同济六版七版高等数学课件

同济六版七版高等数学课件第一页，共249页。数集分类:N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集数集间的关系:例如不含任何元素的集合称为空集.例如,规定空集为任何集合的子集.第二页，共249页。2.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.称为开区间,称为闭区间,第三页，共249页。称为半开区间,称为半开区间,有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.第四页，共249页。3.邻域:第五页，共249页。4.常量与变量:

在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意常量与变量是相对“过程”而言的.通常用字母a,b,c等表示常量,而数值变化的量称为变量.常量与变量的表示方法：用字母x,y,t等表示变量.第六页，共249页。5.绝对值:运算性质:绝对值不等式:第七页，共249页。因变量自变量数集D叫做这个函数的定义域二、函数概念第八页，共249页。自变量因变量对应法则f函数的两要素:定义域与对应法则.约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.第九页，共249页。定义:如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数．第十页，共249页。(1)符号函数几个特殊的函数举例1-1xyo第十一页，共249页。(2)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线第十二页，共249页。有理数点无理数点•1xyo(3)狄利克雷函数第十三页，共249页。(4)取最值函数yxoyxo第十四页，共249页。在自变量的不同变化范围中,

对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.第十五页，共249页。例1脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U与时间的函数关系式.解单三角脉冲信号的电压第十六页，共249页。第十七页，共249页。例2解故第十八页，共249页。三、函数的特性M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX1．函数的有界性:第十九页，共249页。2．函数的单调性:xyo第二十页，共249页。xyo第二十一页，共249页。3．函数的奇偶性:偶函数yxox-x第二十二页，共249页。奇函数yxox-x第二十三页，共249页。4．函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.第二十四页，共249页。直接函数与反函数的图形关于直线对称.四、反函数第二十五页，共249页。五、小结基本概念集合,区间,邻域,常量与变量,绝对值.函数的概念函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性.反函数第二十六页，共249页。思考题第二十七页，共249页。思考题解答设则故第二十八页，共249页。练习题第二十九页，共249页。第三十页，共249页。练习题答案第三十一页，共249页。一、基本初等函数1.幂函数第三十二页，共249页。2.指数函数第三十三页，共249页。3.对数函数第三十四页，共249页。4.三角函数正弦函数第三十五页，共249页。余弦函数第三十六页，共249页。正切函数第三十七页，共249页。余切函数第三十八页，共249页。正割函数第三十九页，共249页。余割函数第四十页，共249页。5.反三角函数第四十一页，共249页。第四十二页，共249页。第四十三页，共249页。

幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.第四十四页，共249页。二、复合函数初等函数1.复合函数定义:第四十五页，共249页。注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.2.初等函数

由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.第四十六页，共249页。例1解第四十七页，共249页。综上所述第四十八页，共249页。三、双曲函数与反双曲函数奇函数.偶函数.1.双曲函数第四十九页，共249页。奇函数,有界函数,第五十页，共249页。双曲函数常用公式第五十一页，共249页。2.反双曲函数奇函数,第五十二页，共249页。第五十三页，共249页。奇函数,第五十四页，共249页。四、小结函数的分类:函数初等函数非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)代数函数超越函数有理函数无理函数有理整函数(多项式函数)有理分函数(分式函数)第五十五页，共249页。思考题第五十六页，共249页。思考题解答不能．第五十七页，共249页。一、填空题:练习题第五十八页，共249页。第五十九页，共249页。练习题答案第六十页，共249页。第六十一页，共249页。“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：播放——刘徽一、概念的引入第六十二页，共249页。正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积第六十三页，共249页。2、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”第六十四页，共249页。二、数列的定义例如第六十五页，共249页。注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数第六十六页，共249页。播放三、数列的极限第六十七页，共249页。问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.通过上面演示实验的观察:第六十八页，共249页。第六十九页，共249页。如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：第七十页，共249页。几何解释:其中第七十一页，共249页。数列极限的定义未给出求极限的方法.例1证所以,注意：第七十二页，共249页。例2证所以,说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.第七十三页，共249页。例3证第七十四页，共249页。例4证第七十五页，共249页。四、数列极限的性质1.有界性例如,有界无界第七十六页，共249页。定理1收敛的数列必定有界.证由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.第七十七页，共249页。2.唯一性定理2每个收敛的数列只有一个极限.证由定义,故收敛数列极限唯一.第七十八页，共249页。例5证由定义,区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内.第七十九页，共249页。3.(收敛数列与其子数列间的关系)如果数列收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a第八十页，共249页。五.小结数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想,精确定义,几何意义;收敛数列的性质:有界性唯一性.第八十一页，共249页。思考题证明要使只要使从而由得取当时，必有成立第八十二页，共249页。思考题解答~（等价）证明中所采用的实际上就是不等式即证明中没有采用“适当放大”的值第八十三页，共249页。从而时，仅有成立，但不是的充分条件．反而缩小为第八十四页，共249页。练习题第八十五页，共249页。“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入第八十六页，共249页。三、数列的极限第八十七页，共249页。三、数列的极限第八十八页，共249页。三、数列的极限第八十九页，共249页。三、数列的极限第九十页，共249页。三、数列的极限第九十一页，共249页。三、数列的极限第九十二页，共249页。三、数列的极限第九十三页，共249页。三、数列的极限第九十四页，共249页。三、数列的极限第九十五页，共249页。三、数列的极限第九十六页，共249页。三、数列的极限第九十七页，共249页。三、数列的极限第九十八页，共249页。三、数列的极限第九十九页，共249页。播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限第一百页，共249页。通过上面演示实验的观察:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”.第一百零一页，共249页。第一百零二页，共249页。2.另两种情形:第一百零三页，共249页。3.几何解释:第一百零四页，共249页。例1证第一百零五页，共249页。二、自变量趋向有限值时函数的极限第一百零六页，共249页。第一百零七页，共249页。2.几何解释:注意：第一百零八页，共249页。例2证例3证第一百零九页，共249页。例4证函数在点x=1处没有定义.第一百一十页，共249页。例5证第一百一十一页，共249页。3.单侧极限:例如,第一百一十二页，共249页。左极限右极限第一百一十三页，共249页。左右极限存在但不相等,例6证第一百一十四页，共249页。三、函数极限的性质1.有界性2.唯一性第一百一十五页，共249页。推论3.不等式性质定理(保序性)第一百一十六页，共249页。定理(保号性)推论第一百一十七页，共249页。4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)定义定理第一百一十八页，共249页。证第一百一十九页，共249页。例如,函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.第一百二十页，共249页。例7证第一百二十一页，共249页。二者不相等,第一百二十二页，共249页。四、小结函数极限的统一定义(见下表)第一百二十三页，共249页。过程时刻从此时刻以后过程时刻从此时刻以后第一百二十四页，共249页。思考题第一百二十五页，共249页。思考题解答左极限存在,右极限存在,不存在.第一百二十六页，共249页。一、填空题:练习题第一百二十七页，共249页。第一百二十八页，共249页。练习题答案第一百二十九页，共249页。一、自变量趋向无穷大时函数的极限第一百三十页，共249页。一、自变量趋向无穷大时函数的极限第一百三十一页，共249页。一、自变量趋向无穷大时函数的极限第一百三十二页，共249页。一、自变量趋向无穷大时函数的极限第一百三十三页，共249页。一、自变量趋向无穷大时函数的极限第一百三十四页，共249页。一、自变量趋向无穷大时函数的极限第一百三十五页，共249页。一、自变量趋向无穷大时函数的极限第一百三十六页，共249页。一、自变量趋向无穷大时函数的极限第一百三十七页，共249页。一、自变量趋向无穷大时函数的极限第一百三十八页，共249页。一、无穷小1.定义:极限为零的变量称为无穷小.第一百三十九页，共249页。例如,注意1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数.第一百四十页，共249页。2.无穷小与函数极限的关系:证必要性充分性第一百四十一页，共249页。意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);3.无穷小的运算性质:定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.证第一百四十二页，共249页。注意

无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.第一百四十三页，共249页。定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证第一百四十四页，共249页。推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小第一百四十五页，共249页。二、无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.第一百四十六页，共249页。特殊情形：正无穷大，负无穷大．注意1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.第一百四十七页，共249页。不是无穷大．无界，第一百四十八页，共249页。证第一百四十九页，共249页。三、无穷小与无穷大的关系定理4在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证第一百五十页，共249页。意义

关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.第一百五十一页，共249页。四、小结1、主要内容:两个定义;四个定理;三个推论.2、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3）无界变量未必是无穷大.第一百五十二页，共249页。思考题第一百五十三页，共249页。思考题解答不能保证.例有第一百五十四页，共249页。一、填空题:练习题第一百五十五页，共249页。第一百五十六页，共249页。练习题答案第一百五十七页，共249页。一、极限运算法则定理证由无穷小运算法则,得第一百五十八页，共249页。第一百五十九页，共249页。推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论2有界，第一百六十页，共249页。二、求极限方法举例例1解第一百六十一页，共249页。小结:第一百六十二页，共249页。解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例2第一百六十三页，共249页。解例3(消去零因子法)第一百六十四页，共249页。例4解(无穷小因子分出法)第一百六十五页，共249页。小结:无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.第一百六十六页，共249页。例5解先变形再求极限.第一百六十七页，共249页。例6解第一百六十八页，共249页。例7解左右极限存在且相等,第一百六十九页，共249页。三、小结1.极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.第一百七十页，共249页。思考题

在某个过程中，若有极限，无极限，那么是否有极限？为什么？第一百七十一页，共249页。思考题解答没有极限．假设有极限，有极限，由极限运算法则可知：必有极限，与已知矛盾，故假设错误．第一百七十二页，共249页。一、填空题:练习题第一百七十三页，共249页。二、求下列各极限:第一百七十四页，共249页。第一百七十五页，共249页。练习题答案第一百七十六页，共249页。一、无穷小的比较例如,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.不可比.观察各极限第一百七十七页，共249页。定义:第一百七十八页，共249页。例1解例2解第一百七十九页，共249页。常用等价无穷小:用等价无穷小可给出函数的近似表达式:例如,第一百八十页，共249页。二、等价无穷小替换定理(等价无穷小替换定理)证第一百八十一页，共249页。例3解不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换.注意第一百八十二页，共249页。例4解解错第一百八十三页，共249页。例5解第一百八十四页，共249页。三、小结1.无穷小的比较:反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.2.等价无穷小的替换:

求极限的又一种方法,注意适用条件.高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶.第一百八十五页，共249页。思考题任何两个无穷小量都可以比较吗？第一百八十六页，共249页。思考题解答不能．例当时都是无穷小量但不存在且不为无穷大故当时第一百八十七页，共249页。练习题第一百八十八页，共249页。第一百八十九页，共249页。第一百九十页，共249页。练习题答案第一百九十一页，共249页。第一百九十二页，共249页。一、函数的连续性1.函数的增量第一百九十三页，共249页。2.连续的定义第一百九十四页，共249页。第一百九十五页，共249页。例1证由定义2知第一百九十六页，共249页。3.单侧连续定理第一百九十七页，共249页。例2解右连续但不左连续,第一百九十八页，共249页。4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如,第一百九十九页，共249页。例3证第二百页，共249页。二、函数的间断点第二百零一页，共249页。1.跳跃间断点例4解第二百零二页，共249页。2.可去间断点例5第二百零三页，共249页。解注意

可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.第二百零四页，共249页。如例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点第二百零五页，共249页。3.第二类间断点例6解第二百零六页，共249页。例7解注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点.第二百零七页，共249页。狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.仅在x=0处连续,其余各点处处间断.★★第二百零八页，共249页。在定义域R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.★判断下列间断点类型:第二百零九页，共249页。例8解第二百一十页，共249页。三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点(见下图)第二百一十一页，共249页。可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx第二百一十二页，共249页。思考题第二百一十三页，共249页。思考题解答且第二百一十四页，共249页。但反之不成立.例但第二百一十五页，共249页。练习题第二百一十六页，共249页。第二百一十七页，共249页。练习题答案第二百一十八页，共249页。第二百一十九页，共249页。一、四则运算的连续性定理1例如,第二百二十页，共249页。二、反函数与复合函数的连续性定理2严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.例如,反三角函数在其定义域内皆连续.第二百二十一页，共249页。定理3证第二百二十二页，共249页。将上两步合起来:第二百二十三页，共249页。意义1.极限符号可以与函数符号互换;例1解第二百二十四页，共249页。例2解同理可得第二百二十五页，共249页。定理4注意定理4是定理3的特殊情况.例如,第二百二十六页，共249页。三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★★★第二百二十七页，共249页。定理5基本初等函数在定义域内是连续的.★(均在其定义域内连续)定理6一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.第二百二十八页