量子力学第三章算符与力学量的关系

关于量子力学第三章算符与力学量的关系第1页，共21页，2023年，2月20日，星期六一、厄米算符的本征函数的完全性1.复习§3.1的两个假定假定1：量子力学中的每个力学量用一个线性厄米算符表示。假定2：算符的本征值集合即是测量体系力学量可能得到的所有量值；体系处在的属于本征值的本征态时，测力学量，得到确定值。第2页，共21页，2023年，2月20日，星期六

但是在任意态中（非的本征态），此时与代表的力学量的关系如何？这需引进新的假设，适合于一般情况，且不能与假定2相抵触，应包含它。

第3页，共21页，2023年，2月20日，星期六2.完全性：若是满足一定条件的厄米算符，且它的正交归一的本征函数系、……对应的本征值为、……，则任一函数可以按展为级数：

式中是与x无关的展开系数。我们称本征函数的这种性质为完全性，或者说组成完全系。（1）

第4页，共21页，2023年，2月20日，星期六说明：①展开系数

以左乘，且对x的整个区域积分有即：

（2）

第5页，共21页，2023年，2月20日，星期六②表示力学量的算符是厄米算符，不管它是否满足完全性关系要求的条件，都可以直接将数学上证明过的定理拿来就用，即假定力学量算符本征函数的正交归一系具有完全性。

第6页，共21页，2023年，2月20日，星期六3.展开系数的物理含义：

设为归一化的波函数，则根据是正交归一化的完全函数系，有：

因左边是总几率，所以有几率的意义。即：

第7页，共21页，2023年，2月20日，星期六§3.1的假定2

例：若是算符的一个本征态，例如按假设2，在该态中测得的几率是，其中也可由（2）式求得。由此特例同样可以看出具有几率的意义，即表示了在态中测量力学量得到的结果是的本征值的几率，于是称为几率振幅。

则：

第8页，共21页，2023年，2月20日，星期六二、基本假设（力学量与算符的关系）假设3：在（是的本征函数）描写的态中，测量体系的力学量得到的几率是，其中。

综合假设1-3，可得一个基本假定（基本原理），即量子力学中关于力学量与算符关系的基本假设：第9页，共21页，2023年，2月20日，星期六基本假设的正确性同薛定谔方程一样，由整个理论与实验结果符合而得到验证。完全性关系第10页，共21页，2023年，2月20日，星期六解释：

即：

(同理可得二、三维的结果)第11页，共21页，2023年，2月20日，星期六三、平均值公式

在所描写的状态中，在态的统计平均值（由几率求平均值）为

证明：

(假定)第12页，共21页，2023年，2月20日，星期六说明：a.当的本征值构成连续谱时，为：（假定已归一）证明：

第13页，共21页，2023年，2月20日，星期六b.以上证明中假定已正交归一化，对没有正交归一化的波函数：

第14页，共21页，2023年，2月20日，星期六四、推广

若的本征值的组成中既有分立谱又有连续谱，则以上结果可表示为：完全性关系：

为在态中测得的几率；

其中：；；；

为在态中测得在范围内的几率；

第15页，共21页，2023年，2月20日，星期六说明：当时为连续谱情况；时为分立谱的情况；，时为一般情况。平均值公式：；

第16页，共21页，2023年，2月20日，星期六第17页，共21页，2023年，2月20日，星期六