专题14 几何探究题(针对训练)(原卷版)

1.(2021•南昌模拟)定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”.例如：四边形ABCD中，若ZA+ZC=180°或ZB+ZD=180°，则四边形ABCD是“对补四边形”.概念理解如图1,四边形ABCD是“对补四边形”.①若ZA：ZB：ZC=3：2：1,则ZD= ②若ZB=90°，且AB=3,AD=2时，则CD 如图1,平面直角坐标系中，A(0,3 如图1,平面直角坐标系中，A(0,3),B(1,0).若整点C使得四边形AOBC是准矩形，则点C的坐标是 (整点指横坐标、纵坐标都为整数的点). 如图2,四边形ABCD中，ZABC=90°,AB=BC,若DB平分ZADC,求证：四边形ABCD是准矩形.拓展延伸1如图2,四边形ABCD是“对补四边形".当AB=CB，且ZEBF=^ABC时，图中AE，CF，EF之间的数量关系是 ，并证明这种关系；类比运用如图3,在四边形ABCD中，AB=CB，BD平分/ADC.①求证：四边形ABCD是“对补四边形”.

DP（3）如图3,在（2）的条件下，连接AC交BD于点尸，设亦=尹，tanZDAC=x.求y关于x的函数表达式；3当尹=5,AB=4时，求BD的长.S1 @2 S33.（2021•张家川县模拟）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角,像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：（1） 如图1,正方形ABCD中E是CD上的点，将ABCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF （填“是”或“不是”）“直等补”四边形；（2） 如图2,已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB=BC=5,CD=1，AD>AB,过点B作BE丄AD于E.①过C作CF丄BF于点F,试证明：BE=DE,并求BE的长;②若M是AD边上的动点，求ABCM周长的最小值.DAEE②若M是AD边上的动点，求ABCM周长的最小值.DAEEDDCBBE2备用图4.（2021•启东市模拟）定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”.GADADGcBSBCGADADGcBSBC如图①，四边形ABCD与四边形AEEG都是正方形，135°VZAEBV180°，求证：四边形BEGD是“等垂四边形”；如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，ADHBC,连接BD,点E,F,G分别是AD,BC,BD的中点，连接EG,FG,EF.试判定AEFG的形状，并证明；如图③，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD=4,BC=6，试求边AB长的最小值.5.(2021•高新区一模)定义：若一个三角形存在两个内角之差是第三个内角的两倍，则称这个三角形为关于第三个内角的“差倍角三角形”，例如，在△ABC中，ZA=100°,ZB=60°,ZC=20°，满足ZA-ZB=2ZC，所以△ABC是关于ZC的“差倍角三角形”；如图1,AABC是关于ZC的“差倍角三角形”(其中ZBAOZB),AB=3,BC=9,点D在BC上，且ZBAD=ZC,求AC的长.如图2,等腰三角形ABC中，点D是底边BC的一个黄金分割点(CDVBD),且AB=AC=BD.求证：AABC是关于ZB的“差倍角三角形”.如图3,五边形ABCDE内接于圆，连接AC,AD与BE相交于点F,G,BF=1,AB=BC=DE,△ABE是关于ZAEB的“差倍角三角形”.设AB=x,CD=y,求y关于x的函数关系式.FGBEBBDDDS3EFGBEBBDDDS3E6.(2021•江都区模拟)定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”.如图1,AABC中，点D是BC边上一点，连接AD,若AD2=BD・CD,则称点D是厶ABC中BC边上的“好点如图2,△ABC的顶点是4X4网格图的格点，请仅用直尺画出(或在图中直接描出)AB边上的"好点”；八、、 ，3AABC中，BC=14,tanB=4，tanC=1,点D是BC边上的“好点”，求线段BD的长；如图3,AABC是OO的内接三角形，点H在AB上，连接CH并延长交OO于点D.若点H是厶BCD中CD边上的“好点”．①求证：OH丄AB；CH②若OH/BD,OO的半径为尸，且r=3OH，求的值.DHk\\\(2021•河南一模)如图(1)，在Rt^ABC中，ZACB=90°,ZCAB=60。，点D,E分别在AC,BC边上，且DE//AB,连接AE，BD，点M，N，P分别是AE，BD，AB的中点，连接PM，PN,MN.(1)观察猜想ZPNM的度数为 ；线段MN,BE的数量关系为 .(2)探究证明将ACDE绕点C逆时针旋转，连接BE,在旋转过程中，(1)中MN,BE之间的数量关系是否仍然成立?若成立，请就图(2)或图(3)的情形加以证明；若不成立，请说明理由．(3)解决问题把ACDE绕点C在平面内自由旋转，若AC=5,CD=2，请直接写出APM"周长m的取值范围.PBCEBC图⑴图⑶■51PBCEBC图⑴图⑶■51E(2021•碑林区校级二模)(1)观察猜想：平面内有三个点A,B,C连接AB,AC,BC.测得AB=6,AC=4,则BC的最大值是 .探究证明：如图①，在ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=10，点D为5ABC内一点，ZBAD=30°,AD=6，连接BD,将MBD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点连接DE,DE交AC于点F,求CF的长.拓展延伸：如图②，在公园内有一个等边三角形的支架AABC,在顶点A处悬挂一个等边三角形的旋转座椅旋转座椅△力肋绕顶点A旋转，连接CM,点D,E,F分别为CM,BC,MN的中点，已知支架△ABC边长10米，旋转座椅AAMN边长2米，若要在D,E,F三点处连接弹性灯光彩带，那么在旋转过程中,彩带的最大长度是多少？(支架,旋转座椅厚度忽略不计)團②團②(2021•和平区模拟)在矩形ABCD中，点E、点F分别是AD边、BC边上的动点，且AE=CF，连接EF,将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在点H处，射线EH与射线CB相交于点P.AB=15,BC=V3CD.如图1,当EH与线段BC交于点P时，求证：PE=PF；如图2,当点P在线段CB延长线上时，线段HG分别与AB,BC交于M,N两点时，EP与AB交于点0,连接PM并延长PM交EF于点O.求证：直线OP是线段EF的垂直平分线；若AE=6V3，直接写出线段EF的长为 ;在点E由点A移动到AD中点的过程中，直接写出点G运动的路径长为 .@1®2(2021•扬州模拟)如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点E是AD边上的动点，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在点A'处，连接A'C、BD.如图1,求证：ZDEA'=2ZABE；如图2,若点A'恰好落在BD上，求tanZABE的值；若AE=2,求S川CB.点E在AD边上运动的过程中，ZA'CB的度数是否存在最大值，若存在，求出此时线段AE的长;若不存在，请说明理由.(2021•河南三模)已知正方形ABCD,作点C关于直线BK的对称点C,直线AC交直线BK于点E，连接CE.问题发现如图(1),若直线BK经过正方形ABCD内部，且ZCBE=30。，则C'E与CE的数量关系为 ,位置关系为 ;探究证明若直线BK为任意位置，试判断(1)中的结论是否仍然成立.如果成立，请仅就图(2)的情形给予证明；如果不成立，请说明理由.解决问题如图(3)，在正方形ABCD与正方形CEFG中，AB=13,CE=5V2，将正方形CEFG绕点C旋转，当B,E,G三点共线时，直接写出AF的长.

12.（2021•青羊区校级模拟）（1）证明推断：如图（1）,在正方形ABCD中，点E,Q分别在边BC,AB上，D0丄AE于点O,点G,F分别在边CD,AB上，GF丄AZ求证：AE=FG；EC⑵类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，亦"为常数）•将矩形ABCD沿G折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG,EP交CD于点连接AE交GF于点O.试探究GF与AE之间的数量关系,并说明理由；13. （2021•秀山县模拟）在△ABC中，ZABC=90°,AB=BC,以点A为旋转中心，将边AC逆时针旋转一定角度，得到线段AD,使BD//AC,AD交BC于点G,过点C作CE丄AD交AD于点F.（1） 若AB=3，求BD的长；（2） 求证：ag=cf+43df；（3） 点M是AC边上一动点，在线段BM上存在一点N,使NB+NA+NC的值最小时，NB的长为加，请直接用含m的式子表示NB+NA+NC的最小值.EAE01EAE01(2021•河南模拟)在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=2,ZACB=90°，点M为射线CA上一个动点.过点M作ME丄BM,交射线BA于将线段BM绕点B逆时针旋转90°得到线段BN,过点N作NF丄BN交BC延长线于点F,连接EF.如图1,当点M在边AC上时，线段EM,EF,NF的数量关系为 ；如图2,当点M在射线CA上时，判断线段EM,EF,NF的数量关系并说明理由；当点M在射线CA上运动时，能否存在ABEF为等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出CM的长.B3CCA團2B3CCA團2團(2021•天宁区校级模拟)如图(1)，四边形ABCD的顶点A、D、C分别在X、尹轴的正半轴上，AD〃BC,OC=4cm.动点E从点C出发，沿Cm-C匀速运动，动点F以每秒1cm的速度从C出发沿线段CB向点B来回运动，当E点运动到点C点时，两点同时停止运动.若点E、F同时出发运动t秒后，如图(2)是AOEC的面积S(cm2)与t(秒)的函数关系图象，以线段EF为斜边向右作等腰直角AEFG.填空：点E的运动速度是 ,B点坐标为 .当0W/V4秒时，①t为何值时，以O、C、E为顶点的三角形与ABF。相似？

sBCGDOO16.（2020•新野县二模）已知sBCGDOO16.（2020•新野县二模）已知△ABC是等边三角形，AD丄BC于点D,点E是直线AD上的动点，将BE②是否存在这样的时刻/，使点G正好落在线段AB上，若存在，求此时的/，若不存在，请说明理由.44+逅斗彳亦图3D 卫＜管用图绕点B顺时针方向旋转60°得到BF,连接EF，CF，AF.（1）问题发现：如图1,当点E在线段AD上时，且ZAFC=35°，则/FAC的度数是.（2）结论证明：如图2,当点E在线段AD的延长线上时，请判断ZAFC和ZFAC的数量关系，并证明你的结论；（3）拓展延伸：若点E在直线AD上运动，若存在一个位置，使得ZACF是等腰直角三角形，请直接写ECBESi02CS出此时ZECBESi02CS出此时ZEBC的度数.17.（2020•常德模拟）如图（1），在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，B不重备用團合），连接CE,过点B作BF丄CE于点G,交AD于点F.(1)求证：AABF^ABCE；（2）如图（2），当点E运动到AB的中点时，连接DG,求证：DC=DG；如图(3)，在(2)的条件下，过点C作CMLDG于点H,分别交AD,BF于点M,N,求证:FN・NG=2MN・NH.图⑴ 團② 團⑶18.(2020•市南区二模)已知：RtAABC与RtADEF中，ZACB=ZEDF=90°,ZDEF=30°,EF=16cm,AC=16cm,BC=12cm.现将Rt^ABC和RtADEF按图1的方式摆放，使点C与点E重合，点B、C(E)、F在同一条直线上，并按如下方式运动.运动一：如图2,^ABC从图1的位置出发，以1cm/s的速度沿EF方向向右匀速运动，DE与AC相交于点0,当点Q与点D重合时停止运动；运动二：在运动一结束后，如图3,将Rt^ABC绕着点C顺时针旋转，CA与DF交于点Q,CB与DE交于点F,此时点Q在DF上匀速运动，速度为lcm/s,当QC丄DF时停止旋转；运动三：在运动二结束后，如图4,RtAABC以1cm/s的速度沿EF