高中数学第2章平面向量25向量应用讲义苏教版必修4苏教版高一必修4数学教案

2.5向量的应用学习目标核心修养(教师独具)会用向量方法解决简单的物理问题及其他的一些实质问题

.

经过学习本节内容提高学生的数学建模和2.会用向量方法解决某些简单的几何问

数学运算核心修养

.题．(要点、难点

)向量的应用用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”向量在物理中的应用①速度、加快度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求解经常用向量乞降的平行四边形法例和三角形法例．②物理上力做功的实质是力在物体行进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数目积．向量在平面分析几何中的应用向量在分析几何中的应用主要表此刻两个方面：一是作为题设条件；二是作为解决问题的工具使用，充分表现了几何问题代数化的思想，是高考考察的热门之一．解决此类问题的思路是转变为代数运算，其转变门路主要有两种：一是向量平行或垂直的坐标表示；二是向量数目积的公式和性质．1．思虑辨析→→(1)若△ABC是直角三角形，则有AB·BC＝0.()(2)→→平行．( )若∥，则直线与ABCDABCD(3)在物体的运动过程中，力越大，做功越多．( )→→

→→[分析]

(1)可能AC·CB＝0或BA·AC＝0，故错误．→→AB∥CD，AB，CD亦可能在一条直线上，故错误．(3)W＝F·s＝|F|·|s|cos

θ，故错误．[答案]

(1)×

(2)×

(3)×→→2．已知△

ACB，AB＝a，AC＝b，且

a·b＜0，则△

ABC的形状为

(

)A．钝角三角形

B．直角三角形C．锐角三角形

D．不可以确立[答案]

A3．已知F＝(2,3)作用一物体，使物体从A(2,0)挪动到B(4,0)，则力F对物体作的功为________．[答案]4向量在物理中的应用【例1】如下图，在重300N的物体上拴两根绳索，这两根绳子在铅垂线的双侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，求当整个系统处于均衡状态时，两根绳索拉力的大小．思路点拨：解决此题的要点是把力的问题转变为向量问题解决，注意力的合成能够用平行四边形法例，也可用三角形法例．[解]如图，作平行四边形OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°.→→3→→1|OA|＝|OC|cos30°＝300×2＝1503(N)，|OB|＝|OC|sin30°＝2300＝150(N)．故与铅垂线成30°角的绳索的拉力是1503N，与铅垂线成60°角的绳索的拉力是150N.1．解力向量题时，依照题意对物体进行受力剖析，经过向量加法的平行四边形法例对力进行分解和合成．2．解题时要明确各个力之间的关系及它们各自在题目中的地位，借助于图形，将物理量之间的关系抽象为数学模型．1．已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)挪动到点B(7,0)．求F1，F2分别对证点所做的功；求F1，F2的协力F对证点所做的功．→[解](1)AB＝(－13，－15)，→·(－13，－15)W＝F·AB＝(3,4)113×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，→W2＝F2·AB＝(6，－5)·(－13，－15)6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．∴力F1，F2对证点所做的功分别为－99J

和－

3J.→→W＝F·AB＝(F1＋F2)·AB＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)(9，－1)·(－13，－15)9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(J)．∴协力F对证点所做的功为－向量在平面几何中的应用

102J.【例

2】

如下图，在正方形

ABCD中，E，F分别是

AB，BC的中点，求证：

AF⊥DE.→→思路点拨：法一：选用基底，并证明DE·AF＝0.→→法二：成立平面直角坐标系证明AF·DE＝0.→→[解]

法一：设

AD＝a，AB＝b，则|a|

＝|b|，a·b＝0，→→

→

b

→

→→

a又DE＝DA＋AE＝－a＋2，AF＝AB＋BF＝b＋2，→→·－a＋b因此·＝b＋aAFDE22123b21212，＝－a－a·b＋＝－|a|＋|b|＝024222→→故AF⊥DE，即AF⊥DE.法二：如图，成立平面直角坐标系，设正方形的边长为

2，则

A(0,0)

，→

→D(0，2)，E(1,0)

，F(2,1)

，AF＝(2,1)

，DE＝(1，－2)．→→

→→因为AF·DE＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，因此AF⊥DE，即AF⊥DE.用向量法证明平面几何问题的方法，有两种常有思路：向量的线性运算法：选用基底→把待证问题用基底线性表示→利用向量的线性运算或数目积找相应关系→把向量问题几何化向量的坐标运算法：成立适合的坐标系→把有关量坐标向量化→利用向量的坐标运算找相应关系→把向量问题几何化但比较以上两种方法，易于知道，假如题目建系比较方便，坐标法更好用．2．已知在正方形ABCD中，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：(1)BE⊥CF；AP＝AB.[证明]成立如下图的平面直角坐标系，设AB＝2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，(1,2)，(0,1)．EF→(1)∵BE＝(－1,2)，→CF＝(－2，－1)．→→BE·CF＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0，→→BE⊥CF，即BE⊥CF.设点P坐标为(x，y)，→则FP＝(x，y－1)，→→→FC＝(2,1)，∵FP∥FC，∴x＝2(y－1)，即x＝2y－2，→→同理，由BP∥BE，得y＝－2x＋4，6x＝2y－2，x＝5，由得y＝－2x＋4，8y＝，58∴点P的坐标为5，5.→6282→∴|AP|＝5＋5＝2＝|AB|，即AP＝AB.平面向量在分析几何中的应用[研究问题]1．怎样利用向量求经过点P0(x0，y0)，且与a＝(1，k)平行的直线l的方程？→提示：设直线l上随意一点(，)，则0＝(x－0，－0)．PxyPPxyy→由题意可知P0P∥a，∴y－y0＝k(x－x0)．2．怎样利用向量求经过点P0(x0，y0)，且与a＝(1，k)垂直的直线l的方程？提示：设直线l→，y－y)．上随意一点P(x，y)，则PP＝(x－x000→由题意可知P0P⊥a，∴(x－x0)＋k(y－y0)＝0.已知△ABC的三个极点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点．(1)求直线

DE，EF，FD的方程；(2)求AB边上的高线

CH所在直线方程．思路点拨：

(1)先求出

D，E，F的坐标，再借助共线知识求方程，

(2)借助数目积求解．[解]

(1)由已知得点D(－1,1)

，E(－3，－1)，F(2，－2)，设M(x，y)是直线

DE上随意一点，→→→→则DM∥DE.DM＝(x＋1，y－1)，DE＝(－2，－2)，∴(－2)×(x＋1)－(－2)×(y－1)＝0，即x－y＋2＝0为直线DE的方程．同理可求，直线EF，FD的方程分别为x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.(2)设点N(x，y)是CH所在直线上随意一点，则→→→→CN⊥AB，∴CN·AB＝0.00→→又CN＝(x0＋6，y0－2)，AB＝(4,4)，4(x0＋6)＋4(y0－2)＝0，即x＋y＋4＝0为所求直线CH的方程．1．(变结论)本例条件不变，证明△ABC为直角三角形．→→[证明]由本例解知AB＝(4,4)，AC＝(－6,6)，→→∵AB·AC＝4×(－6)＋4×6＝0，→→∴AB⊥AC，∴△ABC为直角三角形．→2．(变结论)本例条件不变，求过C与AB平行的直线方程．[解]

设所求直线上任一点为

P(x，y)．→→则CP＝(x＋6，y－2)，AB＝(4,4)，→→由CP∥AB，得4(x＋6)－4(y－2)＝0，即x－y＋8＝0.利用向量法解决分析几何问题，若有关平行、共线、垂直、夹角、距离等问题，均可用向量表示或用向量解决，要先将线段当作向量，再利用向量法例进行坐标运算，使问题得以解决.教师独具1．本节课的要点是平面向量在平面几何中的应用，难点是平面向量在物理中的应用．2．要掌握平面向量的应用利用平面向量解决平面几何中的平行、垂直问题；利用平面向量解决平面几何中的长度问题；平面向量在物理中的应用.1．力F＝(－1，－5)作用于质点m，使m产生的位移s＝(4,6)，则力F对证点m做的功是( )A．34B．26C．－34D．－26[∵W＝F·s＝(－1，－5)·(4,6)＝－34，∴力F对m所做的功是－34.]→→2．在平面直角坐标系xOy中，已知＝(－1，)，＝(2,2)．若∠＝90°，则实OAtOBABO数t的取值为________．→→→→→[AB＝OB－OA＝(3,2－t)，由题意知OB·AB＝0，因此2×3＋2×(2－t)＝0，解得t＝5.]→→3．在

OA为边，OB为对角线的矩形中，

OA＝(－3,1)

，OB＝(－2，k)，则实数

k＝________.→

→

→→

→[如下图，因为OA＝(－3,1)，OB＝(－2，k)，因此AB＝OB－OA＝→→→→(1，k－1)．在矩形中，由OA⊥AB得OA·AB＝0，因此(－3,1)·(1，k－1)