新教材高中数学第一章空间向量与立体几何2空间向量在立体几何中的应用2空间中的平面与空间向量第1课时平面的法向量及线面位置关系学案新人教B版选择性必修第一册

PAGEPAGE10第1课时平面的法向量及线面位置关系课标解读课标要求素养要求1.能用向量语言描述平面,理解平面的法向量的概念,会求平面的法向量.2.能用直线的方向向量及平面的法向量证明直线与平面平行、垂直.1.数学抽象——能理解平面的法向量的概念,会求平面的法向量.2.逻辑推理——会用向量法证明直线与平面平行、垂直.自主学习·必备知识教材研习教材原句要点一平面的法向量1.法向量的概念如果α是空间中的一个平面,n是空间中的一个非零向量,且表示n的有向线段所在的直线与平面α①垂直,则称n为平面α的一个法向量.此时,也称n与平面α垂直,记作②n⊥α2.法向量的性质根据定义可知,平面的法向量有如下性质:（1）如果直线l垂直平面α,则直线l的③任意一个方向向量都是平面α的一个法向量;（2）如果n是平面α的一个法向量,则对任意的实数λ≠0,空间向量λn也是平面α的一个法向量,而且平面α的任意两个④法向量（3）如果n为平面α的一个法向量,A为平面α上一个已知的点,则对于平面α上任意一点B,向量AB一定与向量n垂直,即⑤AB⋅n=0,从而可知平面α的位置可由n要点二直线、平面垂直、平行的判定如果v是直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,则n//v⇔⑥l⊥α;n⊥v自主思考1.零向量为什么不能作为平面的法向量?答案：提示因为平面的法向量是用来描述空间中平面的位置的,而零向量的方向是任意的,所以无法用零向量来描述空间中平面的位置,即零向量不能作为平面的法向量.2.如果a,b与平面α共面且n⊥a,答案：提示当a,b共线时,n不一定是平面3.若直线l的一个方向向量为v=(-2,3,0),平面α的一个法向量为n=(1,-32,0),则直线l答案：提示当n=(1,-32,0)时,当n=(3,2,0)时,因为v⋅n=0,所以v⊥n名师点睛1.平面法向量的确定通常有两种方法（1）直接寻找：当几何体中已经给出有向线段,只需证明线面垂直即可.（2）待定系数法：当几何体中没有具体的直线可以作为法向量时,根据已知平面内的两条相交直线的方向向量,可以建立空间直角坐标系,运用待定系数法求解平面的法向量.2.求平面的法向量时,只需构建两个方程求解即可.这是因为根据线面垂直的判定定理可知,只要直线垂直于该平面内的任意两条相交直线,它就垂直于该平面,也就垂直于该平面内的任意一条直线,所以法向量的坐标只要满足两个方程就可以了,从这个角度也可以说明一个平面的法向量有无数个,并且这些法向量都是平行的.互动探究·关键能力探究点一求平面的法向量自测自评1.（多选)（2021山东青岛二中高二月考）已知直线l过点P(1,0,-1),且平行于向量a=(2,1,1),平面α过直线l与点M(1,2,3),则平面αA.(1,-4,2)B.(C.(-1答案：A;B;C解析：由题意可知,平面α的法向量垂直于向量a=(2,1,1)和向量PM,PM=(1,2,3)-(1,0,-1)=(0,2,4)选项A,(2,1,1)⋅(1,-4,2)=0,(0,2,4)⋅(1,-4,2)=0,满足垂直,故正确;选项B,(2,1,1)⋅(1选项C,(2,1,1)⋅(-1选项D,(2,1,1)⋅(0,-1,1)=0,但(0,2,4)⋅(0,-1,1)≠0,故错误.2.在三棱锥P-ABC中,CP、CA、CB两两垂直,AC=CB=1,PC=2,如图,建立空间直角坐标系,则下列向量中是平面PAB的一个法向量的是()A.(1,1,12C.(1,1,1)D.(2,-2,1)答案：A解析：∵A(1,0,0),B(0,1,0),P(0,0,2),∴PA=(1,0,-2),AB=(-1,1,0)由n⋅PA→=0,∴n又(1,1,12)=12n,3.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,E是PC的中点,求平面EDB的一个法向量.答案：建立如图所示的空间直角坐标系.依题意可得D(0,0,0),P(0,0,1),E(0,12,12),B(1,1,0),则DE=(0,12,12),DB=(1,1,0).设平面EDB解题感悟利用待定系数法求平面法向量的步骤（1）设向量:设平面的一个法向量为n=(x,y,z)（2）选向量:在平面内选取两个不共线的向量AB,（3）列方程组:由n⊥（4）解方程组:n（5）赋非零值:取其中一个为非零值（常取±1）.（6）得结论:得到平面的一个法向量.探究点二利用空间向量证明线面平行精讲精练例如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AB=4,AA答案：证明如图,以D为原点,DA,DC,则A(4,0,0),B(4,4,0),C(0,4,0),∴D设平面EFC的一个法向量为n＝(x,y,z),则令x=1,解得y=1,z=4.∴n又D1∴n又D1G⊄平面EFC,∴D解题感悟利用向量证明线面平行问题的方法（1）证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.（2）证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线.（3）证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表示,即用平面向量基本定理证明线面平行.迁移应用1.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,M,N分别为A1答案：证明以C1为原点,C1B由于A1M=AN=D1(0,a,0),则又C1D1⊥平面BB因为MN⋅C1又MN⊄平面BB1C1探究点三利用空间向量证明线面垂直精讲精练例如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1答案：证明设正方体的棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),B∴EF设平面B1AC的一个法向量为则n⋅AB1→∴平面B1AC的一个法向量为n=(1,1,-1)∴EF⊥平面B1解题感悟利用向量证明线面垂直的方法1.证明直线的方向向量与平面的法向量平行.2.证明直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量分别垂直.步骤：（1）求直线的方向向量;（2）求出平面内两相交直线的方向向量;（3）分别计算两组向量的数量积,得数量积为0.迁移应用1.若直线l的一个方向向量为a=(1,0,2),平面α的一个法向量为nA.l∥αB.l⊥αC.l⊂αD.l与α斜交答案：B解析：∵a=(1,0,2),n2.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,AD=PD=1,E,F分别为CD,PB的中点.求证：EF⊥平面PAB.答案：证明以D为坐标原点,DC,DA,设E(a,0,0),其中a>0,则C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1),F(a,1则EF=(0,12,1又PB⊂平面PAB,AB⊂平面PAB,PB∩AB=B,所以EF⊥平面PAB.评价检测·素养提升课堂检测1.（2021北京大兴第一中学高二期中）若向量AB=(1,2,3),AC=(3,2,1),则平面A.(-1,2,-1)B.(1,2,1)C.(1,2,-1)D.(-1,2,1)答案：A2.如图,在正方体ABCD-A'BA.B'C'B.A'答案：B3.如果直线l的一个方向向量是a=(-2,0,1),且直线l上有一点P不在平面α内,平面α的一个法向量是bA.直线l与平面α垂直B.直线l与平面α平行C.直线l在平面α内D.直线l与平面α相交但不垂直答案：B4.（2020山东烟台一中高二检测）已知直线l的一个方向向量为d=(2,3,5),平面α的一个法向量为u=(-4,m,n),若l⊥α,则m+n=答案：-16素养演练逻辑推理—利用空间向量解决线面关系的探索性问题1.在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点.（1）求证：EF⊥CD;（2）在平面PAD内是否存在一点G,使GF⊥平面PCB？若存在,请求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.答案：（1）证明：由题意知,DA,DC,DP两两垂直.所以以D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图.设AD=a,则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E(a,a2,0),P(0,0,a),F(a2因为EF⋅DC=0,所以EF（2）存在.假设存在满足条件的点G,设G(x,0,z),则FG