高中数学第三章直线与方程3.3点到直线的距离3.4两条平行直线间的距离基础训练含解析新人教A版必修

PAGEPAGE10点到直线的距离两条平行直线间的距离基础过关练题组一点到直线的距离1.(2021浙江湖州高二上期末)点(-1,0)到直线x+y-1=0的距离是 ()A.2 B.22 C.1 D.2.若点(1,a)到直线x-y+1=0的距离是322,则实数a的值为 (A.-1 B.5 C.-1或5 D.-3或33.点P在x轴上,且到直线3x-4y+6=0的距离为6,则点P的坐标为 ()A.(8,0) B.(-12,0)C.(8,0)或(-12,0) D.(-8,0)或(12,0)4.(2021四川遂宁高二上期末)直线x+y-1=0与直线x-2y-4=0交于点P,则点P到直线kx-y+1+2k=0(k∈R)的最大距离为 ()A.2 B.2 C.25 D.45.若直线l经过点(-1,-2),且原点到直线l的距离为1,则直线l的方程为 ()A.3x-4y-5=0B.x=-1C.3x-4y-5=0或y=-1D.3x-4y-5=0或x=-16.点P是直线5x-12y+8=0上一点,O为坐标原点,则|OP|的最小值为 ()A.13 B.813 C.8 D.7.点(a,b)到直线xb+ya=0的距离d=8.(2021河南许昌高一期末)已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),则△ABC的面积为.

9.(2021海南三亚高一月考)已知直线l:(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0(m∈R)过定点A,则点A到直线l':x+y=1的距离是.

10.已知点A(4,-3),B(2,-1)和直线l:4x+3y-2=0,求一点P,使|PA|=|PB|且点P到直线l的距离等于2.11.在△ABC中,A(3,3),B(2,-2),C(-7,1),求∠BAC的平分线AD所在直线的方程.题组二两条平行直线间的距离12.(2020天津和平高二月考)两直线3x+4y-2=0与6x+8y-5=0之间的距离等于 ()A.3 B.7 C.110 D.13.(2020湖南雅礼中学高一期末)设两条直线的方程分别为x+y-a=0,x+y+b=0,已知a,b是关于x的方程x2+x+c=0的两个实数根,则这两条直线之间的距离是()A.24 B.2 C.22 14.(2021北京石景山高二上期中)若平面内两条平行线l1:x+(a-1)y+2=0与l2:ax+2y+1=0间的距离为355,则实数a的值为 (A.-2 B.-2或1C.-1 D.-1或215.(2020天津滨海新区高二上期中)若两平行直线x+2y+m=0(m>0)与x-ny-3=0间的距离是5,则m+n= ()A.0 B.1 C.-1 D.-216.(2020江苏南京师范大学附属中学高一下期中)已知直线l1:4x+2y-7=0和l2:2x+y-1=0,直线m分别与l1,l2交于A,B两点,则线段AB长度的最小值为.

17.(2021华东师大二附中高二上月考)若直线m被两平行线l1:x+y=0与l2:x+y+6=0所截得的线段的长为23,则m的倾斜角可以是.(写出所有正确答案的序号)

①15°;②45°;③60°;④105°;⑤120°;⑥165°.能力提升练一、选择题1.(2021山东济南高二上期末,)已知动点P在直线l1:3x-4y+1=0上运动,动点Q在直线l2:6x+my+4=0上运动,且l1∥l2,则|PQ|的最小值为 ()A.35 B.310 C.152.()若两平行直线3x-2y-1=0,6x+ay+c=0之间的距离为21313,则c+2a的值为A.-1 B.1 C.0 D.-1或13.()若点(a,b)是直线y=3x-3上的点,则(a+1)2+b2的最小值是 ()A.0 B.3 C.32 4.()若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为()A.32 B.23 C.33 D.425.(2021陕西榆林高一上期末,)已知实数a,b,c,d满足ab=c-1d-3=43,则(a-c)2+(b-dA.8125 B.95 C.12125二、填空题6.()若直线l:x-3y-2=0上的两点与点M(-2,2)构成等边三角形,则这两点的坐标分别为、.

7.()已知平面上一点M(5,0),若直线l上存在点P,使|PM|=4,则称该直线为点M的“相关直线”,下列直线中是点M的“相关直线”的是(填序号).

①y=x+1;②y=2;③4x-3y=0;④2x-y+1=0.三、解答题8.(2021河南焦作高一上期末,)分别求出符合下列条件的直线方程:(1)经过点(3,1)但不过坐标原点,且在x轴上的截距等于在y轴上截距的3倍;(2)经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的交点P,且与点A(1,1),B(-5,7)等距离.9.(2019山东平邑第一中学高一测试,)过点(2,3)的直线l被两平行直线l1:2x-5y+9=0与l2:2x-5y-7=0所截线段AB的中点恰在直线x-4y-1=0上,求直线l的方程.10.(2019甘肃武威十八中高一测试,)(1)求平行于直线3x+4y-12=0,且与它的距离是7的直线方程;(2)求垂直于直线x+3y-5=0,且与点P(-1,0)的距离是310511.(2021浙江绍兴高二上期末,)已知直线l1:x+2y-3=0和l2:2x+y-3=0相交于点A.(1)求经过点A且与l1垂直的直线方程;(2)设经过点P(0,-1)的直线l与l1,l2分别交于B,C两点,若|AB|=|AC|,求直线l的方程.3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离基础过关练1.A2.C3.C4.C5.D6.B12.C13.C14.C15.A1.A点(-1,0)到直线x+y-1=0的距离d=|-1+0-1|122.C由点到直线的距离公式可得|1-a+1|12+(-1)23.C设点P的坐标为(x,0),则|3x-4×0+6|32+∴点P的坐标为(8,0)或(-12,0),故选C.4.C由x+y-1=0,x由kx-y+1+2k=0,得k(x+2)-y+1=0,所以直线kx-y+1+2k=0恒过点(-2,1),设为Q,所以点P到直线kx-y+1+2k=0的最大距离为|PQ|=[2-(-2)]25.D当直线l的斜率不存在时,方程为x=-1,满足题意;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y+2=k(x+1),即kx-y+k-2=0,∴原点到直线l的距离d=|k解得k=34∴直线l的方程为34x-y-54=0,即3x-4y综上所述,直线l的方程为x=-1或3x-4y-5=0,故选D.6.B点P是直线5x-12y+8=0上一点,O为坐标原点,则|OP|的最小值就是点O到该直线的距离,即|0-0+8|527.答案a解析把直线方程xb+ya=0化成一般式为ax+利用点到直线的距离公式,得d=|a2+8.答案5解析由题意得|AB|=(3-1AB边所在直线的方程为y-31-3=x-13-1,即x+y-4=0,点C因此,S△ABC=12×22×529.答案22解析由2x+mx+y-2my+4-3m=0,得2x+y+4+m(x-2y-3)=0,令2解得x所以A(-1,-2),所以点A到直线l':x+y=1的距离为|-1-2名师支招定点问题:求直线或曲线经过的定点,常用分离参数法,一般可以根据需要选定参数λ∈R,结合已知条件求出直线或曲线的方程,分离参数得到等式λ2f1(x,y)+λf2(x,y)+f3(x,y)=0(一般地,fi(x,y)(i=1,2,3)为关于x,y的二元一次代数式),由上述原理可得方程组f1(10.解析设点P的坐标为(a,b).易知AB的中点坐标为(3,-2),kAB=-3所以线段AB的垂直平分线的方程为y+2=x-3,即x-y-5=0.由题意可知,点P(a,b)在直线x-y-5=0上,故a-b-5=0.①又点P到直线l的距离为2,所以|4由①②得a=1,所以点P的坐标为(1,-4)或27711.解析设M(x,y)为∠BAC的平分线AD上的任意一点.易知AC边所在直线的方程为x-5y+12=0,AB边所在直线的方程为5x-y-12=0.由角平分线的性质得|x-5所以x-5y+12=5x-y-12或x-5y+12=y-5x+12,即y=-x+6或y=x.在平面直角坐标系中作出△ABC及直线AD,如图所示,由图可知kAC<kAD<kAB,即15<kAD所以y=-x+6不合题意,舍去.故所求直线的方程为y=x.12.C解法一:易知两直线平行,将直线3x+4y-2=0化为6x+8y-4=0,则两直线间的距离d=|-4-(-5解法二:易知两直线平行,在3x+4y-2=0上任取一点0,12,其到直线6x+8y-5=0的距离即为两平行线间的距离,则距离d=0+8×13.C因为a,b是关于x的方程x2+x+c=0的两个实数根,所以由一元二次方程根与系数的关系得a+b=-1,所以这两条直线之间的距离d=|-a-b|1214.C∵l1∥l2,∴a(a-1)=2,解得a=-1或a=2,当a=-1时,l1:x-2y+2=0,l2:x-2y-1=0,两直线间的距离为355,当a=2时,l1:x+y+2=0,l2:x+y+12=0,两直线间的距离为324故选C.15.A由直线x+2y+m=0(m>0)与x-ny-3=0平行可得-n=2,即n=-2,因为直线x+2y+m=0(m>0)与x+2y-3=0间的距离为5,所以|m+3|12+22=5,解得m=2或m=-8(故选A.16.答案5解析直线l2:2x+y-1=0即直线4x+2y-2=0,故直线l1,l2为平行直线,则线段AB长度的最小值为两平行直线间的距离,即|-2-(-717.答案④⑥解析两平行线间的距离为|6-0|1+1因为直线m被平行线截得的线段的长为23,所以直线m和两平行线的夹角为30°.易知两条平行线的倾斜角为135°,故直线m的倾斜角为105°或165°.故答案为④⑥.能力提升练1.C2.D3.D4.A5.A一、选择题1.C因为l1∥l2,所以63=m-4≠41,解得m=-8,所以l2:3x设l1,l2间的距离为d,则d=|2-1由平行线的性质知|PQ|的最小值为15故选C.2.D由题意,得63=a-2≠c-1,所以a=-4,c≠-2.所以直线方程6x+ay+c=0可化为3x-2y+c2=0.由两平行线间的距离公式,得c解得c=2或c=-6,所以c+2a的值为-1或1,故选3.D(a+1)2+b2可看成点(a,b)与点(-1,0)之间的距离.易求点(-1,0)到直线y=3x-3∴(a+1)2+b2的最小值为d2=3.故选D.4.A由题意知,点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上,设该直线的方程为x+y+c=0(c≠-7且c≠-5),则|c+7|2=|c+5|2,即c=-6,所以点M在直线x+y-6=0上,所以点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x+y5.A因为实数a,b,c,d满足ab=c-1所以3a-4b=0,3c-4d+9=0,所以点(a,b)在直线3x-4y=0上,点(c,d)在直线3x-4y+9=0上,所以(a-c)2+(b-d)2的几何意义就是直线3x-4y=0上的点到直线3x-4y+9=0上点的距离的平方,故所求最小值为|9-0故选A.名师支招本题考查求代数式的最小值,解题方法是利用平方和的几何意义(表示两点间距离的平方),确定坐标含参的两点分别在两条平行直线上,由平行线间距离公式可得结论,注意如果所求代数式是分式型的代数式,其可能的几何意义是两点间连线的斜率.二、填空题6.答案3-1解析易知与l垂直且经过点M(-2,2)的直线l'的方程为3x+y+4=0,由x-3所以直线l与l'的交点为N(-1,-1).设直线l上等边三角形的一个顶点为Ba,a-23,则|MN即(-2+1)2+(解得a=3-1或a=-3-1.所以所求两点的坐标分别为3-1,7.答案②③解析①点M到直线y=x+1的距离d=|5-0+1|12+(-1)2=32>4,即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4,所以该直线上不存在点P,使②点M到直线y=2的距离d=|0-2|=2<4,即点M与该直线上的点的距离的最小值小于4,所以该直线上存在点P,使|PM|=4成立,故②中直线是点M的“相关直线”.③点M到直线4x-3y=0的距离d=|4×5-3×0|42+(-3)2=4,即点M与该直线上的点的距离的最小值等于4,所以该直线上存在点P,使④点M到直线2x-y+1=0的距离d=|2×5-0+1|22+(-1)2=1155>4,即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4,所以该直线上不存在点P三、解答题8.解析(1)因为直线不过原点,所以可设所求直线方程为x3a+ya=1(将(3,1)代入所设方程,解得a=2,所以直线方程为x+3y-6=0.(2)由3x+4y-2=0,2当直线的斜率存在时,设其方程是y-2=k(x+2),即kx-y+(2+2k)=0,由点到直线的距离公式得|k-1+(2+2k)|此时直线方程为x+y