新版初中数学2023中考数学总复习：分式-人教版

第3讲分式分式的概念分式概念形如eq\f(A,B)(A、B是整式，B中含有①________，且B≠0)的式子叫做分式.有意义的条件分母不为0.值为零的条件分子为0，且分母不为0.分式的根本性质分式的基本性质eq\f(A,B)＝eq\f(A×M,B×M)，eq\f(A,B)＝eq\f(A÷M,B÷M)(M是不为零的整式).约分把分式的分子和分母中的②________约去，叫做分式的约分.通分根据分式的③________，把异分母的分式化为④________的分式，这一过程叫做分式的通分.分式的运算分式的乘除法eq\f(a,b)·eq\f(c,d)＝eq\f(ac,bd)，eq\f(a,b)÷eq\f(c,d)＝eq\f(a,b)·eq\f(d,c)＝eq\f(ad,bc).分式的乘方(eq\f(a,b))n＝eq\f(an,bn)(n为整数).分式的加减法eq\f(a,c)±eq\f(b,c)＝eq\f(a±b,c)，eq\f(a,b)±eq\f(c,d)＝eq\f(ad±bc,bd).分式的混合运算在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算．遇到有括号，先算括号里面的.【易错提示】分式运算的结果一定要化成最简分式．1．乘方时一定要先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负．2．在分式的加减运算中，如需要通分时，一定要先把分母可以分解因式的多项式分解因式后再找最简公分母，分式的乘除运算中，需要约分时，也要先把可以分解因式的多项式先分解因式再约分．命题点1分式有意义、值为零的条件(2023·乐山)当分式eq\f(1,x－2)有意义时，x的取值范围为________．当分式的分母为零时，分式无意义；当分式的分母不为零时，分式有意义；当分式的分子为零，且分式的分母不为零时，分式的值为零．1．当分式eq\f(1,x＋5)有意义时，x的取值范围为________．2．(2023·攀枝花)假设分式eq\f(x2－1,x＋1)的值为0，那么实数x的值为________．3．(2023·凉山)分式eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))－3,x＋3)的值为零，那么x的值为()A．3 B．－3C．±3 D．任意实数命题点2分式的运算(2023·广元)先化简：(eq\f(2x2＋2x,x2－1)－eq\f(x2－x,x2－2x＋1))÷eq\f(x,x＋1)，然后解答以下问题：(1)当x＝3时，求原代数式的值；(2)原代数式的值能等于－1吗？为什么？【思路点拨】(1)先进行括号内的异分母加减运算，再进行分式的除法运算；最后代数求值；(2)先假设原代数式的值等于－1，即是原式化简后的值为1，求出未知数x的值，再看x的值能否使原代数式有意义，假设有意义，那么能；否那么不能．【解答】分式运算的常见技巧有：(1)式子中的某些分式的分子、分母能约分的可先约分，再按运算法那么计算化简；(2)当括号外的因式与括号内的分母能约分时，可依照分配律先去括号，再化简计算．对于分式化简求值题目，还必须注意一点：未知数的取值不仅要使得所有分式的分母不为零，而且还要使除式的分子不为零，如本例第(2)小题．1．(2023·绍兴)化简eq\f(x2,x－1)＋eq\f(1,1－x)的结果是()A．x＋1 B.eq\f(1,x＋1)C．x－1 D.eq\f(x,x－1)2．(2023·成都)化简：(eq\f(a,a＋2)＋eq\f(1,a2－4))÷eq\f(a－1,a＋2).3．(2023·乐山)化简求值：eq\f(2a,a2－4)÷(eq\f(a2,a－2)－a)，其中a＝eq\r(3)－2.1．(2023·丽水)分式－eq\f(1,1－x)可变形为()A．－eq\f(1,x－1) B.eq\f(1,1＋x)C．－eq\f(1,1＋x) D.eq\f(1,x－1)2．(2023·温州)要使分式eq\f(x＋1,x－2)有意义，那么x的取值应满足()A．x≠2 B．x≠－1C．x＝2 D．x＝－13．(2023·毕节)假设分式eq\f(x2－1,x－1)的值为零，那么x的值为()A．0 B．1C．－1 D．±14．(2023·山西)化简eq\f(a2＋2ab＋b2,a2－b2)－eq\f(b,a－b)的结果是()A.eq\f(a,a－b) B.eq\f(b,a－b)C.eq\f(a,a＋b) D.eq\f(b,a＋b)5．(2023·上海)如果分式eq\f(2x,x＋3)有意义，那么x的取值范围是________．6．当x＝________时，代数式eq\f(1,|x|－1)无意义．7．(2023·绥化)假设代数式eq\f(x2－5x＋6,2x－6)的值等于0，那么x＝________．8．(2023·无锡)化简eq\f(2x＋6,x2－9)得________．9．(2023·临沂)计算：eq\f(a,a＋2)－eq\f(4,a2＋2a)＝________．10．(2023·广安)化简(1－eq\f(1,x－1))÷eq\f(x－2,x2－2x＋1)的结果是________．11．(2023·眉山)计算：eq\f(x2－1,x2－2x＋1)÷eq\f(x2＋x,x－1).12．(2023·巴中)化简：eq\f(2a,a＋1)－eq\f(2a－4,a2－1)÷eq\f(a－2,a2－2a＋1).13．(2023·宜宾)化简：(eq\f(1,a－1)－eq\f(1,a2－1))÷eq\f(a2－a,a2－1).14．(2023·南充)计算：(a＋2－eq\f(5,a－2))·eq\f(2a－4,3－a).15．(2023·资阳)先化简，再求值：(eq\f(1,x－1)－eq\f(1,x＋1))÷eq\f(x＋2,x2－1)，其中x满足2x－6＝0.16．(2023·泰州)a2＋3ab＋b2＝0(a≠0，b≠0)，那么代数式eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)的值等于________．17．(2023·凉山)先化简：(eq\f(x＋1,x－1)＋1)÷eq\f(x2＋x,x2－2x＋1)＋eq\f(2－2x,x2－1)，然后从－2≤x≤2的范围内选取一个适宜的整数作为x的值代入求值．18．(2023·达州)化简eq\f(a,a2－4)·eq\f(a＋2,a2－3a)－eq\f(1,2－a)，并求值，其中a与2、3构成△ABC的三边，且a为整数．参考答案考点解读考点1①字母考点2②公因式③根本性质④同分母各个击破例1x≠2题组训练1.x≠－52.13.A例2(1)原式＝[eq\f(2x〔x＋1〕,〔x＋1〕〔x－1〕)－eq\f(x〔x－1〕,〔x－1〕2)]·eq\f(x＋1,x)＝(eq\f(2x,x－1)－eq\f(x,x－1))·eq\f(x＋1,x)＝eq\f(x,x－1)·eq\f(x＋1,x)＝eq\f(x＋1,x－1).当x＝3时，原式＝eq\f(3＋1,3－1)＝2.(2)如果eq\f(x＋1,x－1)＝－1，那么x＋1＝1－x，解得x＝0，当x＝0时，除式eq\f(x,x＋1)＝0，原式无意义，故原代数式的值不能等于－1.题组训练1.A2.原式＝(eq\f(a2－2a,a2－4)＋eq\f(1,a2－4))·eq\f(a＋2,a－1)＝eq\f(〔a－1〕2,〔a＋2〕〔a－2〕)·eq\f(a＋2,a－1)＝eq\f(a－1,a－2).3.原式＝eq\f(2a,〔a＋2〕〔a－2〕)÷eq\f(a2－a〔a－2〕,a－2)＝eq\f(2a,〔a＋2〕〔a－2〕)·eq\f(a－2,2a)＝eq\f(1,a＋2).当a＝eq\r(3)－2时，原式＝eq\f(1,\r(3)－2＋2)＝eq\f(\r(3),3).整合集训根底过关1．D2.A3.C4.A5.x≠－36.±17.28.eq\f(2,x－3)9.eq\f(a－2,a)10．x－111.原式＝eq\f(〔x＋1〕〔x－1〕,〔x－1〕2)·eq\f(x－1,x〔x＋1〕)＝eq\f(1,x).12.原式＝eq\f(2a,a＋1)－eq\f(2〔a－2〕,〔a＋1〕〔a－1〕)·eq\f(〔a－1〕2,a－2)＝eq\f(2a,a＋1)－eq\f(2〔a－1〕,〔a＋1〕)＝eq\f(2,a＋1).13.原式＝[eq\f(a＋1,〔a－1〕〔a＋1〕)－eq\f(1,〔a－1〕〔a＋1〕)]·eq\f(〔a－1〕〔a＋1〕,a〔a－1〕)＝eq\f(a,〔a－1〕〔a＋1〕)·eq\f(〔a－1〕〔a＋1〕,a〔a－1〕)＝eq\f(1,a－1).14.原式＝eq\f(〔a＋2〕〔a－2〕－5,a－2)·eq\f(2〔a－2〕,3－a)＝eq\f(〔a＋3〕〔a－3〕,a－2)·eq\f(2〔a－2〕,3－a)＝－2(a＋3)＝－2a－6.15.原式＝[eq\f(x＋1,〔x－1〕〔x＋1〕)－eq\f(x－1,〔x－1〕〔x＋1〕)]÷eq\f(x＋2,x2－1)＝eq\f(2,〔x－1〕〔x＋1〕)·eq\f(〔x－1〕〔x＋1〕,x＋2)＝eq\f(2,x＋2).∵2x－6＝0，∴x＝3.当x＝3时，原式＝eq\f(2,5).能力提升16．－317.原式＝(eq\f(x＋1,x－1)＋eq\f(x－1,x－1))·eq\f(〔x－1〕2,x〔x＋1〕)＋eq\f(2〔1－x〕,〔x＋1〕〔x－1〕)＝eq\f(2x,x－1)·eq\f(〔x－1〕2,x〔x＋1〕)－eq\f(2,x＋1)＝eq\f(2〔x－1〕,x＋1)－eq\f(2,x＋1)＝eq\f(2x－4,x＋1).满足－2≤x≤2的整数有：－2、－1、0、1、2，但是，x＝－1、0、1时，原式无意义，∴x＝－2或2.当x＝－2时，原式＝eq\f(2×〔－2〕－4,－2＋1)＝eq\f(－8,－1)＝8；当x＝2时，原式＝eq\f(2×2－4,2＋1)＝