新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语2集合间的基本关系课件新人教A版必修第一册

学习本节内容时要学会借助图形解决抽象问题,逐步形成直观想象的数学素养.

学习时还应注意以下几点:1.理解集合之间包含与相等的含义,理解子集、真子集的概念;在具体情境中,了

解空集的含义.2.能识别给定集合的子集,掌握列举有限集的所有子集的方法.3.能用符号和Venn图表示集合间的关系.1.2集合间的基本关系1|子集、集合相等、真子集

概念图示性质子集一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中①任意一个

元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的②

子集

,记作③

A⊆B

(或④

B⊇A

),读作“A包含于B”(或“B包含A”)

任何一个集合是它本身的子集,即A⑤

⊆

A;对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么A⑥

⊆

C概念图示性质集合相等一般地,如果集合A的⑦任何一

元素都是集合B的元素,同时集合B的⑧任何一个

元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作⑨

A=B

A⊆B,且B⊆A⇔A=B;A=B,且B=C,则A=C真子集如果集合⑩

A⊆B

,但存在元素x∈B,且

x∉A

,就称集合A是集合B的真子集,记作A⫋B(或B⫌A)

A⫋B,且B⫋C,则A⫋C;A⊆B,且A≠B,则A⫋B续表2|空集定义

不含任何元素

的集合叫做空集符号

⌀

规定空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集在数学中,经常用平面上封闭曲线的

内部

代表集合,这种图称为Venn图.Venn图可以直观地表示集合间的关系.常见数集间的关系如图所示.

3|

Venn图1.⌀和{⌀}表示的意义相同.

(

✕)2.任何集合都有子集和真子集.

(

✕)提示:空集没有真子集.3.若a∈A,则{a}⫋A.

(

✕)提示:当A中仅含一个元素a时,A={a},{a}不是A的真子集.4.已知集合B⊆A,如果元素a∉A,那么元素a∉B.

(√)5.任何一个集合都至少有2个子集.

(

✕)判断正误，正确的画“√”，错误的画“✕”.1|集合间关系的判断判断集合间关系的方法1.列举法:对于能用列举法表示的集合,先用列举法将两个(或多个)集合表示出来,

再通过对比两个(或多个)集合中的元素来判断其关系.2.元素特征法:弄清集合中元素的限制条件,再利用限制条件来判断集合间的关

系.即若x是集合A中的元素,则x满足集合A中的限制条件,由限制条件推断x是否满

足集合B中的限制条件,若能推出则A是B的子集,否则A不是B的子集;同理可判断

B是不是A的子集.3.图示法:利用数轴或Venn图表示集合,可直观地判断两个(或多个)集合间的关系.0,{0},⌀,{⌀}之间的关系(1)⌀不含任何元素,所以0不是它的元素.(2){0}表示只含有一个元素0的集合,所以0∈{0}.(3){⌀}并不是空集,{⌀}中有一个元素,这个元素就是⌀,即⌀∈{⌀}.又因为⌀是

任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,所以⌀⫋{⌀}.判断下列集合的关系:(1)A={1,2,3},B={x|(x-1)(x-2)(x-3)=0};(2)A={x|0<2x-1<1},B={x|1<3x+1<4};(3)A={x|x是文学作品},B={x|x是散文},C={x|x是叙事散文};(4)M=

x

x=m+

,m∈Z

,N=

x

x=

-

,n∈Z

,P=

x

x=

+

,k∈Z

.思路点拨(1)先确定集合B中的元素,再与集合A中的元素对比.(2)先确定集合A,B,再用数轴表示,即可得结果.(3)利用Venn图表示集合A,B,C间的关系,即可得结果.(4)先分析集合M,N,P的元素特征(也可用列举法),再判断集合M,N,P的关系.解析

(1)B={x|(x-1)(x-2)(x-3)=0}={1,2,3}=A.(2)A={x|0<2x-1<1}=

,B={x|1<3x+1<4}={x|0<x<1},用数轴表示集合A,B,如图所示,由图可知A⫋B.

(3)画出Venn图,可知C⫋B⫋A.(4)解法一:元素特征法.M=

=

=

,N=

=

=

,P=

=

,∴M⫋N=P.解法二:列举法.M=

,N=

,P=

,∴M⫋N=P.2|已知集合间的关系求参数已知集合A={3,1},B={m,1},若集合A,B相等,则可由集合间的关系得到集合的

元素之间的关系,进而可以求出参数m的值为3.问题1.已知集合A={2,-1},B={m2-m,-1},若A=B,如何求实数m的值?提示:由A=B得m2-m=2,即m2-m-2=0,解得m=2或m=-1.2.已知集合A={x|1≤x≤2},集合B={x|1≤x≤a,a≥1},若A⫋B,如何求a的取值范围?提示:若A⫋B,画出数轴:

则由数轴可知a>2.3.在问题2中,将条件改为“B⊆A”,又如何求a的取值范围?提示:若B⊆A,画出数轴:

则由数轴可知1≤a≤2.根据集合间的关系,求参数的值或取值范围的方法1.若集合是用列举法表示的,则根据集合间的关系,转化为方程(组)求解,同时注意

考虑元素的互异性;若集合是用不等式描述的,则利用数轴转化为不等式(组)求

解,同时还要注意验证端点值的取舍.2.涉及“A⊆B”或“A⫋B”的问题,若集合A中含有参数,通常要分A=⌀和A≠⌀

两种情况进行讨论,其中A=⌀的情况容易被忽略,应引起足够的重视.求满足下列条件的实数a的值或取值范围:(1)已知集合M={a-3,2a-1,a2+1},N={-2,4a-3,3a-1},M=N;(2)已知集合M={x|ax+2=0},N={x|x2-5x+6=0},M⊆N;(3)已知集合M={x|-3<x<4},N={x|2a-1<x<a+3},N⫋M;(4)(2020山东济宁高一上期中)已知集合M={x|x2-3x+2=0},N={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=

0},N⊆M.思路点拨分别根据集合间的关系列出关系式,求出a的值或取值范围.解析

(1)因为M=N,a2+1>0,所以a-3=-2或2a-1=-2.当a-3=-2,即a=1时,M={-2,1,2},N={-2,1,2},满足M=N;当2a-1=-2,即a=-

时,M=

,N=

,不满足M=N,舍去.故实数a的值为1.(2)由题意知N={2,3}.①当M=⌀时,a=0,满足M⊆N.②当M≠⌀,即a≠0时,M=

.因为M⊆N,所以-

=2或-

=3,即a=-1或a=-

.综上所述,a的取值范围为

.(3)①当N=⌀,即2a-1≥a+3时,a≥4,满足N⫋M.②当N≠⌀时,因为N⫋M,所以

或

解得-1≤a≤1.综上所述,a的取值范围是{a|-1≤a≤1或a≥4}.(4)因为M={x|x2-3x+2=0}={1,2},N⊆M,所以N=⌀或{1}或{2}或{1,2}.①当N=⌀时,Δ=4(a+1)2-4(a2-5)<0,解得a<-3.②当N={1}时,

无解.③当N={2}时,

解得a=-3.④当N={1,2}时,

无解.综上所述,a的取值范围是{a|a≤-3}.3|探究已知集合的子集个数如果一个集合有n(n∈N*)个元素,那么如何研究它的子集个数?问题1.已知集合A={a,b,c},集合A有几个子集?提示:集合A有8个子集.2.已知集合A={a,b,c},如何写出集合A的所有子集?提示:对于有限集的子集,通常按子集中元素个数的多少及集合中元素的先后顺

序来写.3.已知集合A={a,b,c},集合A的真子集有几个?非空真子集有几个?提示:集合A的真子集有23-1=7个,非空真子集有23-2=6个.

1.假设集合A中含有n(n∈N*)个元素,则:(1)A的子集个数是2n;(2)A的非空子集个数是2n-1;(3)A的真子集个数是2n-1;(4)A的非空真子集个数是2n-2.2.设有限集合A,B中分别含有m个,n个元素(m,n∈N*,m≤n),且A⊆C⊆B,则符合条

件的有限集C的个数为2n-m.3.求给定集合的子集的两个注意点:(1)按子集中元素个数的多少,以一定的顺序来写;(2)在写子集时要注意空集和集合本身也是该集合的子集.已知集合A={2,4,6,8,9},B={1,2,3,5,8},存在非空集合C,使C中每个元素都加上

2就变成了A的一个子集,且C