF＝BE+DF．（2）类比引申如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系时，仍有EF＝BE+DF．（3）联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．25．如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心、OC为半径的⊙O与边AB相切于点D，且AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE并延长，交AB于点F．（1）求证：AC是⊙O切线；（2）若AC＝8，sin∠CAB＝，求⊙O半径；（3）在（2）的条件下，若F是AB中点，求CE的长．26．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2经过点A（x1，y1），C（x2，y2），其中x1，x2是方程x2﹣2x﹣8＝0的两点，且x1＜x2，过点A的直线l与抛物线只有一个公共点．（1）求A，C两点的坐标：（2）求直线的解析式；（3）如图2，点B是线段AC（端点除外）上的动点，若过点B作轴的平行线BE与直线l相交于点E，与抛物线相交于点D，求的值．

参考答案一、选择题（每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．在，﹣4，0，这四个数中，属于负整数的是（）A． B． C．0 D．﹣4【分析】根据实数分类的相关概念，可辨别此题结果．解：∵﹣，都是分数，∴选项A，B不符合题意；∵0既不是正数，也不是负数，∴选项C不符合题意；∵﹣4是负整数，∴选项D符合题意，故选：D．【点评】此题考查了利用实数概念解决问题的能力，关键是能准确理解相关知识并进行正确辨别．2．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成这四个图案中是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．解：A．不是中心对称图形；B．是中心对称图形；C．不是中心对称图形；D．不是中心对称图形；故选：B．【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．3．“碧玉妆成一树高，万条垂下绿丝绦”．每到春天，人们流连于柳绿桃红之间的同时也被漫天飞舞的柳絮所烦扰．据测定，柳絮纤维的直径约为0.0000105m，该数值用科学记数法表示为（）A．1.05×105 B．1.05×10﹣5 C．﹣1.05×105 D．105×10﹣7【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解：0.0000105m用科学记数法表示为1.05×10﹣5．故选：B．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．4．下列计算正确的是（）A．a3+a3＝a6 B．（3a﹣b）2＝9a2﹣b2 C．a6b÷a2＝a4b D．（﹣ab3）2＝a2b3【分析】直接利用合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方运算法则、整式的除法运算法则分别判断得出答案．解：A．a3+a3＝2a3，故此选项不合题意；B．（3a﹣b）2＝9a2﹣6ab+b2，故此选项不合题意；C．a6b÷a2＝a4b，故此选项符合题意；D．（﹣ab3）2＝a2b6，故此选项不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了用合并同类项、完全平方公式、积的乘方运算、整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．5．如图，△OAB与△OMN是以点O为位似中心的位似图形，若A（2，1），B（3，0），N（9，0），则点M的坐标为（）A．（4，2） B．（6，3） C．（5，3） D．（5，4）【分析】根据位似变换的性质得到△OMN∽△OAB，相似比为1：3，进而求出点M的坐标．解：∵△OMN与△OAB是以点O为位似中心的位似图形，B（3，0），N（9，0），∴△OMN∽△OAB，相似比为1：3，∵A（2，1），∴点M的坐标为（6，3），故选：B．【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，求出△OMN与△OAB的相似比为1：3是解题的关键．6．分式方程﹣＝0的解为（）A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝±1 D．无解【分析】根据分式方程的解法直接可以求解，但是要注意检验根的情况．解：﹣＝0方程两边同时乘以x﹣1，得x2﹣1＝0，∴x＝1或x＝﹣1，经检验x＝1是方程的增根，∴方程的解为x＝﹣1，故选：A．【点评】本题考查分式方程的解法；熟练掌握分式方程的解法，避免遗漏验根的过程是解题的关键．7．下列说法正确的是（）A．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S甲2＝3，S乙2＝4，说明乙的跳远成绩比甲稳定 B．了解某市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查 C．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5 D．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生【分析】根据方差、中位数、众数、概率的意义以及全面调查与抽样调查分别对每一项进行分想，即可得出答案．解：A、甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S甲2＝3，S乙2＝4，说明甲的跳远成绩比乙稳定，故本选项错误，不符合题意；B、了解某市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合抽样调查，故本选项错误，不符合题意；C、一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是＝2.5，故本选项正确，符合题意；D、可能性是1%的事件在一次试验中也可能发生，只是发生的可能性很小，故本选项错误，不符合题意；故选：C．【点评】此题考查了方差、中位数、众数、概率的意义以及全面调查与抽样调查，熟记定义与公式是解题的关键．8．我国古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，则所列方程组正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据“若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．解：依题意得：．故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．9．将分别标有“最”、“美”、“广”、“西”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字不同外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字可以组成“广西”的概率是（）A． B． C． D．【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字可以组成“广西”的结果有2种，再由概率公式求解即可．解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字可以组成“广西”的结果有2种，∴两次摸出的球上的汉字可以组成“广西”的概率为＝，故选：A．【点评】本题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件．解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．10．在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】本题可先由一次函数y＝ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+bx的图象相比是否一致，还要判断两个函数与x轴是否有公共点．解：A、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不符合题意；B、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选项不符合题意；C、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，但一次函数y＝ax+b的图象与x轴的交点为（﹣，0），二次函数y＝ax2+bx的图象与x轴的交点为原点和点（﹣，0），两个图象交x轴同一点，C不可能，故本选项不符合题意；D、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＞0，且一次函数y＝ax+b的图象与x轴的交点为（﹣，0），二次函数y＝ax2+bx的图象与x轴的交点为原点和点（﹣，0），两个图象交x轴同一点，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来判定这种数形结合题是一种很好的方法11．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．以点A为圆心，BC的长为半径作弧交AB于点D，再分别以点A，D为圆心，以AB，AC的长为半径作弧交于点E，连接AE，DE，若点F为AE的中点，则DF的长为（）A．4 B．5 C．6 D．8【分析】根据全等三角形的性质得到∠ADE＝∠BCA＝90°，AE＝AC，根据勾股定理即可得到结论．解：根据作图知，AD＝BC，AE＝AB，DE＝AC，∴△ADE≌△BCA（SSS），∴∠ADE＝∠BCA＝90°，AE＝AC，∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∴AE＝AB＝10，∵点F为AE的中点，∴DF＝AE＝5，故选：B．【点评】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．12．如图，四边形OABF中，∠OAB＝∠B＝90°，点A在x轴上，双曲线y＝过点F，交AB于点E，连接EF．若，S△BEF＝4，则k的值为（）A．6 B．8 C．12 D．16【分析】由于，可以设F（m，n）则OA＝3m，BF＝2m，由于S△BEF＝4，则BE＝，然后即可求出E（3m，n﹣），依据mn＝3m（n﹣）可求mn＝6，即求出k的值．解：如图，过F作FC⊥OA于C，∵，∴OA＝3OC，BF＝2OC∴若设F（m，n）则OA＝3m，BF＝2m∵S△BEF＝4∴BE＝则E（3m，n﹣）∵E在双曲线y＝上∴mn＝3m（n﹣）∴mn＝6即k＝6．故选：A．【点评】此题主要考查了反比例函数的图象和性质、用坐标表示线段长和三角形面积，表示出E点坐标是解题关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）13．＝．【分析】先把的分子分母都乘以2得到解＝，再利用二次根式的除法法则得到，然后利用二次根式的性质化简即可．解：＝＝＝．故答案为．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：＝|a|．也考查了二次根式的除法．14．分解因式：3a2﹣27＝3（a+3）（a﹣3）．【分析】先提取公因式，再利用平方差公式．解：3a2﹣27＝3（a2﹣9）＝3（a+3）（a﹣3）．故答案为：3（a+3）（a﹣3）．【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和公式法是解决本题的关键．15．若一个圆锥的母线长为5cm，它的侧面展开图的圆心角为120°，则这个圆锥的底面半径为cm．【分析】先求出圆锥侧面展开图扇形的弧长，再利用侧面展开图与底面圆的关系的关系列方程即可求出圆锥的底面半径．解：圆锥侧面展开图扇形的弧长为：＝，设圆锥的底面半径为r，则2πr＝，∴r＝cm．故答案为：．【点评】本题主要考查圆锥的计算，掌握侧面展开图与底面圆的关系是解题关键．16．如图所示，在一幅长50cm、宽30cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图如图所示，如果要使整个矩形挂图的面积是3036cm2，则金色纸边的宽为8cm．【分析】挂图的长为（50+2x）cm，宽为（30+2x）cm，根据面积公式可得方程，求解即可．解：设金色纸边的宽为xcm，（50+2x）（30+2x）＝3036，整理得：4x2+160x﹣1536＝0．解得x1＝8，x2＝﹣48（舍）．答：金色纸边的宽度为8cm．故答案为：8．【点评】本题侧重考查一元二次方程的应用，关键是找到等量关系．17．定义：对于一个数x，我们把[x]称作x的相伴数；若x≥0，则[x]＝x﹣1；若x＜0，则[x]＝x+1．例＝，[﹣2]＝﹣1；已知当a＞0，b＜0时有[a]＝[b]+1，则代数式（b﹣a）3﹣3a+3b的值为﹣36．【分析】根据定义的新运算可得a﹣1＝b+1+1，从而可得a﹣b＝3，然后利用整体的思想进行计算即可解答．解：当a＞0，b＜0时，[a]＝[b]+1，∴a﹣1＝b+1+1，∴a﹣b＝3，∴（b﹣a）3﹣3a+3b＝﹣（a﹣b）3﹣3（a﹣b）＝﹣33﹣3×3＝﹣27﹣9＝﹣36，故答案为：﹣36．【点评】本题考查了代数式求值，熟练掌握求代数式值中的整体思想是解题的关键．18．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝12，点D为BC边上的中点，将△ACD沿AD对折，使点C落在同一平面内的点C'处，连接BC'，则BC'的长为．【分析】由折叠的性质可得AD⊥CC'，CN＝C'N，由勾股定理可求AD，DN的长，即可求BC'的长．解：如图，连接CC'，∵将△ACD沿AD对折，使点C落在同一平面内的点C'处，∴AD⊥CC'，CN＝C'N，∵点D为BC边上的中点，∴CD＝BC＝6∴AD＝＝10∵S△ACD＝×AC×CD＝×AD×CN∴CN＝4.8∴DN＝＝∵CN＝C'N，CD＝DB∴C'B＝2DN＝故答案为：【点评】本题考查翻折变换，勾股定理，三角形中位线定理，利用勾股定理可求DN的长是本题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．计算：﹣12﹣6÷（﹣2）×|﹣|．【分析】先算乘方和绝对值，再算乘除，最后算加减．解：原式＝﹣1﹣（﹣3）×＝﹣1+1＝0．【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算顺序是解决本题的关键．20．解不等式5x﹣1≤3（x+1），并把解集在数轴上表示出来．【分析】先移项，再合并同类项，把x的系数化为1，把不等式的解集在数轴上表示出来即可．解：去括号得，5x﹣1≤3x+3，移项得，5x﹣3x≤3+1，合并同类项得，2x≤4，x的系数化为1得，x≤2．在数轴上表示为：．【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．21．在由单位正方形（每个小正方形边长都为1）组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上．（1）把△AOB向左平移4个单位，再向上平移2个单位得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1，并写出点A1的坐标；（2）请画出△AOB关于x轴对称的△A2OB2，并求出△A2OB2的面积．【分析】（1）根据平移的性质作图，由图可得点A1的坐标．（2）根据轴对称的性质作图，利用割补法求三角形的面积即可．解：（1）如图，△A1O1B1即为所求．点A1的坐标为（﹣3，5）．（2）如图，△A2OB2即为所求．△A2OB2的面积为3×3﹣﹣﹣＝．【点评】本题考查作图﹣平移变换、轴对称变换，熟练掌握平移和轴对称的性质是解答本题的关键．22．某校为了了解初一年级共840名同学对禁毒知识的掌握情况，对他们进行了禁毒知识测试．现随机抽取甲、乙两班各15名同学的测试成绩（满分100分）进行整理分析，过程如下：【收集数据】甲班15名学生测试成绩分别为：78，83，85，87，89，90，92，93，94，96，97，98，99，100，100乙班15名学生测试成绩中90≤x＜95的成绩如下：90，91，92，93，94【整理数据】班级75≤x＜8080≤x＜8585≤x＜9090≤x＜9595≤x≤100甲113m6乙1235n【分析数据】班级平均数90分及其以上甲ab乙90c（1）根据以上信息，填空：m＝4，n＝4，b＝10，c＝9；（2）若规定测试成绩90分及其以上为优秀，请估计参加禁毒知识测试的840名学生中成绩为优秀的学生共有多少人？（3）根据以上数据，你认为哪个班的学生禁毒知识测试的整体成绩较好？请说明理由（一条理由即可）．【分析】（1）根据题意求解可得；（2）用总人数乘以乙班样本中优秀人数所占比例可得；（3）比较甲、乙两班的方差，再根据方差的意义即可得出答案．解：（1）m＝4；n＝4；b＝10；c＝9；（2）根据题意得：840×＝532（人）．答：840名学生中成绩为优秀的学生共有532人；（3）a＝92，a＞90，甲班的平均数大于乙班平均数．答：从平均分来看，甲班的整体成绩较好．【点评】本题考查了频数（率）分布表，掌握平均数求法是关键．23．如图是某小区入口的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM＝60°．（1）求点M到地面的距离；（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：≈1.73，结果精确到0.1米）【分析】（1）构建直角△OMN，求ON的长，相加可得BN的长，即点M到地面的距离；（2）左边根据要求留0.65米的安全距离，即取CE＝0.65，车宽EH＝2.55，计算高GH的长即可，与3.5作比较，可得结论．解：（1）如图，过M作MN⊥AB于N，交BA的延长线于N，Rt△OMN中，∠NOM＝60°，OM＝1.2，∴∠M＝30°，∴ON＝OM＝0.6，∴NB＝ON+OB＝3.3+0.6＝3.9（米）；即点M到地面的距离是3.9米；（2）取CE＝0.65，EH＝2.55，∴HB＝3.9﹣2.55﹣0.65＝0.7，过H作GH⊥BC，交OM于G，过O作OP⊥GH于P，∵∠GOP＝30°，∴tan30°＝＝，∴GP＝OP＝≈0.404，∴GH＝3.3+0.404＝3.704≈3.70＞3.5，∴货车能安全通过．【点评】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，在直角三角形解决问题．24．我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF，则EF＝BE+DF，试说明理由．（1）思路梳理∵AB＝AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．∵∠ADC＝∠B＝90°，∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线．根据SAS，易证△AFE≌△AFG，得EF＝BE+DF．（2）类比引申如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系∠B+∠ADC＝180°时，仍有EF＝BE+DF．（3）联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．【分析】（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质得出EF＝FG，即可得出答案；（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFE≌△AFG，根据全等三角形的性质得出EF＝FG，即可得出答案；（3）把△ACE旋转到△ABF的位置，连接DF，证明△AFE≌△AFG（SAS），则EF＝FG，∠C＝∠ABF＝45°，△BDF是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断．解：（1）思路梳理∵AB＝AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图1，∵∠ADC＝∠B＝90°，∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线，则∠DAG＝∠BAE，AE＝AG，BE＝DG，∠FAG＝∠FAD+∠GAD＝∠FAD+∠BAE＝90°﹣45°＝45°＝∠EAF，即∠EAF＝∠FAG，在△EAF和△GAF中，，∴△AFG≌△AFE（SAS），∴EF＝FG＝DG+DF＝BE+DF；故答案为：SAS；△AFG；（2）类比引申∠B+∠ADC＝180°时，EF＝BE+DF；理由如下：∵AB＝AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图2所示：∴∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠EAF＝∠FAG，∵∠ADC+∠B＝180°，∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线，在△AFE和△AFG中，，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF，∴EF＝BE+DF，故答案为：∠B+∠ADC＝180°；（3）联想拓展猜想：DE2＝BD2+EC2．理由如下：把△ACE绕点A逆时针旋转90°到△ABF的位置，连接DF，如图3所示：则△ABF≌△ACE，∠FAE＝90°，∴∠FAB＝∠CAE．BF＝CE，∠ABF＝∠C，∴∠FAE＝∠BAC＝90°，∵∠DAE＝45°，∴∠FAD＝90°﹣45°＝45°，∴∠FAD＝∠DAE＝45°，在△ADF和△ADE中，，∴△ADF≌△ADE（SAS），∴DF＝DE，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝45°，∴∠C＝∠ABF＝45°，∴∠DBF＝∠ABF+∠ABC＝90°，∴△BDF是直角三角形，∴BD2+BF2＝DF2，∴BD2+EC2＝DE2．【点评】本题是四边形综合题目，考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性比较强，能正确作出辅助线得出全等三角形是解题的关键．25．如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心、OC为半径的⊙O与边AB相切于点D，且AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE并延长，交AB于点F．（1）求证：AC是⊙O切线；（2）若AC＝8，sin∠CAB＝，求⊙O半径；（3）在（2）的条件下，若F是AB中点，求CE的长．【分析】（1）连OD，证明△AOC≌△AOD（SSS），由全等三角形的性质得出∠ACO＝∠ADO，由切线的性质得出∠ADO＝90°，则可得出∠ACO＝90°，可得出结论；（2）设BC＝3x，则AB＝5x，由勾股定理得出82+（3x）2＝（5x）2，解方程求出x＝2，得出BC＝6，设OD＝a，则OB＝6﹣a，得出，求出a则可求出答案；（3）由直角三角形的性质得出AF＝CF＝BF，得出∠FCB＝∠FBC，证明△OCE∽△FCB，由相似三角形的性质得出，则可得出结论．【解答】（1）证明：连OD，在△AOC和△AOD中，，∴△AOC≌△AOD（SSS），∴∠ACO＝∠ADO，∵AB与⊙O相切，∴OD⊥AB，∴∠ADO＝90°，∴∠ACO＝90°，∴OC⊥AC，∵OC为半径，∴AC是⊙