新教材高中数学第二章平面解析几何8直线与圆锥曲线的位置关系第3课时定点定值与存在性问题训练含解析新人教B版选择性必修第一册_第1页
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PAGEPAGE3第3课时定点、定值与存在性问题基础达标练1.（2021山东淄博高二期中）已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点F在x轴上,抛物线C上一点P(4,m)到焦点F的距离为92（1）求抛物线C的标准方程;（2）设点M(-2,1),过点N(2,0)的直线l与抛物线C相交于A,B两点,记直线MA与直线MB的斜率分别为k1,k答案：（1）由题意,可设抛物线C：y2=2px(p＞0),则焦点F(p2,0),则|PF|=4+p2（2）证明：设过点N(2,0)的直线l：x=ty+2(t∈联立x=ty+2y2=2x消去x则y1∴因此,k1+k2.（2020江西南昌新建一中高二期中）已知抛物线C:y2=2px(p＞0)的焦点为F(1,0),O为坐标原点,A,B是抛物线C（1）求抛物线C的方程;（2）若直线OA,OB的斜率之积为-12,求证：直线答案：（1）因为抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为所以p2=1,即p=2,所以抛物线的方程为（2）①当直线AB的斜率不存在时,设A(t24,t),则B(t24,-t),所以A(8,t),B(8,-t),此时直线AB的方程为x=8,直线AB过定点(8,0).②当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=kx+b,k≠0,A(x由y2=4xy=kx+b得k因为直线OA,OB的斜率之积为-12即x1x解得y1y2所以4bk=-32,即b=-8k,所以直线AB的方程为y=kx-8k,即y=k(x-8),所以直线综上所述,直线AB过定点(8,0).3.已知点A(0,1)与B(3,12)都在椭圆C：x2a（1）求椭圆C的方程,并求点M的坐标;（2）设O为原点,点D与点B关于x轴对称,直线AD交x轴于点N,则在y轴上是否存在点E,使得∠OEM=∠ONE？若存在,求出点E的坐标;若不存在,说明理由.答案：（1）由题意得1b2=1,3a直线AB的方程为y-112-1令y=0,得x=23,所以M的坐标为(23（2）存在.因为点D与点B关于x轴对称,所以D(3所以k所以直线AD的方程为y=-3令y=0,得x=233假设存在点E(0,yE),使得∠OEM=∠ONE则|OM||OE|=|OE|则yE2=|x故在y轴上存在点E,使得∠OEM=∠ONE,且点E的坐标为(0,2)或(0,-2).素养提升练4.（2020山东潍坊高二期中）已知椭圆C:x2a2+y2（1）求椭圆C的方程;（2）设直线l过点(4,-2)且与椭圆C相交于A,B两点,l不经过点M.证明：直线MA的斜率与直线MB的斜率之和为定值.答案：（1）由题可得,e=ca=32（2）证明：易知直线l的斜率小于0,设直线l的方程为y+2=k(x-4),k＜0且k≠-1,A(联立y+2=k(

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