集合的概念难题汇编之欧阳道创编

欧阳道创编

9月犀利哥的学组卷时间：2021.03.06

创作：欧阳道一．选择题共11小题）1．（2011•广东）设S是整数集的非空子集，如果∀，b有ab∈S，则称S关于数的法是封闭的，若T，V是Z两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且∀，bc∈T，有∈；∀xy，z∈，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是（）AV中少有一个关于乘法是封闭的BTV中多有一个关于乘法是封闭的C．TV中且只有一个关于乘法是封闭的D．，中一个关于乘法都是封闭的2．（2007•湖北）设P和Q是两个集合，定义集合﹣∈，且xQ}，如果，Q={x||x﹣＜1}，么P﹣于（）A{x|0＜x＜1}B{x|0x1}C．{x|1x2}D．≤x3}3．（2010•延庆县一模）将正偶数集合{，从小到大按第组有n个偶数进行分组如下：则2010位于（）A第B第8．第9组D．第4．（2009•闸北区一模）设A整数集的一个非空子集，对于kA，如果k1A且k+1A，那么是A的一个“立元”，给定A={1，2，3，5}，则A的所有子集中，只有一个“孤立元的集合共有（）A10B．C12D．13个5．用C（A表示非空集合A的元素个数，定义A*B=

，若A={1，2}，B={x||x且，由a的所有可能值构成的集合是S，那么（等于（）A4B．3C．2D．欧阳道创编

13121385131213850000

6．（2013•宁波模拟）设集合，，5，，7，9}，集合A={a，a，}S子集，且a，，a满足a＜＜，﹣a≤6那么满足条件的集合A个数为（）A78B．847．下列命题正确的有（）（1）很小的实数可以构成集合；

D．（2）集合{y|y=x个集合；

﹣1}与合{（，y）2

﹣1}是同一（3）

这些数组成的集合有个元素；（4）集合{（y）≤0，x，∈R}是指第二和第四象限内的点集．A0个B．．D．个8．若x∈A则∈A，称A是伙伴关系集合，集合M={﹣，，12，3，所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（）A15B．D．9．定义AB={z|z=xy+，x∈A，y∈B}．设集合A={0，B={1，2}，C={1}．集合（A）的所有元素之和为（）A3B．9C．D10．已知元素为实数的集合A满足条件：若∈A，则，那么集合A中所有元素的乘积为（）A﹣1B1C．0D．11．设集合P={x|x=2k﹣1，k∈Z}，集n∈Z}，若∈，y∈，a=x+y，b=x•y，则（）Aa，bQB．，b．，bD．a，二．填空题共14题）12．（虹口区一模）定义集合A，B的一种运算“*”，x∈A，yB}若A={1，，欧阳道创编

11211212欧阳道11211212

3}，B={1，2}则集合A*B中所有元素的和_________．13．（上海模拟）已知集合，且2∈A，3A，则实数的取值范围是_________．14．集合S={1，2，3，，，A是S的一个子集，当xA时，若x﹣∉A，A，则称x为A的一个“立元素”，那么S中无立元素的4元子集的个数是_________．15．（四川）非空集合于运算⊕满足：（）对任意的，G，都有a⊕∈，（2存在e∈G，都有⊕e=e⊕a=a，则称G关于运算⊕为洽集”．现给出下列集合和运算：①非负整数}⊕整数的加法．②偶数}⊕为整数的乘法．③平面向量}⊕平面向量的加法．④二次三项式}⊕多项式的加法．⑤虚数}⊕为复数的乘法．其中于运算⊕“洽集”的是_________．（写出所有融洽集的序号）16．（安徽模拟）给定集合A，若对于任意，b∈A，有a+b∈A，则称集A闭集合，给出如下五个结论：①合A={﹣﹣，2，4}为闭集合；②整数集是闭集合；③合A={n|n=3k，Z}闭集合；④集合A，A为闭集合，则A∪A为闭集合；⑤集合A，A为闭集合，且A，A，则存在c∈R，使得cA∪A）．其中正确的结论的序号是_________．17．（绵阳三模）设集合AR，对任意、、c∈A，运算“⊕有如下性质：（1）⊕∈A；（⊕；（）（⊕⊕c=a⊕⊕欧阳道创编

1nAijijAAAi+1iA1iiijjj000000欧阳道创编1nAijijAAAi+1iA1iiijjj000000

给出下列命题：①∈A②1A，则（11⊕；③aA，且a，则a=0；④a∈A，且⊕0=a，⊕b=c⊕b，则a=c．其中正确命题的序号是_________（把你认为正确的命题的序号都填上）．18．已知集合A={a，，…，，n*n2}，令T={x|x=a+a}，a∈A，∈A，≤i≤j≤n，card（T）表示集合T中元素的个数．①A={2，4，8，16}，则card（）_________；②﹣（1≤i≤n﹣为非零常数），则card（T）_________．19．设集合M={1，2，4，5，6}，S，…，

都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的={a，b}S，b}（≠j，i、∈{1，2，，…，k}，都有（，y}表示两个数xy中的较小者），则k的最大值是_________．20．设集合A=，B=，函数f（

若x∈A，且f[f（x）]∈A，则x的取值范围是_________．21．（文）设集合A，如果x∈R足：对任意a＞0，都存在x∈A，使得＜﹣x＜，那么称x为集合A聚点．则在下列集合中：（1）Z+

∪﹣

（）+

∪R﹣

（3）（4）以为聚点的集合有_________正确结论的序号）．

（写出所有你认为欧阳道创编

1i欧阳道创编1i

22．用描述法表示图中的阴影部分（包括边界）_________．23．设

，则A∩B列举法可表示为_________．24．如果具有下述性质的x都是集合M的元素，即，其中，Q．则下列元素：①；②③

；；④．其中是集合M的元素是_________．（填序号）25．用列举法表示集合：

_________．三．解答题共5题）26．（北京）已知集合，a，…，（k≥2）}，其中∈Z（i=1，…，k），由A中的元素构成两个相应的集合：（，b∈A，∈A，a+b∈A}，（a，b）∈A，A，﹣A}其中（a）是有序数对，集合和T中的元素个数分别为若对于任意的∈A，总有﹣aA，则称集合A具有性质P．（I）检验集合{，3}与{1，2，3}是具有性质P并对其中具有性质的集合，写出相应的集合S和T；（II）对任何具有性质的集合A，证明：；（III）判断mn的大小关系，并证明你的结论．27．对于集合

﹣n

2

，m∈Z，n∈Z}，因为2﹣2

，所以16∈A，研究下列问题：（1），2，，，5六个数中，哪些属于A，哪些不属于A，为什么？（2）讨论集合，，6，…，2n，中有哪些元素属于A，试给出一个一般的结论，不必证明．28．已知集合A={x|x=m+n，，n∈Z}．欧阳道创编

23131123131112

（1）设x

1

，x=

，x（1﹣）试判断x，x，x与集合A之间的关系；（2）任取x，x∈，试判断x+x，x•x与A之间的关系．29．已知集合A的全体元素为实数，且满足若aA，则

∈A．（1）若a=2，求出A中的所有元素；（2）是否为A中的元素？请再举例一个实数，求出A的所有元素；（3）根据（1）、（2）你能得出什么结论？30．设非空集合具有如下性质：元素都是正整数；②x∈S，则10﹣x∈S．（1）请你写出符合条件，且分别含有一个、二个、三个元素的集合S各一个；（2）是否存在恰有个元素的集合S？若存在，写出所有的集合S；若不存在，请说明理由；（3）由（、（2）的解答过程启发我们，可以得出哪些关于集合S的一般性结论（要求至少写出两个结论）？2013犀利哥的中数学组参考答案与题解析一．选择题共11小题）1．（2011•广东）设S是整数集的非空子集，如果∀，b有ab∈S，则称S关于数的法是封闭的，若T，V是Z两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且∀，bc∈T，有∈；∀xy，z∈，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是（）AV中少有一个关于乘法是封闭的BTV中多有一个关于乘法是封闭的C．TV中且只有一个关于乘法是封闭的D．，中一个关于乘法都是封闭的考元与集合关系的判断．点：专压题；阅读型；新定义题：欧阳道创编

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分本从正面解比较困难，运用排除法进行作答．考虑把整数集Z拆析：成两个互不相交的非空子T，V的集，如T奇数集，V为数集，或为整数集V为负整数集进分析排除即可．解解若T为数集，V为数集，满足题意，此时与V关乘法都是答：封闭的，排除B、C；若为整数集V为负整数集，满足题意，此时只有V关乘法是封闭的，排除；从而可得T，中少有一个关于乘法是封闭的A正故选A点此考查学生理解新定义能力，会判断元素与集合的关系，是一道比较评：难的题型．2．（2007•湖北）设P和Q是两个集合，定义集合﹣∈，且xQ}，如果，Q={x||x﹣＜1}，么P﹣于（）A{x|0＜x＜1}B．＜x≤1}．≤x2}D．{x|2x3}考元素与集合关系的判断；对值不等式的解法．点：专计算题．题：分首先分别对P，Q两集合进行化简，然后按照﹣Q={x|x，析：xQ}，求出﹣Q即．解答：

解：化简得＜x＜2}而Q={x||x2|＜1}化简得Q={x|1＜x＜3}定集合P﹣Q={x|xP，且xQ}，P﹣Q={x|0x≤1}故选点本题考查元素与集合关系判断，以及绝对值不等式的解法，考查对集合评：知的熟练掌握，属于基题．3．（2010•延庆县一模）将正偶数集合{，从小到大按第组有n个偶数进行分组如下：则2010位于（）A第B．第8组C第组D．组考元素与集合关系的判断；合的表示法；等差数列；等比数列．点：专计算题．题：分首先将正偶数集合按大小序排列是一个等差数列，先求出是数析：列的第几项，然后按第n组有个数进行分组每组中集合元素的个数正好是等比数列，求出解解：正偶数集按从小到大顺序排列组成数列24，6答：2n=2010，由第一组{，4}的元素是2个欧阳道创编

n8922欧阳道n8922

第二组{，8，12}元素是第三组{，16，，20，，2426的元素是8个…第m组元素是2﹣＜，解得2＜z，2=256，，＜＜512所以，，故选C．

=2﹣2点此题表面是一个集合题，际上考查等差数列的通项公式和等比数列求和评：公，但过程中一定要思清晰，否则容易出错．4．（2009•闸北区一模）设A整数集的一个非空子集，对于kA，如果k1A且k+1A，那么是A的一个“立元”，给定A={1，2，3，5}，则A的所有子集中，只有一个“孤立元的集合共有（）A个B个．13个考元素与集合关系的判断．点：专综合题；压轴题．题：分本题考查的是新定义和集知识联合的问题．在解答时首先要明确集合A析：的有子集是什么，然后格按照题目当中“孤元的义逐一验证即可．当然，如果按照孤元出的情况逐一排查亦可．解解：“孤是1的合{1}{1，，4}；，4，5}；{1，3，，答：5}；“孤元是的集{2}{2，45}“孤元是的集{3}“孤元是的集{4}{1，24}“孤元是的集{5}{1，25}{2，，；{1，23，5}点本题考查的是集合知识和定义的问题．在解答过程当中应充分体会新定评：义题概念的确定性，与合子集个数、子集构成的规律．此题综合性强，值得同学们认真总结和归纳．5．用C（A表示非空集合A的元素个数，定义A*B=

，若A={1，2}，B={x||x+ax+1|=1}，且A*B=1，由a的所有可能值构成的集合是S，那么（等于（）A4

B3

C．

D．考元素与集合关系的判断．点：专计算题；压轴题；新定义分类讨论．题：分根据A={12}B={x||x+ax+1|=1}，且A*B=1，知集合B要是单元析：

素集合，要么是三元素集合，然后对方x的根的个数进行讨欧阳道创编

2222213121322222131213393939

论，即可求得a的有可能值，进而可求（）．解解：x或x﹣，答：

即x①或x+ax+2=0②，A={1，2}，且，集B要是单元素集合，要么是三元素集合，集B是元素集合，则方有相等实根②无数根，；集B是元素集合，则方程有不相等实根②两个相等且异①的数根，即，得综上所述或a=±2，（）=3．故选．

，点此题是中档题．考查元素集合关系的判断，以及学生的阅读能力和对新评：定的理解与应用．6．（2013•宁波模拟）设集合，，5，，7，9}，集合A={a，a，}S子集，且a，，a满足a＜＜，﹣a≤6那么满足条件的集合A个数为（）A78．

C．84D．考元素与集合关系的判断．点：专计算题．题：分从集合S任选个元素组成集合A，一个能组成个，再把不符合条析：件去掉，就得到满足条的集合A的个数．解解：从集合S中选3元素组成集合A，一个能组成C个，答：其A={12，9}不合条件，其它的都符条件，所以满足条件的集合A的个数C﹣1=83．故选．点本题考查元素与集合的关，解题时要认真审题，仔细思考，认真解答．评：7．下列命题正确的有（）（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合{y|y=x个集合；

﹣1}与合{（，y）2

﹣1}是同一（3）

这些数组成的集合有个元素；（4）集合{（y）≤0，x，∈R}是指第二和第四象限内的点集．欧阳道创编

22124442212444

A0个B1个．个D3个考集合的含义．点：专计算题．题：分（1（3）中由集合元素的性质：确定性、互异性可错误；2）中注析：意合中的元素是什么；4中注意或y=0的况．解解：（1）中很小的实数没有确定的标准不满足集合元素的确定性；答：（）中集合{

﹣1}的元素为实数，而集{x，y

﹣1}元素是点；（3有集合元素的互异性这些数组成的集合有3个素；（4集{，）x，yR}中包括实数轴上的点．故选A点本题考查集合元素的性质集合的表示，属基本概念的考查．评：8．若x∈A则∈A，称A是伙伴关系集合，集合M={﹣，，12，3，所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（）A

B16

C．

8

D．

5考元素与集合关系的判断．点：专综合题；压轴题；新定义题：分析：解答：

先找出具有伙伴关系的元素：，，、，、四组，它们中任一组、二组、三组、四组均可组成非空伙伴关系集合，利用组合知识求解即可．解：具有伙伴关系的元素组有，，、，、四组，它们中任一组、二组、三组、四组均可组成非空伙伴关系集合，个数为C+C+C故选A点本题考查集合的子集问题排列组合等知识，考查学生利用所学知识分析评：问、解决问题的能力．9．定义AB={z|z=xy+，x∈A，y∈B}．设集合A={0，B={1，2}，C={1}．集合（A）的所有元素之和为（）A3

B9

C．18

D．27考元素与集合关系的判断．点：专新定义．题：分首先根据题意，求出AB中元素，然后求出AB中所含的析：元，最后求和即可．欧阳道创编

0000欧阳道创编0000解解：由题意可求答：（AB中所含的元素有，4，5

则（AB）C中含的元素有，，10故所有元素之和为18．故选C点本题考查元素与集合关系判断，通过集合间的关系直接判断最后求和即评：可属于基础题．10．已知元素为实数的集合A满足条件：若∈A，则，那么集合A中所有元素的乘积为（）A﹣1B1考元素与集合关系的判断．点：专计算题；新定义．题：

C．

D．分析：

根据若A则，据定义令

代入

进行求解，依次进行赋值代入再求出它们的乘积．

进行化简，把集合A元素所有的形式全部求出，解答：

解：由题意知，若aA则，代入令==

，

；令

代入=

，令

，代入

==a，A={a，，，，}，则所有元素的积为，故选．点本题主要考查集合的应用题目比较新颖，以及阅读题意的能力，有一定评：的度，主要对集合元素理解．11．设集合P={x|x=2k﹣1，k∈Z}，集n∈Z}，若∈，y∈，a=x+y，b=xy，则（）Aa，bQBa，bP考元素与集合关系的判断．点：专计算题．

C．P，D．，Q欧阳道创编

000000000000000000

题：分据集合中元素具有集合中素的属性设出，y，出x+y，并将析：其简，判断其具有Q，P中一集合的公共属性．解解：xP，y0，答：设x0=2k﹣，y0，，k，则x=2k1+2n=2（）P，xy（﹣）（）=2（﹣n，故xy．故a，，故选A点本题考查集合中的元素具集合的公共属性、元素与集合关系的判断、等评：基知识，考查化归与转思想．属于基础题．二．填空题共14题）12．（虹口区一模）定义集合A，B的一种运算“*”，x∈A，yB}若A={1，，3}，B={1，2}则集合A*B中所有元素的和．考集的含义．点：专新义．题：分由A*B={p|p=x+y，xAyB}A={1，2，3}，，2}，知析：A*B={2，，4，5}，此能求出集合A*B中所有元素的和．解解A*B={p|p=x