针对交通桌游的设计与数学建模研究报告数学建模晋级赛作品

关于交通桌游的设计与数学建模研究报告参赛编号：4001008482022-4目录摘要……….2一、问题重述………….2二、关于桌游的假设………………..2三、桌游介绍……..……3四、模型的建立与求解………...…..8五、实验数据及参数校正、现实策略……….12参考文献………………..13摘要本篇论文将对我们设计的一款桌游进行研究，即对桌游中的各项参数进行数学建模分析，讨论该原创桌游的逻辑合理性，给出攻略，并提出针对该游戏所类比的现实交通问题的解决方案。模型一：在该游戏中，任务牌，功能牌的概率，及交警成功抓捕违法司机的概率，及红绿灯，事故，拥堵段的判定概率都非常重要，是我们保证游戏可玩性的关键。在建立模型时，我们运用数学期望，并在具体计算中进行了相应简化和假设（如在算超速牌概率·时控制事故概率为一定值），得出了理想的卡牌概率模型。可以计算出交警成功抓捕违法者的概率为54%，符合游戏的可玩性，同时我们进行了大量的试验，进一步说明了该游戏的可玩性与合理性。模型二：在游戏中由于有拥堵段，红绿灯等限速段，所以司机以及执法者在去任务点时要考虑不同的行走路线以使时间最短。针对此问题，运用最短路径问题模型，参考图论法中权的概念，经多次模拟计算从某出发点到任务点的各路段的权，分别分析出司机和交警的游戏策略，可使个人财富及社会整体效益提高，同时也相应地改善了些许交通状况，即使交通总分（游戏中设置的一个概念）提高。【关键字】桌游；图论法；数学概率论；最短路径问题；数学模型一、问题重述现实中交通问题总是执法者与司机之间的利益的博弈，从而影响社会价值与个人财富的变化。桌游是时下热门的社交方式，桌游中也常含多个群间的博弈。当交通遇上桌游，普遍而又现实的问题将在桌游中得到体现，下面就是我们在合理假设与简化现实的情况下需解决的关于桌游的几个问题：（1）桌游的设计与规则说明；（2）建立数学模型，模拟桌游的逻辑可行性；（3）针对模型的分析结果，校准游戏中的部分参数，给出游戏攻略。‘（4）根据设计游戏时对实在问题的类比，提出解决现实问题的可操作方案。二、关于桌游的假设（1）执法者在第一时间知道违法者情况；（2）只有执法者亲自抓捕违法驾驶员，违法驾驶员才将受到惩罚；（3）且违法驾驶员在到达目的地后不再追究先前责任；（4）将目的地、任务点、红绿灯、事故高发区/拥堵段均简化为几个特定的区段三、桌游介绍棋盘的设计本桌游将设计成行动棋与卡牌的综合游戏，采用大圈式棋盘，周边空白处作为为卡牌堆放区。如图Ⅰ。图Ⅰ图Ⅰ棋盘示意图如左图：ABCD为司机出发点（一）（二）（三）（四）为司机任务点（1）（2）（3）（4）为执法者任务点（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）（Ⅳ）为警察局13、29等格旁边标有信号灯的为红绿灯格颜色加深部分为拥堵地段游戏的规则介绍（一）这是一个适合4人玩的桌游。在游戏里，4名玩家分别扮演驾驶员1、驾驶员2、执法者1、执法者2。驾驶员需在规定回合内到达目的地以获取分数，执法者需在规定回合内到达任务点或成功抓捕违法驾驶员以获取分数。游戏进行100回合即结束，总分最高的玩家获胜。（二）卡牌介绍：共有4张身份牌，28张驾驶员任务牌，27张驾驶员功能牌，28张执法者任务牌，一个20格转盘。1、驾驶员任务牌：10回合内到达目的地（一）（二）（三）（四）共8张14回合内到达目的地（一）（二）（三）（四）共16张18回合内到达目的地（一）（二）（三）（四）共4张2、驾驶员功能牌：超速牌：在接下来一回合里速度为2格/回共10张在接下来一回合里速度为3格/回共8张在接下来一回合里速度为4格/回共6张闯红绿灯牌：共3张3、执法者任务牌：4回合内到达任务点（1）、（2）、（3）、（4）共8张6回合内到达任务点（1）、（2）、（3）、（4）共12张8回合内到达任务点（1）、（2）、（3）、（4）共8张4、执法者功能：无功能牌，但有自带功能，详细说明见第7点。5、判定牌：数字1~20，需要判定时从判定牌堆中任意抽取一张。（三）棋盘介绍1、红绿灯区（地图上标明）：停在红绿灯格或即将跨越红绿灯格，将进行红绿灯判定，若抽中判定牌6至15（50%）则视为红灯，驾驶员或执法者应在此暂停1回合，反之则视为绿灯，可顺利通行。2、事故高发/拥堵段（地图上阴影部分）：驾驶员或执法者若在此区域超速，则要进行事故判定，速度为2格/回合，则抽取6至11（30%）速度为3格/回合，则抽取6至13（40%）速度为4格/回合，则抽取6至15视为事故发生（50%）在事故高发区每一格都需判定，发生事故需暂停两回合，并进行相应扣分。若不超速，则进行拥堵判定，从进入拥堵段第一格开始判定，抽取4至17视为该路段拥堵（70%）暂停两回合一段事故高发/拥堵区只能发生一次事故或拥堵，此后在该路段不需再次判定。3、执法者可从任一个警察局瞬移到达地图中另一警察局。（四）游戏玩法（1）关于手牌的说明1、游戏开始抽身份牌；2、驾驶员可选任意一个出发点，并抽取一任务牌；执法者可选择任意警察局作为出发点，并抽取一任务牌；驾驶员和执法者每到达目的地或任务点再抽下一任务牌。3、首回合抽3张功能牌；以后每回合前抽1张功能牌，此回合结束进行弃牌，上限3张功能牌4、抽到一任务牌，根据情况不过要进行相应扣分。（2）关于角色功能的说明1、驾驶员初始速度为1格/回合2、执法者初始速度为1格/回合或2格/回合（执法者可在两者间任意选择）驾驶员打出超速牌即可超速，并视为违法，进行相应扣分，执法者可在驾驶员超速回合进行抓捕。3、执法者自带功能可自由选择超速（3格/回合）、闯红灯，但要进行相应扣分。执法可以从任一个警察局瞬移到达地图中另一警察局。（3）关于游戏中需要进行判定的说明1、绿灯区（地图上标明）：停在红绿灯格或即将跨越红绿灯格，将进行红绿灯判定，若抽中判定牌6至15（50%）则视为红灯，驾驶员或执法者应在此暂停1回合，反之则视为绿灯，可顺利通行。2、事故高发/拥堵段（地图上阴影部分）：驾驶员或执法者若在此区域超速，则要进行事故判定速度为2格/回合，则抽取6至11（30%）速度为3格/回合，则抽取6至13（40%）速度为4格/回合，则抽取6至15视为事故发生（50%）在事故高发区每一格都需判定，发生事故需暂停两回合，并进行相应扣分。若不超速，则进行拥堵判定，从进入拥堵段第一格开始判定，抽取4至17视为该路段拥堵（30%）暂停两回合一段事故高发/拥堵区只能发生一次事故或拥堵，此后在该路段不需再次判定。3、执法者在距违法驾驶员三格或更少时可进行抽取判定牌进行判定，若抽取6至11（30%）则成功抓捕。驾驶员违法驾驶被抓捕，执法者可选择严格执法或不严格执法，若严格执法，则驾驶员当前任务作废，并选择回到任意出发点，停止一回合，抽取下一任务牌。驾驶员、执法者相应加减分。若不严格执法，则驾驶员与执法者达成协议，驾驶员可继续完成任务，驾驶员、执法者相应加减分。（五）游戏结束后的分数计算与统计方法说明初始分数：个人财富100社会价值100游戏最后附加社会价值：驾驶员守法回合数*最终目标：游戏进行100回合即结束，(个人财富+社会价值)最多的玩家获胜。（1）驾驶员：①规定回合内达到目的地：+个人财富40&社会价值40（10回合）；+个人财富30&社会价值30（14回合）；+个人财富15&社会价值15（18回合）②若没在规定回合内到达，则视为任务失败，抽取下一任务牌，并进行相应扣分:-个人财富10（10回合）；-个人财富15(14回合)；-个人财富20（18回合）③一开始就换任务牌：第一次-个人财富10，第二次–个人财富20，④做违法事情：超速：-社会价值超速速度*事故：-个人财富20&社会价值20⑤被抓捕：严格执法：-个人财富20&-社会价值30不严格执法：-个人财富20&-社会价值10（2）执法者：①解决小任务：+个人财富20&社会价值20（4回合）；+个人财富15&社会价值15（6回合）；+10个人财富&社会价值10（8回合）②不解决小任务：-个人财富10&社会价值10（4回合）；-个人财富13&社会价值13（6回合）；-个人财富17&社会价值17（8回合）；（若在抽取的任务牌规定回合内抓到违法驾驶员，不扣分数）③违法（超速、闯红灯）：-社会价值*4④严格执法（抓违法司机）：+个人财富10&社会价值10⑤不严格执法（接受贿赂）：+个人财富50&-社会价值10四、模型的建立与求解模型一、通过图论法与最短路径问题的求解提出合理游戏策略定义：P（u,v）是加权图G中从u到v的路径，则该路径上的边权之和称为该路径的权记为W（p）,从u到v的路径中权最小者p*(u,v,)称为从u到v的最短路径。（由于涉及大学中的一些高深算法，我们在解决此问题时引用了权这个概念，而用中学阶段所学内容进行合理验证，计算，从而得出为改善交通状况从而提高社会整体效益和价值而需要的游戏策略）司机策略的计算说明如左图，司机欲从A点出发，前往任务点（三）。由路线可知，该玩家共有三种可选择路线（即不绕明显权更大的远路）。根据游戏中的各参数设计（如超速牌概率，闯红灯牌概率，出事故概率，拥堵概率，被抓捕概率等等），经过多次实验模拟，我们拟定了一个较为合理的权算法公式：P(u,v,)=2a+4b+3c+L.其中，a是顺利通过拥堵段概率，b是拥堵概率，C是遇到红灯概率,L是距离。（该算法仅在司机完全守法情况下适用。）则司机走1路线，权P=；走2路线，P2=；走3路线，P3=；即司机欲不超速到达任务点（三），走二路线权最小，即二路径为最短路径。以同样的算法，若司机从A到任务点（一），则A→Ⅰ→任务点（一）为最短路径。以此类推，我们经计算发现，并不是L最小权就越小，最短路径（或理解为时间最短）也与拥堵段即红绿灯有重要关系，即玩家在完成任务时，可选则绕路避开拥堵段或红绿灯，权反而会更小。这就不失为一种游戏策略：增大L，减小a,b,c,从而更快地完成任务。执法者策略在游戏中，执法者需负责两样事情：一是去巡查区工作，二是抓捕违法司机。这也分别类比为现实生活中执法者（如交警）的日常工作以及处理异常情况，突发事件等。这二者共同影响着交通状况和社会整体效益。在游戏中，若有一司机正在违法，那么执法者此时通常要做出权衡：抓司机还是去巡查区工作。（因为执法者有自带功能瞬间移动，可从一个警察局立刻转移至另一警察局，即意味着他可以覆盖整个地图。）若执法者选择去巡查区工作而放弃抓犯人，则根据我们所设卡牌的概率以及得分级制，可初步得出执法者在这次权衡后的得分情况：完成任务得分—未追捕犯人扣分；同理，若去追捕犯人而未在规定时间内到巡查区工作，得分情况为：成功追捕概率*追捕犯人得分—未完成任务得分。注意：以上“得分”均指每次发生权衡后，在制定规则下和实验统计后的值，可把它理解为一种平均值。该平均值由所抽任务牌的概率（任务牌的难易），功能牌的概率，成功完成任务或成功抓住犯人的概率等共同决定。由下文我们计算得出的概率可知，①在进行权衡时，若执法者抓犯人需两个或更多个回合，则放弃抓捕选择做任务，对个人和社会整体收益反而更高；②且当犯人难以一个执法者抓住是，两个执法玩家合作抓捕，则成功率会高很多，虽未完成任务，但社会效益，交通状况总得分会提高。模型二、通过数学期望计算证明抓捕概率合理性已知捕捉概率为，同时忽略玩家使用功能牌,则情况如下：1.驾驶员在超速情况下被警察抓住2.驾驶员在超速下出现事故被警察抓住3.驾驶员遭遇红绿灯而被抓住4.驾驶员未被抓住驾驶员超速有三种，其中4/回合6张，3/回合8张，2/回合10张驾驶员超速的平均速度=4x6/24+3x8/24+2x10/24≈回合警察最大速度可达3（警察也是司机，此时警察也违法）事故率p1卡牌概率p26/248/2410/24驾驶员出现事故概率期望值=24+24+24=P(1)=+3(1/3)1(2/3)2x+被成功抓到)=P(1)+p(2)x12/112+p(3)x3/112=驾驶员遭遇严格执法与不严格执法的平均失分为：-40任务得分x0806030卡牌概率p32/74/71/7完成任务的期望得分为：E（X）＝80x2/7+50x4/7+30x1/7=得分x140成功概率此时驾驶员得分的数学期望值为E（X1）＝同理执法者严格执法与不严格执法的平均得分为：+30未完成任务的平均失分为：20x2/7+26x3/7+34x2/7=执法者得分的数学期望值：E（X2）＝此时驾驶员得分≈执法者得分即此抓捕概率对驾驶员、执法者都是公平的，故设定捕捉概率为是合理的。模型三、通过最短路径和数学期望验证卡牌合理性为保证游戏的公平合理，任务牌的参数设计需通过建立数学模型来验证其合理性。对于司机来说，完成任务就是在所抽到的任务牌规定回合内到达指定的目的地。那么，任务牌回合数的设计以及数量（概率）都体现着游戏的可玩性。因此，针对此问题，我们运用了数学期望，最短路径问题等知识，大致计算出回合数及概率的合理设置范围，具体模型如下所示：假设司机玩家均按照地图中的最短路程行驶，且全过程守法；参数设计：拥堵短的判定为拥堵的概率设成Ｐ，红绿灯判定为红灯的概率设为a.；从出发点到目的地的地图路程为s。经过多次实验模拟，我们拟定了一个较为合理的权(最短路径的期望)算法公式：P(u,v,)=L-S+a*s+b*(s+1)+其中，a是顺利通过拥堵段概率，b是拥堵概率，C是遇到红灯概率,L是距离,S是拥堵段的格数。（该算法仅在司机完全守法情况下适用。）再将实验数据代入，我们把各情况具体数值算了出来。如表Ⅰ目的地

出发点（１）（２）（３）（４）Ａ14ＢＣＤ（１）\（２）\（３）\（４）表表Ⅰ驾驶员最短路径\由上表可知权重在11到12间约占了２８%（２/7）；在14到17间约占56%(4/7)，而在25到26间大约有１４%(1/7).由此结果，我们就设置了三种回合数的卡牌：10回合，14回合，18回合。且每种卡牌分别占任务牌总数的2/7,4/7,1/7.即在游戏中若设置28个司机任务牌，则10回合到达（一）（二）（三）（四）任意目的地的卡牌数是８，同理，１４回合的有１６张，１８回合的仅有三张。在经多次实验验证后（实验具体过程间下文Ｐ，）我们初步认为任务牌的各方面设计是合理的，公平的：司机需要做出一些违法手段（如超速）来完成任务，保障游戏娱乐性；其次，违法次数不会过多，这也符合现实生活中的情况。五、实验数据及参数校正、现实策略实验方案：进行实验，并对实验数据进行分析在此我们提出一个新的量：整体交通值定义：整体交通值=EQ\F(玩家个人财富总值,玩家社会价值总值)，且我们规定当交通整体值最小时，交通最通畅，通过直接进行游戏收集数据的形式，求出每次游戏的整体交通值，以表格的形式列出，通过观察