新教材高中数学第二章平面解析几何3圆及其方程3直线与圆的位置关系学案新人教B版选择性必修第一册

PAGEPAGE9直线与圆的位置关系课标解读课标要求素养要求1.能根据给定的直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系.⒉能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题1.直观想象——能借助图形理解直线与圆的位置关系及切线、弦长问题⒉数学运算——能利用代数运算解决直线和圆的方程问题自主学习·必备知识教材研习教材原句1.如图（1）所示，直线与圆有①两个公共点时，称直线与圆相交，且称直线为圆的②割线；如图（2）所示，直线与圆只有③一个公共点时，称直线与圆相切，且称直线为圆的④切线，称公共点为切点；如图（3）所示，直线与圆没有公共点时，称直线与圆⑤相离.2.几何法判断直线和圆的位置关系如图所示，如果⊙C的半径为r，圆心C到直线l的距离为d，则：直线l与⊙C相交⇔⑥d＜r；直线l与⊙C相切⇔d=r；直线l与⊙C相离⇔⑦d＞r.自主思考1.若直线与圆有公共点，则直线与圆是什么位置关系？答案：提示相交或相切2.直线l:x=0与圆x2答案：提示相交名师点睛1.代数法判断直线与圆的位置关系联立直线的方程与圆的方程组成方程组Ax+By+C=0(x-a)2+(y-b)2=r2消去y①Δ=0⇔直线与圆相切；②Δ=0⇔直线与圆相交；③Δ=0⇔直线与圆相离.2.判断直线与圆位置关系的注意点（1）利用代数法判断直线与圆的位置关系时，不必求出方程组的解，只需将直线方程代入到圆的方程中，并消去一个变量，得到关于x或y的一元二次方程，由Δ判断方程解的个数，利用解的个数判断直线与圆的位置关系.（2）利用几何法判断直线与圆的位置关系时，必须求出圆心坐标，圆的半径r和圆心到直线的距离d，比较r与d的大小，进而进行判断.（3）一般情况下，代数法运算比较烦琐，而几何法较简捷，是判断直线与圆位置关系的常用方法.互动探究·关键能力探究点一直线与圆位置关系的判断精讲精练例（1）（2021山东聊城高二期末）直线x-2y-1=0与圆x2A.相切B.相交且直线过圆心C.相交但直线不过圆心D.相离（2）（多选）已知圆M:(x+cosθ)A.对任意实数k和θ，直线l和圆M有公共点B.对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l与圆M相切C.对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l与圆M相切D.存在实数k与θ，使得圆M上有一点到直线l的距离为3答案：（1）C（2）A;C解析：（1）圆x2+y2=1因为圆心O(0,0)到直线x-2y-1=0的距离d=|0-0-1|所以直线与圆相交但直线不过圆心.（2）易知圆M:(x+cosθ)2+(y-设圆心M(-cosθ,sinθ)到直线l的距离为所以对于任意实数k，直线l与圆相交或相切，所以C正确，B不正确；易知圆上的点到直线l的距离最大值为d+1≤2，所以D不正确.解题感悟直线与圆的位置关系的判断方法：（1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.（2）代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断.（3）直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系.但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.迁移应用1.（2020宁夏青铜峡高级中学高二期中）直线3x+4y-13=0与圆(x-2)A.相交B.相离C.相切D.无法判定答案：A解析：圆(x-2)2+(y-3)2=4的圆心是(2,3)，半径2.（2020山东济南高二月考）直线y-x=0与圆(x-a)A.相交B.相切C.相离D.与a的取值有关答案：C解析：由(x-a)2+y2=14a探究点二直线与圆相切问题精讲精练例（1）（2021山东聊城高二期中）已知圆C与直线x+y+3=0相切，直线mx+y+1=0始终平分圆C的面积，则圆C的方程为()A.x2+C.x2+（2）过点A(4,-3)作圆(x-3)答案：（1）D解析：（1）在mx+y+1=0中，令x=0，则y=-1，则直线mx+y+1=0过定点(0,-1).由于直线mx+y+1=0始终平分圆C的面积，则点(0,-1)是圆C的圆心，因为圆C与直线x+y+3=0相切，所以圆C的半径r=所以圆C的方程为x2+(y+1)答案：（2）因为(4-3)2+(-3-1①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y+3=k(x-4)，即kx-y-4k-3=0.设圆的圆心为C，则C(3,1)，因为圆心到切线的距离等于半径1，所以|3k-1-3-4k|k2+1所以k2+8k+16=k所以切线方程为-158x-y+②若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x=4的距离为1，这时直线x=4与圆相切，切线方程为x=4.综上，所求切线的方程为15x+8y-36=0或x=4.变式若本例（2）的条件不变，求其切线长.答案：设圆的圆心为C，则C(3,1)，设切点为B，则△ABC为直角三角形，|AC|=(3-4)2则|AB|=|AC解题感悟1.求过一点P(x0,y2.一般地，圆的切线问题，若已知切点，则用k1⋅k2=-1（k1,迁移应用1.（2020山东潍坊高二月考）若圆x2+y2-2x+4y=3-2k-A.3或-1B.-3或1C.2或-1D.-2或1答案：B解析：易知圆的圆心坐标为(1,-2)，半径为8-2k-k因为圆x2+y所以|2-2+5|5=8-2k-k2，可得3-2k-2.（2021山西怀仁一中高二月考）过直线y=x上一点P引圆x2A.22B.322C.102D.2答案：C解析：圆x2+y若切线长最小，则直线y=x上的点P与圆心的连线与该直线垂直，易知圆心到直线y=x的距离d=3所以切线长的最小值为d2探究点三直线和圆相交精讲精练例（1）求直线l:3x+y-6=0被圆C:x2+（2）（2021山东滨州高二期中）在①圆经过C(3,4)；②圆心在直线x+y-2=0上；③圆截y轴所得弦长为8且圆心E的坐标为整数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，进行求解.已知圆E经过点A(-1,2),B(6,3)，且.（i）求圆E的方程；（ii）已知直线l经过点(-2,2)，直线l与圆E相交所得的弦长为8，求直线l的方程.答案：（1）解法一：由3x+y-6=0x2+y2∴弦AB的长为|AB|=(2-1解法二：由3x+y-6=0x2+y2设两交点A,B的坐标分别为(x1,则由根与系数的关系得x1∴|AB|=====10×(即弦AB解法三：圆C:x2+y2点(0,1)到直线l的距离d=|3×0+1-6|32+1（2）选条件①，（i）选条件①，设圆的方程为x2+解得D=-6,E=2,F=-15，所以圆的方程为x2即圆E的标准方程为(x-3)选条件②，（i）设圆的方程为x2因为圆E经过点A(-1,2),B(6,3)，且圆心在直线x+y-2=0上，所以5-D+2E+F=045+6D+3E+F=0-D所以圆E的方程为(x-3)2+(y+1)2=25.（ii）选条件①，设圆心到直线l的距离为d，则弦长L=2r当直线l的斜率不存在时，d=5≠3，所以直线l的斜率存在，设其方程为y-2=k(x+2)，即kx-y+2k+2=0，则d=|3k+1+2k+2|k2+1=3所以所求直线的方程为y=2或15x+8y+14=0.选条件②，（ii）解析同条件①.选条件③，（i）设圆E的方程为x2由圆E经过点A(-1,2),B(6,3)，得5-D+2E+F=0,因为圆截y轴所得弦长为8，故方程y2+Ey+F=0的两个实数根所以|y1-解方程组5-D+2E+F=045+6D+3E+F=0E2D=-206由于圆心E的坐标为整数，故圆E的方程为(x-3)（ii）解析同条件①.解题感悟求直线与圆相交所得弦长的两种常用方法：（1）几何法：直线l与圆C交于A,B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则|AB|=2r（2）代数法：设直线与圆的两交点分别是A(x则|BA|=(x1迁移应用1.若直线l:x-y+m=0被圆C:(x-1)2+(y-2A.5B.5或-3C.3D.3或-5答案：B解析：由题可知圆C的圆心坐标为(1,2)，半径r=23则圆心到直线的距离d=|m-1|2，∴d2=r2-22.（2021山东实验中学高二月考）已知圆C:(x-1)2+y2A.911B.921C.10答案：C解析：圆C:(x-1)2+y2=25的圆心∴最短弦的长为2r故所求四边形的面积S=1评价检测·素养提升课堂检测1.（2021辽宁抚顺第十二中学高二期中）直线ax-y+2a=0与圆x2A.相离B.相交C.相切D.不确定答案：B2.（2020山东青州一中高二期中）若圆心坐标为(2,-1)的圆被直线x-y-1=0截得的弦长为22A.(x-2)2C.(x-2)2答案：B3.过点(-3,-1)的直线l与圆x2+yA.433B.答案：D4.直线l:3x-4y+5=0截圆C:x答案：8素养演练1.数学建模——直线与圆的实际应用（2020江苏南通启东中学高二开学考试）树林的边界是直线l（如图CD所在的直线），一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于l的垂线AC上的A点和B点处，AB=BC=a（a为正常数），若兔子沿AD方向以速度2μ向树林逃跑，同时狼沿线段BM(M∈AD)方向以速度μ进行追击（μ为正常数），若狼到达M处的时间不超过兔子到达M处的时间，狼就会吃掉兔子.（1）求兔子的所有不幸点（即可能被狼吃掉的点）的区域面积S(a)；（2）若兔子要想不被狼吃掉，求θ(θ=∠DAC)的取值范围.解析：审：本题的解题关键是掌握圆的基础知识和点到直线的距离公式，及其圆在实际问题中的应用，考查了分析能力和计算能力.联：（1）兔子的不幸点满足BMμ≤AM2μ，即2BM≤AM，建立平面直角坐标系可求得（2）兔子要想不被狼吃掉，则兔子行进的路线与狼所在的区域不能有重叠，所以