概率论与数理统计公式

第1 随机及其概组合Pn 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数 (mCn 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数 n!(m加法原理（两种方法均能完成此事）m（2）某件事由两种方法来完成，第法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）m某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由种方法来完成，则这件事可由m×n种方法来完成顺序问（4）如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机在一个试验下，件有多少个，总可以从其中找出这样一组，它具如下性质①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个（5）基②任何，都是由这一组中的部分组成的 基本的全体，称为试验的样本空间，用表示。一 就是由 中的部分点（基 ）组成的集合。通常用大写字表示，它们是的子集为必然，Ø为不可能不可能（Ø）的概率为零，而概率为零的不一定是不可能；同理必然（Ω）的概率为1，而概率为1的也不一定是必然（6）①关系如果A的组成部分也是B的组成部分，（A发生必有B发生A如果同时有AB，BA，则称 属于A而不属于B的部分所构成的，称为A与B的差，记为B，也表示为AB或者AB，它表示A发生而B不发生的B同时发生：AB。AB=ØAB称A与B互不相容或者互斥。基本是互不相容的。-A称为A的逆 ，或称A的对立，记为A。它表示A不发生②运算结合率：A(BC)=(AB)C分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)( Ai 德摩根率： ABAB，ABA（7）设为样本空间，A为，对每一个A都有一个实数P(A)，若满1°2°P(Ω) PAiP( 常称为可列（完全）则称P(A)为A的概率12P(1P(2P(n n A，它是由1,2m组成的，则mA所包含的基 基 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一A， （10）加P(A+B)=P(A)+P(B)-当P(AB)＝0P(A-B)=P(A)-当BA时，P(A-B)=P(A)-A=Ω时，P(B)=1P(定义设A、B是两个，且P(A)>0，则称 为A发生条件下，P(P(件B发生的条件概率，记为P(B/A) P(条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。P(Ω/B)=1P(B/A)=-(/)乘法：P(AB)P(A)P(B/更一般地，对A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，则P(A1A2…An)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)……P(An|A1A2An1①两个的独立 A、B满足P(AB)P(A)P(B)，则称 A、B是相互独立的。 A、B相互独立，且P(A)0，则有P(B|A)P(AB)P(A)P(B)P( P(若A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独必然 和不可能Ø与任何都相互独立。 ②多个的独立设ABC是三个，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独对于n个类似设B1,B2,,Bn满1°B1B2,BnP(Bi)0(i1,2,nnA 则PA)P(B1)PA|B1)P(B2)PA|B2)P(Bn)PA|Bn)nA P(A) 则P(B/A) P(Bi)PABi ，i=1，2，…n P(Bj)P(A/Bjj此即为贝叶斯（（ ， 反映了“因果”的概率规律，并作出“由果朔因（17）伯我们作了n次试验，且满每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验nAk(0knkPn(k)Cpkqn k0,1,2,, 第二 量及其分型随机变量的分布设离散型 量X的可能取值为X(k=1,2,…)且取各个值的概率，即k |x1,x2,,xkPXxk p1p2,pk,显然分布律应满足下列条件pk k（1）k0 ，（2）k 型随机变量的分布 xF(x)f(x)dx则称X为连续型随 量。f(x)称为X的概率密度函数或密度函数，简称概 f(x)02°f(x)dx1与连续型随机变量P(Xx)P(xXxdx)f积分元f(x)dx在连续型随 量理论中所起的作用与P(Xxk)pk在离设X为随量，x是任意实数，则函F(x)P(X称为随量X的分布函数，本质上是一个累积函数P(aXb)F(bF 可以得X落入区间(ab]的概率函数F(x)表示随量落入区间（–∞，x]内的概率。1°0F(x) x F(xx1x2时，有F(x1F(x23°F()limF(x)0，F()limF(x) F(x0)F(xF(x5°P(Xx)F(x)F(x0)。 量，F(x)pk；xkx 量，F(x)f(x)dx0-1分P(X=1)=p,二项分在n重贝努里试验中，设A发生的概率为p。A发P(Xk)Pn(k)Ckpk nq1p,0p1,k0,1,2,,n则称随量X服从参数为n，p的二项分布。记X~B(n,pn1PXkpkq1kk0.1，这就是（0-1）分泊松分 P(Xk) ，0，k0,1,2则称随量X服从参数为的泊松分布，记为X~()或P()。泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞超几何分CkCnk k0,1,2,lP(Xk) MCnNM,min(M,n)lN随量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)几何分PXkqk1pk1,2,3,p≥0，q=1-p。随量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。均匀分 量X的值只落在[a，b]内，其密度函数f(x)在1上为常数 ，即b f(x)b xab xF(x)f(x)dx x>b当a≤xx≤b时，X落在区间（x1,x2）内的概率 P(xXxx2x1 b指数分 x0f(x) x0其中0，则称 1ex x0F(x) x<0记住积分xnexdx0正态分2 (f(x) 22，x 其中、0为常数，则称 量X服从参数为f(x 2°当x时，f() 为最大值X~ 2 F(x) e22 参数0、1时的正态分布称为标准正态分布，记(0,1)，其 e ，x分布函数2 x(x)2e2dt 是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用1Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝2X如果X~N(,2)， ~N(0,1)。x xP(xXx) 已知X的分布列 x1,x2,,xn,，P(Xxi)p1,p2,,pn,YgX的分布列（yig(xi互不相等） g(x1),g(x2),,g(xn),，P(Yyi pn 若有某g(xi)相等，则应将对应的pig(xi)的概率先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)＝P(g(X)≤y)，再利用变上下限积分的求导求出fY(y)。YXYX……………………第三章二维随量及其分（x,y，则称设=（X，Y）的所有可能取值为(xi,yj)(i,j1,2,)， {=(xi,yj)}的概率为pij,,称P{(X,Y)(xi,yj)}pij(i,j1,2,为=（X，Y）XYpij具有下面两个性（1）≥0（i,j=1,2,…；（2）pij XY)f(xy)(x,y，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}有P{(X,Y)D}f(x,D密度或称为X和Y的联合分布密度。分布密度f(x,y)具有下面两个性质（1）（2）f(x,y)dxdy(Xx,Yy)(XxY设（X，Y）为二维随量，对于任意实 x,y,二元函F(x,y)P{Xx,Y称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随量X和Y的联合分布函{(1,2|X(1x,Y(2y的概率为函数值的一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：（1）0F(x,y)（2）F（x,y）分别对x和y当x2>x1时，有F（x2,y）≥F(x1,y);当y2>y1时，有F(x,y2)（3）F（x,y）分别对x和yF(x,y)F(x0,y),F(x,y)F(x,y（4）F(,)F(,y)F(x,)0,F(,)（5）x1x2，y1F(x2，y2)F(x2，y1)F(x1，y2)F(x1，y1)0型的关P(Xx，Yy)P(xXxdx，yYydy)fPiP(Xxi)pij(i,j1,2,)jPjP(Yyjpij(i,j1,2,ifX(x)f(x,fY(y)f(x,在已知的条件下，Y取值的条件分布P(Yyj|Xxi)在已知的条件下，X取值的条件分布P(Xx|Yy)pij j在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度f(x|y)f(x,y)fY(在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度f(y|x)f(x,fXpijpip有零不独直接判断，充要条件①可分离变②正概率密度区间为矩二维正态分 x22(x)(y)y2 1 2 2 f(x,y) e2(1)1 1 2 1 随量的特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立。例如：若XY独立，则：3X+15Y-2独立。f(x,y)(x,y)他U（D2Ob设随机向量（X，Y）的分布密度函数 x22(x)(y)y2 1 2 2f(x,y) e2(12)1 2 1 记为（X，Y）～N（,2,2 2, 由边缘密度的计算，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，X～N（,2Y~N(2 2,但是若X～N（,2)Y~N(2)，(X，Y)未必是二维正态分布 2,FZ(zP(ZzPXY对于连续型，fZ(z)＝f(xz两个独立的正态分布的和仍为正态分布（,22 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正C，2Ci 若X1X2XnFx(x)，Fx(x)Fx(xZ=max,min(X1,X2,…Xn) 函数为Fmax(x)Fx(x)Fx(x)Fx Fmin(x)1[1Fx(x)][1Fx(x)][1Fx nWXi的分布密度 un1eu u f(u)22n 2 u n n x2ex2 所谓自由度是指独立正态随量的个数，它是随量2分布满足可加性Yi(n2i则kZY~2(nnn it设X，Y是两个相互独立的随量，X~N(0,1),Y~2可以证明函T Y/的概率密度 t2f(t) (t n2我们称随量T服从自由度为n的t分布，记为T～t(n)t1(n)FX~2(n)Y~2(n)XY独立，可以证明 FXn1Y/ n1 n 11 f(y) y y ,yn1n2n2 22 0,y我们称随量F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为FF～f(n1 (n,n) F(n,n) 第四 量的数字特—维期设X是离散型随量，其分布律为P(Xxk)＝pk，nE(X)xkk（要求绝对收敛度为f(x)，E(X)xf（要求绝对收敛随机期望就是平均变量的数字特征函数的期nE(Y)g(xk)kE(Y)g(x)f方D(X)=E[X-D(X)[xE(X)]2 kD(X)[xE(X)]2f(X)D(X)矩①对于正整数k，称随量的k次幂的数学期望为X阶原点矩，记为vk,即νk=E(Xxp, ik=1,2,E（X）差k幂的数学期E(XE(X))k. (xE(X))k ik=1,2,①对于正整数k，称随量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即 ν xkfk=1,2,②对于正整数k，称随量XE（X）差的k次幂的数学期望为k阶中心矩，记为k，E(XE(X))k.=(xE(X))kfk=1,2,切比雪夫不等设随量X具有数学期望E（X）=μ，方差D（X）=σ2，则对于任P(X)切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概P(X的一种估计，它在理论上有重要意义 E(X+Y)=E(X)+E(Y)，E(CiXi)CiE(Xi E(XY)=E(X)E(Y)，充分条件：X和Y独立充要条件：X和Y不相关（1）D(aX)=a2D(X)；D(aX+b)=a2D(X)；D(X)=E(X2)-D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和Y独立充要条件：X和Y不相关。而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立期方0-1B(1,pp(1np(1泊松分布几何分布G(1pp2超几何分布H(n,M,NnM MNn 1 N NN1均匀分布U(a,a2(b指数分布112分nt分0n n期nE(X)xiinE(Y)yjpjE(X)xfXE(Y)yfY(函数的期E[G(X,Y)]G(xi,yj) E[G(X,Y)]G(x,y)f(x,－方D(X)[xE(X)]2 iD(Y)[xE(Y)]2 jD(X)[xE(X)]2fXD(Y)[yE(Y)]2f(Y对于 量X与Y，称它们的二阶混合中心矩为X与Y的协1差或相关矩，记为XY或cov(X,Y)，XY11E[(XE(X))(YE(Y与记号XY相对应，X与YD（X）D（Y）也可分别记为与YY相关系对于随量X与Y，如果D（X）>0,D(Y)>0，则D(X)D(Y为XY的相关系数，记作XY（有时可简记为正相关，当1时(a完全相关负相关，当1时(a而当0XY①XY0⑤D(X-协方差矩 XY 对于随量X与Y，如果有E(XkYl)存在，则称之为X与Y阶混合原点矩，记为kl；k+l阶混合中心矩记uklE[(XE(X))k(YE(Y))l性cov(X,Y)=cov(Y,cov(aX,bY)=abcov(X1+X2,cov(X,Y)=E(XY)-若 量X与Y相互独立，则XY0；反之不真若（X，Y）～N（,,2,2 XY相互独立的充要条件是XY不相关相第五 大数定律和中心极限定（1）大数定设随量X1，X2，…相互独立，均具有有限方差，且被同一limP1nX1nE(X) n ni ni limP1nX n ni X设μ是n次独立试验中A发生的次数，p是A在lim P 伯努利大数定律说明，当试验次数n很大时，A发生 pP 这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性律设X1，X2，…，Xn，…是相互独立同分布的随量序列，且（Xn）=μ，则对于任意的正数εlimP1nX n iXN(,2n设随量X1，X2，…相互独立，服从同一分布，且具有 E(X),D(X)20(k1,2,)，则随 nXkYnk 1x2 x2e2 此定理也称为独立同分布的中心极限定理设随量Xn为具有参数n,p(0<p<1)的二项分布，则对于任意实数x,有X x2lim x e2 np(1 2（3）二项定N时Mp(nk不变NCkCnMNMCkpk(1 (N N超几何分布的极限分布为二项分布（4）泊松定n时np0， Cnp(1 (n其中k=0，1，2，…，n，…。第六章样本及抽样分布（1）数理总在数理统计中，常把被对象的某一个（或多个）指标的体称为总体（或。我们总是把总体看成一个具有分布的随总体中的每一个单元称为样品（或样x1x2,xn称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。在一般情况下，n果时，x1,x2,,xn表示n个随量（样本；在具体的一x1x2,xnn个具体的数值（样本值。我们样本函数和x1x2,xn为总体的一个样本 （x1,x2,,xn为样本函数，其中 续函数。如果中不包含任何知参数，则称（x1x2,,xn）为一个统计量常见统计量1样本均 x xini样本方 S2 (xix)2ni S (xx)2n1 k阶原点1 xk,k ik阶中心1M (xx)k,k E(X)，D(X) 2nE(S2)2，E(S*2)n12n1S*2nXiX2（2）正态正态分xx,xN(,2 defx n~Ntx1x2,,xn为来自正态总体N(,)的一个样2defx ~t(n1),s 其中t(n-1)表示自由度为n-1t分布2分x1x2,,xn为来自正态总体N(,)的一个样2def(n1)S (n其中2(n1表示自由度为n-1的2Fxx,x为来自正态总体N(,2 yy,yN(,2 函FdefS2 ~F(n1,n 2S2 其 S1n1(xix) S2n1(yiy) F(n11,n21)表示第一自由度为n11n21F（3）正XS2第七 参数估设总X的分布中包含有未知数1,2,,m，则其分布函数可以表F(x;,,)kvEXk)(k1,2,m )x1x2,,xn为总体Xn个样本值，其样本的k阶原点矩1xk(k1,2,, i这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有 1 1 1v(,,,) xm 由上面的m个方程中，解出的m个未(1,2,,m)即为参若为的矩估计，g(x)为连续函数，则g(ˆg(的矩估计(x;1,2,,m)1,2,,mx1,x2,,xn为总体的一个样本，称n为样本的似然函数，简记为Xn为样本的似然 若似然函数L(x1x2,xn;1,2,,m)在1,2,,m处 到最大值，则称1,2,,m分别为1,2,,m的最大似然估计值，ln 0,i1,2,, i若为的极大似g(x)为单调函数，则g(ˆg(的极似然估计计量的评选标 设(x1x2,,xn)为未知参数的估计量。若E（）=，则为的无偏估）=E（X， 设11(x1x2,xn和22(x1x2,xn是未知参数 的两个无偏估计量。若D(1)D(2，则称1比2有效设n是的一串估计量，如果对于任意的正数n则称n为的一致估计量（或相合估计量 若为的无偏估计，且D(ˆ)0(n),则为的一只要总体的E(X)和D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应设总体X含有一个待估的未知参数如果我们从样本x1,x,2,,xn出发，找出两个统计量11(x1,x,2,,xn 22(x1x2,xn (12)[1,2]1(0