(数学)2017年全国高中数学联赛江苏复赛试题+Word版含答案

(数学)2017年全国高中数学联赛江苏复赛试题+Word版含答案LtDPAGEPAGE42017年全国高中数学联赛江苏赛区复赛一、填空题（每题8分，满分64分，将答案填在答题纸上）1.若数列满足，则的值为．2.若函数对于任意都满足，则的最小值是．3.在正三棱柱中，分别是侧棱上的点，，则截面与底面所成的二面角的大小是．4.若，则．5.设是实数，则的最大值是．6.设,则中能被整除但不能被整除的数的个数是．7.在直角平面坐标系中，分别是双曲线的左、右焦点，过点作圆的切元素.试卷答案1.2.3.4.5.6.2527.8.3432二、解答题9.解：因为，所以，所以当时，所以的最小值为10.解：（1）因为，所以直线与轴平行时，或与重合，不合题意.设，则将代入，得所以同理所以，直线,即，化简得直线纵截距是常数，故直线过定点（2）由（1），，同理，所以不妨设，令，则，可化得，即设，则切点弦的方程是，又在上，所以，从而所以到的距离因此的面积令，则，化得当时，递增，所以，即，当且仅当，即时，等号成立，故的面积的取值范围是11.解：（1）用数学归纳法证明如下：（ⅰ）当时，令，则恒成立，所以在区间为增函数，又因为，所以，即（ⅱ）假设时，命题成立，即当时，，则时，令，则，所以在区间为增函数，又因为，所以恒成立，即，所以时，命题成立.由（ⅰ）（ⅱ）及归纳假设可知，，当时，（2）由（1）可知，即，所以，即，下证：下面先用数学归纳法证明：当（ⅰ）当时，令，则，所以在区间单调增，又，故，即（ⅱ）假设时，命题成立，即当时，则当时，令，，所以在区间上为增函数，又，故，即.由（ⅰ）（ⅱ）及归纳假设，可知当时，对成立，所以，从而即，证毕.复赛加试答案1.证明：连接因为五边形内接于圆，所以,所以,所以①同理，,②③由①②③得因为,所以所以，即点是弧的中点， 所以2.解：因为是不相邻的整数，所以由于是整数，所以设，即，则，则，于是，从而，故又因为①令，得，代入①得，于是，，因此，，并且，即，解之得，从而，且，故所以3.证明：首先证明一定存在红色三角形（三边均为红色的三角形为红色三角形，下同）.设从顶点出发的红色线段最多，由引出的红色线段为，则若中存在两点，不妨设为使线段为红色线段，则为红色三角形，若相互之间没有红色线段相连，则从出发的红色线段最多有条，所以这个点红色线段最多有与题设矛盾，所以存在以为顶点的红色三角形，下面用数学归纳法证明，（1）当时，平面上有四个点中两两连线共有条，其中有条为红色，只有一条非红色，设为则与均为红色三角形，命题成立，（2）假设时，命题成立，即至少存在个红色三角形，当时，有个点，且有条红色线段，一定存在一个红色三角形，设为考察从引出的红色线段分别记为条，不妨设若，则除去点余下的个点之间至少有,由归纳假设可知存在至少个红色三角形，再加上至少有个红色三角形，若，则,故从出发向其它个点引出红色线段至少有条，因为这线段至少有对线段有公共点（不包括）故至少存在个红色三角形，再加上，则至少有个红色三角形，所以时命题也成立，由（1）（2）可知，当时，点之间的条红色线段至少可组成个红色三角形.4.证明：引理：设为素数，为非负整数，令，其中为互素的正整数，那么