02-必修①第一章-集合与函数概念

02--必修①第一章-集合与函数概念LtD《新课标高中数学必修①精讲精练》——精练月日:~:自评分《新课标高中数学必修①精讲精练》——精讲第一章集合与函数概念A.B.C.D.A.B.C.D.5．已知函数的定义域为，则的定义域为（）. A． B． C． D．6．已知＝＋x＋1，则＝______；f［］＝______．7．已知，则=.※能力提高8．（1）求函数的定义域；（2）求函数的定义域与值域.9．已知，，且，试求的表达式.※探究创新10．已知函数，同时满足：；，，，求的值.第6讲§1.2.2函数的表示法¤学习目标：在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（图象法、列表法、解析法）表示函数；通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；了解映射的概念.¤知识要点：1.函数有三种表示方法：解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反应变化趋势）；列表法（列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值）.2.分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x，对应法则不同）.3.一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作“”.判别一个对应是否映射的关键：A中任意，B中唯一；对应法则f.¤例题精讲：【例1】如图，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V以x为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______．解：盒子的高为x，长、宽为，所以体积为V＝.又由，解得.所以，体积V以x为自变量的函数式是，定义域为.【例2】已知f(x)=，求f[f(0)]的值.解：∵，∴f(0)=.又∵>1，∴f()=()3+()-3=2+=，即f[f(0)]=.【例3】画出下列函数的图象：（1）；（教材P26练习题3）（2）.解：（1）由绝对值的概念，有.所以，函数的图象如右图所示.（2），所以，函数的图象如右图所示.点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象.【例4】函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，当时，写出的解析式，并作出函数的图象.解：.函数图象如右：点评：解题关键是理解符号的概念，抓住分段函数的对应函数式.第6练§1.2.2函数的表示法※基础达标1．函数f(x)=，则=（）. A.1B.2C.3D.42．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t，离开家里的路程为d，下面图形中，能反映该同学的行程的是（）.OOdtOdtOdtOdtA.B.C.D.3．已知函数满足，且，，那么等于（）. A. B. C. D.4．设集合A＝｛x｜0≤x≤6｝，B＝｛y｜0≤y≤2｝，从A到B的对应法则f不是映射的是（）. A.f：x→y＝x B.f：x→y＝x C.f：x→y＝x D.f：x→y＝x5．拟定从甲地到乙地通话分钟的话费由给出，其中是不超过的最大整数，如：，从甲地到乙地通话5.2分钟的话费是（）. A.3.71B.4.24C.4.77D.7.956．已知函数且此函数图象过点（1，5），实数m的值为.7．；若.※能力提高8．画出下列函数的图象：（1）；（2）.9．设二次函数满足且=0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求的解析式※探究创新10．（1）设集合，.试问：从A到B的映射共有几个？（2）集合A有元素m个，集合B有元素n个，试问：从A到B的映射共有几个？第7讲§1.3.1函数的单调性¤学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质.理解增区间、减区间等概念，掌握增（减）函数的证明和判别.¤知识要点：1.增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasingfunction）.仿照增函数的定义可定义减函数.2.如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f(x)的单调区间.在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的（如右图1），减函数的图象从左向右是下降的（如右图2）.由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.3.判断单调性的步骤：设x、x∈给定区间，且x<x；→计算f(x)－f(x)→判断符号→下结论.¤例题精讲：【例1】试用函数单调性的定义判断函数在区间（0，1）上的单调性.解：任取∈(0,1)，且.则.由于，，，，故，即.所以，函数在（0，1）上是减函数.【例2】求二次函数的单调区间及单调性.解：设任意，且.则.若，当时，有，，即，从而，即，所以在上单调递增.同理可得在上单调递减.【例3】求下列函数的单调区间：（1）；（2）.解：（1），其图象如右.由图可知，函数在上是增函数，在上是减函数.（2），其图象如右.由图可知，函数在、上是增函数，在、上是减函数.点评：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数.第2小题也可以由偶函数的对称性，先作y轴右侧的图象，并把y轴右侧的图象对折到左侧，得到的图象.由图象研究单调性，关键在于正确作出函数图象.【例4】已知，指出的单调区间.解：∵，∴把的图象沿x轴方向向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，得到的图象，如图所示.由图象得在单调递增，在上单调递增.点评：变形后结合平移知识，由平移变换得到一类分式函数的图象.需知平移变换规律.第7练§1.3.1函数的单调性※基础达标1．函数的减区间是（）.A.B.C.D.2．在区间（0，2）上是增函数的是（）.A.y=－x+1B.y=C.y=x2－4x＋5D.y=3．函数的递增区间依次是（）.A.B.C.D.4．已知是R上的增函数，令，则是R上的（）. A．增函数 B．减函数 C．先减后增 D．先增后减5．二次函数在区间(∞，4)上是减函数，你能确定的是（）.A.B.C.D.6．函数的定义域为，且对其内任意实数均有：，则在上是.（填“增函数”或“减函数”或“非单调函数”）7．已知函数f(x)=x2－2x＋2，那么f(1)，f(－1)，f()之间的大小关系为.※能力提高8．指出下列函数的单调区间及单调性：（1）；（2）9．若，且.（1）求b与c的值；（2）试证明函数在区间上是增函数.※探究创新10．已知函数的定义域为R，对任意实数、均有，且，又当时，有.（1）求的值；（2）求证：是单调递增函数.第8讲§1.3.1函数最大（小）值¤学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的最大（小）值及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质.能利用单调性求函数的最大（小）值.¤知识要点：1.定义最大值：设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有≤M；存在x0∈I，使得=M.那么，称M是函数的最大值（MaximumValue）.仿照最大值定义，可以给出最小值（MinimumValue）的定义.2.配方法：研究二次函数的最大（小）值，先配方成后，当时，函数取最小值为；当时，函数取最大值.3.单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.4.图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值.¤例题精讲：【例1】求函数的最大值.解：配方为，由，得.所以函数的最大值为8.【例2】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可售出100件.现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润.解：设他将售出价定为x元，则提高了元，减少了件，所赚得的利润为.即.当时，.所以，他将售出价定为14元时，才能使每天所赚得的利润最大,最大利润为360元.【例3】求函数的最小值.解：此函数的定义域为，且函数在定义域上是增函数，所以当时，，函数的最小值为2.点评：形如的函数最大值或最小值，可以用单调性法研究，也可以用换元法研究.【另解】令，则，，所以，在时是增函数，当时，，故函数的最小值为2.【例4】求下列函数的最大值和最小值：（1）；（2）.解：（1）二次函数的对称轴为，即.画出函数的图象，由图可知，当时，；当时，.所以函数的最大值为4,最小值为.（2）.作出函数的图象，由图可知，.所以函数的最大值为3,最小值为-3.点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的关系，结合图象进行分析.含绝对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究.分段函数的图象注意分段作出.第8练§1.3.1函数最大（小）值※基础达标1．函数在区间上是减函数，则y的最小值是（）.A.1B.3C.－2D.52．函数的最大值是（）.A.8B.C.4D.3．函数在区间上有最小值，则的取值范围是（）.A．B．C．D．4．某部队练习发射炮弹，炮弹的高度h与时间t的函数关系式是则炮弹在发射几秒后最高呢（）.A.1.3秒B.1.4秒C.1.5秒D1.6秒5.的最大（小）值情况为（）.A.有最大值，但无最小值B.有最小值，有最大值1C.有最小值1，有最大值D.无最大值，也无最小值6．函数的最大值是.7．已知，.则的最大值与最小值分别为.※能力提高8．已知函数.（1）证明在上是减函数;（2）当时，求的最大值和最小值.房价（元）住房率（%）160551406512075100859．一个星级旅馆有100个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如右：欲使每天的的营业额最高，应如何定价？※探究创新10．已知函数在区间[0，1]上的最大值为2，求实数a的值.第9讲§1.3.2函数的奇偶性¤学习目标：结合具体函数，了解奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质.理解奇函数、偶函数的几何意义，能熟练判别函数的奇偶性.¤知识要点：1.定义：一般地，对于函数定义域内的任意一个x，都有，那么函数叫偶函数（evenfunction）.如果对于函数定义域内的任意一个x，都有），那么函数叫奇函数（oddfunction）.2.具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称，奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数图象关于y轴轴对称.3.判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别与的关系.¤例题精讲：【例1】判别下列函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）.解：（1）原函数定义域为，对于定义域的每一个x，都有，所以为奇函数.（2）原函数定义域为R，对于定义域的每一个x，都有，所以为偶函数.（3）由于，所以原函数为非奇非偶函数.【例2】已知是奇函数，是偶函数，且，求、.解：∵是奇函数，是偶函数，∴，.则，即.两式相减，解得；两式相加，解得.【例3】已知是偶函数，时，，求时的解析式.解：作出函数的图象，其顶点为.∵是偶函数，∴其图象关于y轴对称.作出时的图象，其顶点为，且与右侧形状一致，∴时，.点评：此题中的函数实质就是.注意两抛物线形状一致，则二次项系数a的绝对值相同.此类问题，我们也可以直接由函数奇偶性的定义来求，过程如下.【另解】当时，，又由于是偶函数，则，所以，当时，.【例4】设函数是定义在R上的奇函数，且在区间上是减函数，实数a满足不等式，求实数a的取值范围.解：∵在区间上是减函数，∴的图象在y轴左侧递减.又∵是奇函数，∴的图象关于原点中心对称，则在y轴右侧同样递减.又，解得，所以的图象在R上递减.∵，∴，解得.点评：定义在R上的奇函数的图象一定经过原点.由图象对称性可以得到，奇函数在关于原点对称区间上单调性一致，偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反.第9练§1.3.2函数的奇偶性※基础达标1．函数(|x|≤3)的奇偶性是（）.A．奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数2．（08年全国卷Ⅱ.理3文4）函数的图像关于（）.A．轴对称 B．直线对称C．坐标原点对称 D．直线对称3．已知函数是奇函数，当时，；当时，等于（）.A.B.C.D.4．函数，那么的奇偶性是（）.A．奇函数B．既不是奇函数也不是偶函数C．偶函数D．既是奇函数也是偶函数5．若奇函数在[3,7]上是增函数，且最小值是1，则它在上是（）.A.增函数且最小值是－1 B.增函数且最大值是－1C.减函数且最大值是－1 D.减函数且最小值是－16．已知，，则.7．已知是定义在上的奇函数，在是增函数，且，则的解集为.※能力提高8．已知函数.（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性并证明你的结论.9．若对于一切实数，都有：（1）求，并证明为奇函数；（2）若，求.※探究创新10．已知，讨论函数的性质，并作出图象.第10讲第一章集合与函数概念复习¤复习目标：强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用文氏图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练.深刻理解函数的有关概念.掌握对应法则、图象等有关性质.理解掌握函数的单调性和奇偶性的概念，并掌握基本的判定方法和步骤，并会运用.¤例题精讲：【例1】（05年江苏卷.17）已知a,b为常数，若，则.解：由，则，整理得，比较系数得：，解得：；或.则.【例2】（02京、皖春.18）已知是偶函数，而且在上是减函数，判断在上是增函数还是减函数，并加以证明.解：设x1＜x2＜0，则－x1＞－x2＞0，因为在上是减函数，则.因为为偶函数，所以，由此可得在上是增函数.【例3】集合，，若，求实数m的取值范围.解：由，得.当时，有：，解得.-12-m3m-12-m3m+17xBA，解得.综上可知，实数m的取值范围为.点评：已知两个含参集合的关系或者运算结果时，可以结合数轴分析区间端点的位置情况，列出相关不等式后求解参数范围.注意当时，不能忽视的情况.【例4】设a为实数，函数，x∈R.（1）讨论的奇偶性；（2）若x≥a，求的最小值.解：（1）当a=0时，函数，此时为偶函数.当a≠0时，，，.此时函数f（x）为非奇非偶函数.（2）当x≥a时，函数.若a≤－，则函数在上的最小值为.若a＞－，则函数在上单调递增，从而，函数在上的最小值为f（a）=a2+1.综上，当a≤－时，函数f（x）的最小值是－a.当a＞－时，函数f（x）的最小值是a2+1.点评：函数奇偶性的讨论问题是中学数学的基本问题，如果平时注意知识的积累，对解此题会有较大帮助.因为