同济第七版高等数学总复习

同济第七版高等数学总复习第一页，共118页。1可分离变量的微分方程分离变量法2齐次方程2第二页，共118页。3第三页，共118页。3一阶线性微分方程4第四页，共118页。高阶微分方程1、可降阶的高阶微分方程的解法型接连积分n次，得通解．型代入原方程,得5第五页，共118页。型代入原方程,得6第六页，共118页。2、线性微分方程解的结构（1）二阶齐次线性方程解的结构:（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:7第七页，共118页。解的叠加原理8第八页，共118页。特征方程为3、二阶常系数齐次线性方程解法二阶常系数齐次线性方程9第九页，共118页。特征方程为推广：

阶常系数齐次线性方程解法特征方程的根通解中的对应项10第十页，共118页。4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性方程解法

待定系数法.11第十一页，共118页。12第十二页，共118页。向量的分解式：在三个坐标轴上的分向量：向量的坐标表示式：向量的坐标：1、向量的坐标表示法（一）向量代数第八章空间解析几何与向量代数13第十三页，共118页。向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式14第十四页，共118页。向量模长的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式15第十五页，共118页。它们距离为两点间距离公式:16第十六页，共118页。2、数量积(点积、内积)数量积的坐标表达式两向量夹角余弦的坐标表示式17第十七页，共118页。3、向量积(叉积、外积)向量积的坐标表达式18第十八页，共118页。方程特点:1.旋转曲面（二）空间解析几何19第十九页，共118页。旋转单叶双曲面旋转双叶双曲面20第二十页，共118页。xyz旋转抛物面oyzx21第二十一页，共118页。旋转椭球面ozyx22第二十二页，共118页。（2）圆锥面（1）球面（3）旋转双曲面23第二十三页，共118页。2.柱面定义：平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称之.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.24第二十四页，共118页。从柱面方程(的特征:二元方程)看柱面的特征：（其他类推）实例椭圆柱面母线//轴双曲柱面母线//轴抛物柱面母线//轴25第二十五页，共118页。抛物柱面xyzxyz椭圆柱面双曲柱面xyz26第二十六页，共118页。3.二次曲面定义:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.（1）椭球面（2）椭圆抛物面27第二十七页，共118页。特殊地：当时，方程变为旋转抛物面（由面上的抛物线绕它的轴旋转而成的）28第二十八页，共118页。（3）马鞍面（4）单叶双曲面（5）圆锥面29第二十九页，共118页。4.空间曲线[1]空间曲线的一般方程[2]空间曲线的参数方程30第三十页，共118页。CCC关于的投影柱面C在上的投影曲线Oxzy设曲线则C关于xoy面的投影柱面方程应为消z后的方程：所以C在xoy面上的投影曲线的方程为：[3]空间曲线在坐标面上的投影31第三十一页，共118页。5.平面[1]平面的点法式方程[2]平面的一般方程[3]平面的截距式方程32第三十二页，共118页。[4]平面的夹角[5]两平面位置特征：//重合33第三十三页，共118页。6.空间直线[1]空间直线的一般方程34第三十四页，共118页。[3]空间直线的参数方程[2]空间直线的对称式方程35第三十五页，共118页。直线直线^两直线的夹角公式[4]两直线的夹角36第三十六页，共118页。[5]两直线的位置关系：//[6]直线与平面的夹角//37第三十七页，共118页。直线与平面的夹角公式[7]直线与平面的位置关系//38第三十八页，共118页。[8]点到平面距离公式比较中学所学的点到直线的距离公式:39第三十九页，共118页。6.平面束定义:通过两相交平面交线的所有平面称为由这两个平面确定的平面束.设平面40第四十页，共118页。1、偏导数概念第九章多元函数微分法及其应用41第四十一页，共118页。42第四十二页，共118页。2、全微分公式用定义证明可微与不可微的方法可微不可微43第四十三页，共118页。多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导有极限3、关系44第四十四页，共118页。4、多元复合函数求导法则定理1

若函数在点处偏导连续,在点t可导,则复合函数且有链式法则中间变量均为一元函数的情形在点t处可导，公式的记忆方法：连线相乘，分线相加.45第四十五页，共118页。5、全微分形式不变性无论是自变量的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的.46第四十六页，共118页。定理1设函数单值连续函数y=f(x),并有连续(隐函数求导公式)①具有连续的偏导数;的某邻域内可唯一确定一个的某一邻域内满足②③满足条件导数在点则方程在点6、隐函数的求导法则47第四十七页，共118页。定理2的某邻域内具有连续偏导数;则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数z=f(x,y),满足①在点若函数满足:②③某一邻域内可唯一确48第四十八页，共118页。定理3的某一邻域内具有连续偏导数设函数则方程组③的单值连续函数计算偏导数按直接法求解.①在点②的某一邻域内可唯一确定一组满足条件满足:在点49第四十九页，共118页。7、微分法在几何上的应用切线方程为法平面方程为(1)空间曲线的切线与法平面(关键:抓住切向量)50第五十页，共118页。1）空间曲线方程为法平面方程为特殊地：(取为参数)51第五十一页，共118页。2）空间曲线方程为(取为参数)切线方程为法平面方程为52第五十二页，共118页。(２)曲面的切平面与法线

切平面方程为法线方程为(关键:抓住法向量)53第五十三页，共118页。曲面在M处的切平面方程为曲面在M处的法线方程为令则（特殊情形）54第五十四页，共118页。8、方向导数记为（1）方向导数的定义及存在的充分条件55第五十五页，共118页。三元函数方向导数的定义方向导数的存在性及其计算方法:定理那么函数在该点沿任一方向的方向导数存在,且有56第五十六页，共118页。说明:可微沿任一方向的方向导数存在.反之不一定成立.(2)梯度的概念记为

57第五十七页，共118页。梯度与方向导数的关系58第五十八页，共118页。则称函数在该点取得极大值极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的(极小值).定义:若函数在点的某邻域内有（1)二元函数极值的定义点称为极值点.9、多元函数的极值59第五十九页，共118页。定理1

(必要条件)偏导数,且在该点取得极值,则有（2）多元函数取得极值的条件函数在点存在说明:驻点极值点(可导函数)注意：使偏导数都为0的点称为驻点.

1.驻点2.偏导中至少有一个不存在的点.所以,可疑极值点是:60第六十页，共118页。时,具有极值定理2(充分条件)一阶和二阶连续偏导数,且令则:(1)当A<0时取极大值;A>0时取极小值.(2)当(3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数点的某邻域内具有(按极值定义来判定)61第六十一页，共118页。第四步求出极值.62第六十二页，共118页。(3)多元函数的最值a.最值的存在性：如函数b.有界闭区域D上连续函数的最值的求法与步骤：（1）找最值可疑点D内的驻点及不可导点边界上的可能极值点（2）比较以上各点处的函数值，最大（小）者即为所求的最大（小）值.（假定函数在D有有限个可疑点）定理：若f(P)在有界闭域D上连续,则在D上可取得最大值M及最小值m.63第六十三页，共118页。特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,为极小值为最小值(大)(大)

求二元函数在闭区域D上的最值,往往比较复杂.但如果根据问题的实际意义,知道函数在D内存在最值,又知函数在D内可微,且只有唯一驻点,则该点处的函数值就是所求的最值.★函数的最值应用问题的解题步骤：第二步判别•比较驻点及边界点上函数值的大小•根据问题的实际意义确定最值第一步找目标函数,确定定义域(及约束条件)64第六十四页，共118页。（4）条件极值：对自变量有附加条件的极值．65第六十五页，共118页。则（）处连续；例设处的两个偏导数都存在，(3)66第六十六页，共118页。２、二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．当被积函数有正有负时，二重积分是柱体体积的代数和.1、二重积分的定义第十章67第六十七页，共118页。3、二重积分的计算［X－型］

X-型区域的特点：

穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.（１）直角坐标系下68第六十八页，共118页。

Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.［Y－型］69第六十九页，共118页。求二重积分的方法步骤:1.作图求交点；2.选择积分次序；4.计算.(先内积分后外积分;计算内积分时把在累次积分不易积或不能积时,应考虑交换积分次序.(把D写成不等式形式)；外积分变量看成常数)3.确定积分限70第七十页，共118页。1、选择积分次序(1)首先被积函数要易积分，能积分；(2)积分区域D尽量少分块.2、确定积分限计算二重积分的两个关键：内限—平行线穿越法.外限—投影法；71第七十一页，共118页。（2）极坐标系下72第七十二页，共118页。2、定限方法内限（的限）——射线穿越法.外限（的限）——看夹在那两条射线之间；利用极坐标计算二重积分应注意：积分次序——先ρ后1、何时用极坐标？1、当积分区域为圆域或其一部分时；2、被积函数中含有或时.3、用直角坐标求不出的积分.73第七十三页，共118页。4、二重积分的应用(1)体积设S曲面的方程为：曲面S的面积为(2)曲面积设上连续，曲顶柱体顶——被积函数；底——积分区域.(3)求质量74第七十四页，共118页。6、三重积分的几何意义7、三重积分的性质类似于二重积分的性质．5、三重积分的定义75第七十五页，共118页。8、三重积分的计算(１)直角坐标（截面法）（先一后二法）76第七十六页，共118页。(２)柱面坐标77第七十七页，共118页。积分次序：定限方法内限—平行线穿越法；外积分区域—投影法.（可用极坐标计算时的定限法）78第七十八页，共118页。9、三重积分的应用(3)质心(1)求体积(2)求质量79第七十九页，共118页。弧微分设L：（1）对弧长（第一类）1.曲线积分的计算——化为定积分计算第十一章曲线、曲面积分80第八十页，共118页。（2）对坐标（第二类）设L：有方向81第八十一页，共118页。2．曲面积分的计算（化为二重积分）若（1）对面积（第一类）的曲面积分向xoy面的投影为则投影投影82第八十二页，共118页。（2）对坐标（第二类）的曲面积分若上侧，则若下侧，则有方向83第八十三页，共118页。3.格林公式----平面上曲线积分与二重积分的关系4.曲线积分与路径无关的条件L取正向.以及等价关系.设有界闭区域D由分段光滑的曲线L围成,84第八十四页，共118页。5.高斯公式——曲面积分与三重积分的关系85第八十五页，共118页。6.两类积分之间的关系：的法向量L的切向量曲线:曲面:86第八十六页，共118页。三.两类曲线(曲面)积分的典型问题一般曲线积分化成定积分计算，一般曲面积分化成二重积分计算，封闭曲线的积分利用格林公式化为二重积分.封闭曲面的积分利用高斯公式化为三重积分.87第八十七页，共118页。第一类曲线积分的求法1.基本方法：由积分曲线的表达式求出弧微分元素，定积分定限：下限小于上限.将积分曲线代入被积函数，88第八十八页，共118页。2.利用积分性质:解3.计算中注意利用对称性:奇偶性、轮换性89第八十九页，共118页。因为积分曲线L关于y轴对称，函数2xcosy是例设L为椭圆其周长为a，求解原式=x的奇函数，因此有而所以90第九十页，共118页。第二类曲线积分的求法1.基本方法：由积分曲线的表达式确定定积分的积分变量，将积分曲线代入被积表达式，定积分定限：起点对应下限，终点对应上限.91第九十一页，共118页。2.利用格林公式(1)积分曲线为封闭曲线,直接化为二重积分（满足定理条件）(2)积分曲线为非封闭曲线,添加曲线(较简单)使之成为封闭曲线,原曲线积分化为一个二重积分减去在添加曲线上的曲线积分.92第九十二页，共118页。记L所围的区域为D，易知D是边长为的正方形区域.例1设L为的反时针方向，则(A)0；(B)2；(C)4；(D)1．解由已知，则由格林公式，得B93第九十三页，共118页。解

为用格林公式,它与L所围区域为D,

则原式添加辅助线段94第九十四页，共118页。原式95第九十五页，共118页。3.利用曲线积分与路径无关的条件(1)改变原积分路径，使得原积分简化.(2)已知是某函数的全微分，求出该函数，即96第九十六页，共118页。97第九十七页，共118页。4.有奇点的曲线积分例4设取逆时针方向，求解取构造l：顺时针已知98第九十八页，共118页。于是，由格林公式99第九十九页，共118页。第一类曲面积分的求法由积分曲面表达式确定曲面向一坐标面投影，将积分曲面代入被积函数，求出曲面面积元素向xoy面投影：1.基本方法：100第一百页，共118页。2.计算中注意利用对称性:奇偶性、轮换性关于xoy面对称，被积函数是z的偶