新教材高中数学第二章平面解析几何加练课3对称及其应用学案新人教B版选择性必修第一册

PAGEPAGE7加练课3对称及其应用学习目标1.理解中心对称与轴对称的几何意义.2.掌握中心对称与轴对称问题的一般解法.3.能利用中心对称与轴对称的知识解决简单的应用问题.自主检测·必备知识一、概念辨析，判断正误1.如果两条直线的倾斜角互补，那么这两条直线关于x轴对称.(√)2.若点A，B关于直线l对称，则直线AB与直线l垂直.(×)3.若直线l1，l2关于直线l对称，则直线l1二、夯实基础，自我检测4.点(2,1)关于直线y=x对称的点的坐标为()A.(1,2)B.(1,3)C.(3,-1)D.(-1,3)答案：A5.与直线3x-4y+5=0关于坐标原点对称的直线的方程为()A.3x+4y-5=0B.3x+4y+5=0C.3x-4y+5=0D.3x-4y-5=0答案：D解析：设所求直线上任意一点的坐标为(x,y)，则关于原点对称的点的坐标为(-x,-y)，该点在已知的直线上，则-3x+4y+5=0，即3x-4y-5=0.6.已知点M(4,2)与N(2,4)关于直线l对称，则直线l的方程为()A.x+y+6=0B.x+y-6=0C.x+y=0D.x-y=0答案：D解析：∵M(4,2),N(2,4),∴线段MN的中点为(3,3),k∵M(4,2)与N(2,4)关于直线l对称，∴l过点(3,3)，且斜率为1，∴直线l的方程为y-3=x-3，即x-y=0，故选D.7.与直线2y-x+1=0关于y-x+3=0对称的直线的方程是()A.2x-y-8=0B.2x-y-10=0C.2x+y-12=0D.2x+y-10=0答案：A解析：设所求直线上任意一点P(x,y)，Q(x,y)是点P关于直线y-x+3=0的对称点，则y1-yx1-x=-1,y1+y2-互动探究·关键能力探究点一中心对称问题精讲精练例（1）求点P(x0,y0（2）求直线3x-y-4=0关于点(2,-1)的对称直线l的方程.答案：（1）根据题意可知点A(a,b)为线段PP设点P'的坐标为(x1,y所以点P'的坐标为(2a-（2）设直线l上任意一点M的坐标为(x，y)，则此点关于点(2，-1)的对称点为M1(4-x，-2-y)，且M1所以3(4-x)-(-2-y)-4=0，即3x-y-10=0.所以所求直线l的方程为3x-y-10=0.解题感悟中心对称问题的解法：（1）点关于点的对称问题：若两点A(x1,y1),B(x2（2）直线关于点的对称问题：若两条直线l1，l2关于点P对称，则：①l1上任意一点关于点P的对称点必在l2上，反过来，l2上任意一点关于点P的对称点必在l1上；②过点P作一直线与l1，l2分别交于A，B两点，则点P是线段AB的中点；③若迁移应用1.过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x+y-8=0和l2：x-3y+10=0截得的线段被点答案：x＋4y－4＝0解析：设l1与l的交点为A(a,8－2a)，点A关于点P的对称点为B(x,y)，则0=x+a2,1=y+8-2a2,解得x=-a,v=2a-6,则B(-a,2a-6)即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.探究点二轴对称问题精讲精练例（1）坐标原点(0,0)关于直线x-2y+2=0对称的点的坐标是()A.(-45C.(45（2）直线2x-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线的方程是.答案：（1）A（2）x-2y+3=0解析：（1）设对称点的坐标为(x0,y0)，则（2）设所求直线上任意一点P(x,y)，点P关于x-y+2=0的对称点为P'(x由x+x0∵点P'(x0,∴2(y-2)-(x+2)+3=0，即x-2y+3=0.∴所求直线的方程为x-2y+3=0.解题感悟轴对称问题的解法：（1）点关于直线的对称问题：求P(x0,y0)关于Ax＋By＋C＝0的对称点P'(x,y)，利用y-y0x-x0⋅-AB=-1,A⋅x0+x2+B⋅y0+y2+C=0可以求点P'的坐标.（2）直线关于直线的对称问题：若两条直线l1迁移应用1.若点A(3,4)关于直线l:y=kx的对称点在x轴上，则k的值是()A.12或-2B.-答案：A解析：∵点A(3,4)关于直线l:y=kx的对称点在x轴上，∴可设其对称点为(t,0).则4-03-t×k=-1，42=k⋅3+t2，消去t化为2.已知直线l:x-y-1=0，l1:2x-y-2=0.若直线l2与l1关于A.x+y-1=0B.x+2y-1=0C.x-2y-1=0D.x-2y+1=0答案：C解析：若直线l2与l1关于l对称，则直线l1，l的交点在直线l2上，设直线l1，l的交点为A在直线l1上任取一点(2,2)，易知其关于直线l对称的点为B(3,1)，则点B在直线l由A，B两点可知，直线l2的斜率k=则直线l2的方程为y-0=12探究点三对称的应用问题精讲精练例（1）（2021山东东营高二期末）设入射光线沿直线2x-y+1=0射向直线y=x，则被y=x反射后，反射光线所在的直线方程是()A.x-2y-1=0B.x-2y+1=0C.3x-2y+1=0D.x+2y+3=0（2）（2020福建泉州科技中学高二期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马，再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2≤3，若将军从点A.10-3C.25-答案：（1）A（2）C解析：（1）因为入射光线关于y=x的对称点都在反射光线上，所以在入射光线上任取点A(1,3)，B(0,1)，这两个点关于直线y=x的对称点是A'(3,1),B'(1,0)所以所求的直线方程是y-0=12(x-1)（2）设点A关于直线x+y=5的对称点为A'根据题意得A'易知AA'的中点为(a+32,b+12)，直线由{a+32+b+12∴A'(4,2)，则A则“将军饮马”的最短总路程为25解题感悟（1）求入射光线或反射光线所在直线的方程，其实质是两条直线关于某直线的对称问题，或者为点关于直线的对称问题；（2）“将军饮马”问题实质上是两点到直线上的点的距离之和的最小值问题，关键是能够利用点关于直线对称点的求解方法求得对称点，进而可知三点共线时，距离之和为最小值.迁移应用1.（2021山东临沂一中高二月考）光线沿着直线ax-y+2=0射到直线y=-x上，经反射后沿着直线3x+y-b=0射出，则()A.a=-13，b=6B.a=3C.a=3，b=-16D.a=-答案：D解析：易知点(0,2)在直线ax-y+2=0上，且点(0,2)关于直线y=-x对称的点为(-2,0)，所以点(-2,0)在直线3x+y-b=0上，即-6-b=0，解得b=-6.易知点(0,-6)在直线3x+y+6=0上，且点(0,-6)关于直线y=-x对称的点为(6,0)，则点(6,0)在直线ax-y+2=0上，即6a+2=0，解得a=-12.（2020山东青州第一中学高二月考）已知点A(-3,8)和B(2,2)，在x轴上求一点M，使得|AM|+|BM|最小，则点M的坐标为()A.(-1,0)B.(0,C.(22答案：D解析：找出点B关于x轴的对称点B'，连接AB'，与x轴交于M此时|AM|+|BM|最小，由B与B'关于x轴对称得B又A(-3,8)，所以直线AB'的方程为化简得y=-2x+2，令y=0，解得x=1，所以M(1,0)，故选D．评价检测·素养提升课堂检测1.已知点A(2,4)，B关于点P(0,-1)对称，则点B的坐标为()A.(1,32C.(-2,-6)D.(-6,-2)答案：C2.点A(0,-3)关于直线l:x+y-3=0对称的点的坐标为()A.(5,2)B.(6,3)C.(3,6)D.(6,-3)答案：B3.若光线从点P(-3,3)射到y轴上，经y轴反射后经过点Q(-1,-5)，则光线从点P到点Q走过的路程为()A.10B.5+17C.45答案：C素养演练数学运算——利用对称解决最值问题1.已知点A(3,0)，B(0,3)，M(1,0)，O为坐标原点，P,Q分别在线段AB，BO上运动，则△MPQ的周长的最小值为()A.4B.5C.25D.答案：C解析：易知过A(3,0)，B(0,3)两点的直线方程为x+y-3=0，设M(1,0)关于直线x+y-3=0对