2020-2021学年上海市嘉定区九年级（上）期中数学试卷（附答案详解）

2020-2021学年上海市嘉定区九年级（上）期中数学试卷

1.下列方程中，是关于X的一元二次方程的是（）

A.ax2+b%+c=0B.2x+y=0C.x24-1=0D.%2+y

3

2.下列各组线段中，成比例线段的一组是（)

A.1,2,3,4B.2,3,4,6C.1,3,5,7D.2,4,6,8

3.下列命题中正确的是（）

A.有一组邻边相等的四边形是菱形B.有一个角是直角的平行四边形是矩形

C.对角线垂直的平行四边形是正方形D.一组对边平行的四边形是平行四边形

4.根据下面表格中的对应值:

X3.233.243.253.26

ax2+bx+c-0.06-0.020.030.09

判断方程+匕％+。=o（a。0,a,b,c为常数）的一个解工的范围是（）

A.3<%<3.23B.3.23<x<3.24C.3.24<%<3.25D.3.25<x<3.26

5.某学校在八年级开设了数学史、诗词赏析、陶艺三门校本课程，若小波和小睿两名同学每

人随机选择其中一门课程，则小波和小睿选到同一课程的概率是（）

1C11

一1-

369

6.一元二次方程3/一％=0的解是（）

A.%=0B.X]=0,%2=3

C.八1D.x=|

%i=0,x2=3

7.如图，在周长为20cm的口48co中，AB对角线4C、8D相交于点0,OE180交力。

C.8cmD.10cm

8.如图，在△ABC中，DE//BC,若喘=多则言=（）

A-1

Bt

c-t

D1

9.某城市2012年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2014年底

增加到363公顷，设绿化面积平均每年的增长率为X,由题意，所列方程正确的是()

A.300(1+x)=363B.300(1+x)2=363

C.300(1+2x)=363D.363(1-x)2=300

10.如图，正方形ABCD的边长为1,E、F分另I」是上的点，且AAEF———

是等边三角形，则BE的长为()\

A.2—V3\

B.2+V3BI__\Z________1c

E

C.2+V5

D.V5-2

11.如果关于x的方程+(m-2)x+5=0是一元二次方程，那么m.

12.如图，在矩形ABCD中，对角线4c与BO相交于点0,AE1BD,垂足为E,ED=3BE,则

4408的度数为.

13.一个家庭有两个孩子，两个都是女孩的概率是

14.若？=$=则的值为____.

ba328—袈3d+6*

15.菱形的两条对角线的长为6和8,则菱形面积为,周长为.

16.关于x的一元二次方程/-3x-m=。有两个不相等的实数根，则m的取值范围___.

17.把方程2x(%-3)=3%+2化成一元二次方程的一般式是：.

18.对于实数a,b,定义运算“*一兽”?，例如：4*2,因为4>2,所

va*b=ab—b"(a<b)

以4*2=42-4x2=8.若％i、&是一元二次方程/-5%+6=。的两个根，则％i*小的值是

19.解方程:

(l)4(x-l)2=9；

(2)x2+8%+15=0：

(3)3x2-5x+1=0；

(4)x(x—2)+%—2=0.

20.已知：如图，在菱形ABC。中，分别延长4B、AD到E、F,使得BE=DF,连接EC、FC.

求证：EC=FC.

21.已知方程/—ax-3a=0的一个根是6,求a的值和方程的另一个根.

22.一只箱子里共3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同.

(1)从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少？

(2)从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出的球都是

白球的概率，并画出树状图或列出表格.

23.先阅读材料，然后按照要求答题：

阅读材料：为了解方程(广—1产-5(/-1)+4=0,我们可以将产一1将视为一个整体，

然后设/—(尤2_i)2=y2,则原方程可化为y2-5y+4=0.

①解得力=1，y2=4.

当y=1时，x2—1=1.x2=2.x=+V2-

当y=4时，x2—1=4.x2=5.x=+V5.

二原方程的解为：-V2>x2——yj2>x3=y/5>x4=—V5-

仿照上题解方程：X4-6X2+8=0.

24.如图，在等腰三角形力BC中，AB=AC,4H1BC,点E是4H上一点，延长AH至点F,使

FH=EH.求证：四边形EBFC是菱形.

25.某超市销售一批羽绒服，平均每天可售20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，超

市决定适当降价，如果每件羽绒服降阶1元，平均每天可多售出2件，如果超市要保证平均每

天要盈利1200元，同时又要顾客得到实惠，那么每件羽绒服应降价多少元？

26.如图，在△ABC中，4B=AC,。为BC中点，四边形4BDE是平行四边形.求证：四边形4DCE

是矩形.

27.已知：关于x的方程产—4mx+4nl2—1=o.

(1)不解方程：判断方程的根的情况；

(2)若A/IBC为等腰三角形，BC=5,另外两条边是方程的根，求此三角形的周长.

28.如图，矩形4BCD中，AB=16cm,BC=6cm,点P从点4出发沿48向点B移动(不与点4、

8重合)，一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿CD向点。移动(不与点C、D重合).运动时

间设为t秒.

(1)若点P、Q均以3cm/s的速度移动，则：AP=cm；QC=cm.(用含t的代数式

表示)

(2)若点P为3cm/s的速度移动，点Q以2cm/s的速度移动，经过多长时间PD=PQ,使△DPQ

为等腰三角形？

(3)若点P、Q均以3cm/s的速度移动，经过多长时间，四边形BPDQ为菱形？

D

29.如果a：6=3：5,那么下列四个选项中一定正确的是（）

A.3a=5bB.b-a=2

C.(a+3)：(6+5)=3：5D.早昊

h5

30.如图，点。、E、F分另I」在△48C的边48、8C、8C上，且OE//BC,

EF//AB,下列4个式子中，不正确的是（）

AADAE

A—=—

ABAC

BD_BF

B.AD=~FC

AE__BF_

C.'EC=~FC

D丝=处

ABBC

31.下列四个命题中，真命题是（）

A.有一个角是60。的两个等腰三角形相似B.对应边成比例的两个多边形相似

C.有两条边成比例的两个直角三角形相似D.有一边相等的两个相似三角形全等

32.已知日是非零向量，与日同方向的单位向量记作落下列式子中，正确的是（）

A.|e|-a=|a|B.\a\-e=aC.a=1D.=a

33.如图，△力BC的顶点在5x6网格图的格点上，cosB的值

为（）

4

A.B5-

3

-

c5

3

D4-

4

3-

34.在平面直角坐标系xOy中，已知点。(0,0),点4(1,0),B(0,2),C(3,0),点。在第一象限内，

如果以点。、。、。为顶点的三角形与AAOB相似，那么这样的点。有个.()

A.1个B.2个C.3个D.4个

35.如果a=且a+b=25,那么a=.

36.已知某一地图的比例尺为1：20000,如果4、B两地的图上距离为5cm,那么4、B的实际

距离为km

37.已知线段AB=6cm,点C是线段4B的黄金分割点，且AC>BC,则BC=cm.

38.已知△ABCsA4遇16，顶点已、B、C分别与口、&、Q对应,BE、灰瓦分别是它们的对

应中线，如果BE=6,AB：A1B1=3：2,那么8出1的长是.

39.已知同=2,|K|=1，如果向量3与向量N方向相反，那么用向量石表示向量N为：

-»

a=・

40.如图，在梯形力BCD中，AD”BC,点E、尸分别在边48、DC上，AD

且满足E/7/BC,如果CF=2,BE：EA=1：2,那么。C=—一・

力R/\\F

BZ------------------------、C

41.如图4,在A/IBC中，点D、E分别在边4B,AC上，且NAED==",如果AC=4,BD=AE=6,

那么4c的长为_____.

A

A

B上

42.如图5,在△ABC中，点G是△ABC的重心,如果EG〃BC,那么△A

4EG与AABC的面积之比是.

三C

43.如图，^.Rt^ABC^,44cB=90,,CD1AB,垂足为D,如C

果4。=1,BD=2,那么铁的值为—

DC-

ADB

44.如图，将一副直角三角板（含45。角的直角三角板4BC及含30。角的直角三D

角板DCB）按图示方式叠放，斜边交点为0,则△HOB与AC。。的面积之比等

于.

45.如图，在RtaABC中，〃?=90。，点。在边4B上，线段DC绕点。逆时

针旋转，端点C恰巧落在边AC上的点E处.如果黑=m,曝=n.那么m与ri

DBEC

满足的关系式是：m=（用含n的代数式表示m）.

46.如图，在△力BC中，4c=90°,AC=8,tanA=点M,

N分别在AC,BC边上，将△ABC沿直线MN翻折，点C恰好落在

边AB上，记为点如果ACiMN与AABC相似，那么折痕MN

的长为.

47.计算：9sin30°-cos600-tan450-cos30°.

48.己知：如图，△4BC中，点。是边4c的中点.

（1）设瓦？=五，沅=及先化简，再求作：（五一至）一2。一9方）：

（2）用石、5的线性组合表示向量而.

49.如图，己知力B//CO//EF,直线4尸与BE相交于点。，点C、O分别在线段0E、。尸上，且4尸=9,

B0=2,0C=1,CE=4.

⑴求谈的值.

（2）求CF的长.

A。

50.如图，矩形EFGD的边EF在等腰AABC的底边BC上，顶点。、G分别在边AB、4C上，已知

AB^AC=10,BC=12,设BE=x,矩形EFGD的面积为y.

(1)求BC边上的高.

(2)试求y关于x的函数关系式及定义域.

51.已知：在平行四边形4BC。中，点M、N分别是边BC、CD一个动点，联结4"、AN,AC.

(1)如图1,如果4M_LBC,AN1CD,求证：AAMN—DCA；

(2)如图2,如果4MAN=ND,试问△AMNsZiDCA是否成立，如果成立，请证明，如果不成

立，请简述理由.

图1图2

52.已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+3与x轴交于点4,与y轴

交于点8,点C的坐标是(1,0),联结BC.

(1)求△ABC的面积.

⑵求si*ABC的值：

(3)如果动点P在直线y=x+3上，且AABC与APOB相似，求点P的坐标.

y

53.如图1,已知正方形4BCD的边长为2,点E是边4B的动点，将三角板的直角顶点与点E重

合，直角边分别与线段BC交于点F,与射线4。相交于点G,联结FG.

⑴求证：AAEGfBFE.

(2)点E为线段的中点.

①如图2,当点G在线段ZC上运动时，(点G不与点D重合)，设BF=x,四边形CDGF的周长

是否随工的变化而变化？如果变化，试用含有x的代数式表示四边形CDGF的周长，如果不发

生变化，请说明理由.

②如图3,联结ZC,交GE于点P,交FG于点Q,当AAEG与△PQG相似时，求ta/EGF的值.

图1图2图3

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：4、不是一元二次方程，故本选项错误；

B、不是一元二次方程，故本选项错误；

C、是一元二次方程，故本选项正确；

。、不是一元二次方程，故本选项错误；

故选C.

根据一元二次方程的定义判断即可.

本题考查了对一元二次方程的定义的应用，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键.

2.【答案】B

【解析】解：4、1x4#2x3,故本选项错误；

B、2x6=3X4,故本选项正确；

C、1x7#3x5,故本选项错误；

D、2x8手4x6,故本选项错误.

故选:B.

如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段.对选项一一分析，

排除错误答案.

本题考查了比例线段，熟记成比例线段的定义是解题的关键.注意在线段两两相乘的时候，要让

最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断.

3.【答案】B

【解析】解：4、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；

B、正确；

C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；

。、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误.

故选：B.

利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项.

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是牢记特殊的四边形的判定定理，难度不大，属于基

础题.

4.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给

出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根.

根据表中数据得到x=3.24时;ax2+bx+c=-0.02；x=3.25时，a/+bx+c=0.03,贝！］x取

3.24到3.25之间的某一个数时，使ax?+加；+c=0,于是可判断关于x的方程a/+bx+c=

0(a*0)的一个解x的范围是3.24<x<3.25.

【解答】

解：：x=3.24时，ax2+bx+c=-0.02；x=3.25时，a/+bx+c=0.03,

.,・关于x的方程ax2+bx+c=0(aH0)的一个解x的范围是3.24<x<3.25.

故选：C.

5.【答案】B

【解析】解：画树状图为：(数学史、诗词赏析、陶艺三门校本课程分别用4、8、C表示)

ABc

/1\/T\/N

ABCAABCABC

共有9种可能的结果数，其中小波和小容选到同一课程的结果数为3,

所以小波和小睿选到同一课程的概率=1=

故选：B.

先画树状图(数学史、诗词赏析、陶艺三门校本课程分别用4、B、C表示)展示所有9种可能的结果

数，再找出小波和小睿选到同一课程的结果数，然后根据概率公式求解.

本题考查了列表法与树状图法，

6.【答案】C

【解析】解：3/-％=0

x(3x-1)=0

x=0或3x—1=0

解得:=0,x2=1.

故选C.

本题可对方程提取公因式x,得到两个因式的积的形式，则这两个因式至少有一个为0,由此可以

解出x的值.

本题考查一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法和

因式分解法，注意要根据方程的特点灵活选用合适的方法.

7.【答案】D

【解析】解：根据平行四边形的性质得：OB=OD,

EO1BD,

•••EO为BD的垂直平分线，

根据线段的垂直平分线上的点到两个端点的距离相等得：BE=DE,

ABE的周长=AB+AE+DE=AB+AD=^x20=10cm.

故选：D.

根据线段垂直平分线的性质可知BE=DE,再结合平行四边形的性质即可计算△ABE的周长.

此题主要考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定及性质，还利用了中垂线的判定及性质等,

考查面积较广，有一定的综合性.

8.【答案】C

【解析】解：,：DE//BC,

AEAD.-2,

ECDB3

故选：C.

直接利用平行线分线段成比例定理写出答案即可.

本题考查了平行线分线段成比例定理，了解定理的内容是解答本题的关键，属于基础定义或定理，

难度不大.

9.【答案】B

【解析】

【分析】

一般用增长后的量=增长前的量X(1+增长率)，如果设绿化面积平均每年的增长率为X,根据题意

即可列出方程.

本题为增长率问题，一般形式为a(l+x)2=b,a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数

旦

里.

【解答】

设绿化面积平均每年的增长率为工,

根据题意即可列出方程300(1+x)2=363.

故选:B.

10.【答案】A

【解析】解：•••四边形4BC0是正方形，

:、乙B=Z.D—90°,AB=ADf

・・•△4EF是等边三角形，

・•・AE=EF=AF,

在Rta/BE和RCA/D尸中

(AE=AF

lAB=ADf

・・・Rt△ABEmRt△ADF(HL^

・・・BE=DF9

设=那么。尸=%,CE=CF=l-xf

在RtUBE中，AE2=AB2+BE2,

在RtZkCE/中，FE2=CF2^CE2,

AB2+BE2=CF2+CE2,

:.%2+1=2(1—%)2,

A%2—4x+1=0,

x=2+V3，而xV1,

%=2—>/3,

即BE的长为=2-遮.

故选:A.

由于四边形ZBCO是正方形，△4EF是等边三角形，所以首先根据已知条件可以证明△ABE^LADF,

再根据全等三角形的性质得到BE=DF,设BE=x,那么DF=x,CE=CF=1-X,那么在Rt△

4BE和Rt△ADF利用勾股定理可以列出关于x的方程，解方程即可求出BE.

此题主要考查了正方形、等边三角形的知识，把求线段长放在正方形的背景中，利用勾股定理列

出一元二次方程解决问题.

II.【答案】力0

【解析】解：因为关于x的方程in/+(小一2)%+5=。是一元二次方程，所以二次项系数m*0.

本题根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：

(1)未知数的最高次数是2；

(2)二次项系数不为0；

(3)是整式方程；

(4)只含有一个未知数.

本题利用了一元二次方程的概念.只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次

方程，一般形式是。/+以+。=0(且。彳0).特别要注意。彳0的条件.这是在做题过程中容易忽

视的知识点.

12.【答案】60°

【解析】

【分析】

此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质.熟练掌握矩形的性

质，证明AAOB是等边三角形是解决问题的关键.

由矩形的性质和已知条件证得404B是等边三角形，继而求得乙10B的度数.

【解答】

解：•••四边形ABCD是矩形，

.•・OB=0D,0A=0C,AC=BD,

:.0A=0B,

•・・ED=3BE,

・•・BE：OB=1：2,

•:AE1BD,

AB=0Af

・•・OA=AB=OB,

即△OAB是等边三角形，

:.Z.AOB=60°.

故答案为60。.

13.【答案】i

4

【解析】解：画树状图：

男女

/\

男女男女

共有4种等可能的结果数，其中两个都是女孩的结果数为1,

所以两个都是女孩的概率=；.

故答案为;.

画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出两个都是女孩的结果数，然后根据概率公式求解.

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果兀再从中选出符合

事件4或B的结果数目m,然后利用概率公式求事件4或B的概率.

14.【答案】|

【解析】解：••・£=会,

bd3

.2a_一3c_4_2

‘2b=W=6=

.2ci—3c+4_2

**,2b-3d+6=3'

故答案为全

先由f今根据分式的基本性质得出尊=葛=，=,，再根据等比性质即可求解.

ba32b-3d63

本题主要考查了分式的基本性质与比例的性质，难度适中.熟练掌握性质是解题的关键.

15.【答案】2420

【解析】解：菱形面积为6x8+2=24；

由两条对角线的长为6和8,可求得菱形的边长为序不不=5,则周长为20.

故答案为24,20.

根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半可求得其面积，根据勾股定理求得菱形的边长，从而可

求得其周长.

主要考查菱形的面积公式：对角线的积的一半，综合利用了菱形的性质和勾股定理.

16.【答案】m>

4

【解析】解：・.,方程有两个不相等的实数根，Q=l,6=-3,c=

•••△=b2-4ac=(-3)2—4x1x(-m)>0,

解得mA-*,

故答案为：m>—

若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=/-4ac>0,建立关于TH的不等式，求出山的取

值范围.

考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

(1)△>0Q方程有两个不相等的实数根；

(2)△=0=方程有两个相等的实数根；

(3)△<0=方程没有实数根.

17.【答案】2x2-9x-2=0

【解析】解：2x(x-3)=3x+2

2x2-6x=3x+2,

贝⑵2-9x-2=0.

故答案为：2/-9X-2=0.

首先去括号，进而移项合并同类项进而得出答案.

此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确合并同类项是解题关键.

18.【答案】±3

【解析】解：・・・％1，%2是一元二次方程/一5久+6=0的两个根,

A(%-3)(%-2)=0,

解得：x=3或2,

2

①当％1=3,%2=2时，%i*%2=3—3x2=3；

=2

②当工1=2,x2=3时，%i*x23x2-3=—3.

故答案为：±3.

首先解方程/—5x+6=0,再根据运算“*"：［一求出/*小的值即可.

\a*b—ab—0i(0.<b)

此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及利用材料分析解决新问题，根据已知进行分类讨

论是解题关键.

19.【答案】解：(1)：4(X-1)2=9,

・•・(%T)2=

..3

51

=；

・•・%1=2,x2~2

(2),・•%2+8%4-15=0,

(%+3)(%+5)=0,

则x4-3=0或％+5=0,

解得％1=—3,x2=-5；

(3)v3x2—5%+1=0,

；・Q=3,b=—5,c=1,

则4=(-5)2-4x3xl=13>0,

5±V13

:，x=---，

o

5+V135-713

(4)■:x(x—2)4-%—2=0,

・•・(》—2)(x+1)=0,

则％-2=0或x+1=0,

解得%i=2,x2=-1.

【解析】(1)利用直接开平方法求解即可；

(2)利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解

即可；

(3)利用公式法求解即可；

(4)利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解

即可.

本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公

式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法.

20.【答案】证明：•.•四边形4"。是菱形，

:.BC=DC,Z.ABC=Z.ADC,

••(EBC=乙FDC.

(BE=DF

在AEBC和中，jzEBC=Z.FDC,

(BC=DC

•••△EBC"FDC(SAS),

•••EC=FC.

【解析】要证EC=FC,只要证明三角形BCE和。CF全等即可，两三角形中已知的条件有BE=DF,

CB=CD,那么只要证得两组对应边的夹角相等即可得出结论，根据四边形ABCD是菱形我们可得

&Z.ABC=^ADC,因此NE8C=NFDC.这样就构成了三角形全等的条件.因此两个三角形就全等

了.

本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定，求简单的线段相等，可以通过全等三角形来证明，

要注意利用此题中的图形条件，如等角的补角相等.

21.【答案】解:

根据题意，得

62-6a-3a=0,即36-9a=0,

解得，a=4：

设方程/—ax-3a=0的另一个根为x,则6+x=a=4,

解得，x=—2,即方程的另一根是—2.

【解析】将x=6代入已知方程列出关于a的新方程，通过解新方程即可求得a的值；然后利用根与

系数的关系来求原方程的另一根.

本题主要考查了方程的解的定义.能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程

的解.又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称

为一元二次方程的根.

22.【答案】解：(1)因为箱子里共3个球，其中2个白球，所以从箱子中任意摸出一个球是白球的

概率是|；

(2)画树状图为：

白白红

/\//\/\

白红ehsS

共有6种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是白球的结果数为2,

所以两次摸出的球都是白球的概率=|=1.

o3

【解析】(1)直接利用概率公式求解；

(2)画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出两次摸出的球都是白球的结果数，然后根据概

率公式求解.

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果数建，再从中选出符

合事件4的结果数然后利用概率公式计算事件4的概率为M

23.【答案】解：设/=y,x4=y2,则原方程可化为y2—6y+8=0,

解得力=2,'2=4.

当y=2时，x2=2,

解得，x=+V2>

当y=4时，x2=4,

解得，x=±2.

•••原方程的解为：%!=V2,冷=-V2,冷=2，%4=~2

【解析】设x2=y,/=、2则方程即可变形为丫2-6丫+8=0,解方程即可求得y即/的值，进

而即可求得x的值.

本题考查了换元法解一元二次方程.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式

法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法.

24.【答案】证明：；AB=AC,AH1CB,

BH=HC,

vFH=EH,

四边形E8FC是平行四边形，

又AHLCB,

四边形EBFC是菱形.

【解析】根据题意可证得△BCE为等腰三角形，由4HleB,则=从而得出四边形EBFC

是菱形.

本题考查了菱形的判定和性质，以及等腰三角形的性质，是基础知识要熟练掌握.

25.【答案】解：设每件羽绒服应降价X元，

依题意得：(40-x)(20+2x)=1200,

整理得：%2-30%+200=0,

解得：%i=10；x2=20；

为了使顾客多得实惠，所以要尽量多降价，故x取20元.

答：每件羽绒服应降价20元.

【解析】本题可设每件羽绒服应降价x元，因为每件羽绒服降阶1元，平均每天可多售出2件，所

以降价后每件可盈利(40-X)元，每天可售(20+2x)件，又因平均每天要盈利1200元，所以可列

方程(40-x)(20+2x)=1200,即可求解.

本题只需仔细分析题意，利用方程即可解决问题，但应注意所求的解要适合实际的需要.

26.【答案】证明：•••四边形4BDE是平行四边形，

AE//BC,AB=DE,AE=BD.

。为8c中点，

-CD=BD.

CD//AE,CD=AE.

•••四边形4DCE是平行四边形.

vAB=AC,D为BC中点，

.•.40IBC,即乙40C=90。，

•••平行四边形/WCE是矩形.

【解析】已知四边形28DE是平行四边形，只需证得它的一个内角是直角即可；在等腰△4BC中，

40是底边的中线，根据等腰三角形三线合一的性质即可证得NADC是直角，由此得证.

此题主要考查了等腰三角形三线合一的性质以及矩形的判定方法.

27.【答案】解：(1)4=(—4m)2—4(4m2-1)=4>0,

・•.无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根.

(2)---zl>0,AABC为等腰三角形，另外两条边是方程的根，

•••5是方程X2-47nx+4m2-1=0的根.

将x=5代入原方程，得：25-20?n+47n2-1=o,

解得：=2,m2=3.

当m=2时，原方程为产—8x+15=0,

解得：=3,g=5，

•••3、5、5能够组成三角形，

.••该三角形的周长为3+5+5=13；

当m=3时，原方程为--12x+35=0,

解得：Xi=5,x2=7,

•••5、5、7能够组成三角形,

.•.该三角形的周长为5+5+7=17.

综上所述：此三角形的周长为13或17.

【解析】本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，

解题的关键是：(1)牢记“当4>0时，方程有两个不相等的实数根”：(2)代入x=5求出m值.

(1)根据方程的系数结合根的判别式，可得出4=4>0,由此可得出：无论m为何值，该方程总有

两个不相等的实数根；

(2)根据等腰三角形的性质及4>0,可得出5是方程/-4mx+4m2-1=0的根，将x=5代入

原方程可求出m值，通过解方程可得出方程的解，在利用三角形的周长公式即可求出结论.

28.【答案】3t3t

【解析】解：(l)：AP=3t,CQ=3t.

故答案为333t；

(2)过点P作PE1CD于点E,

4PED=90°,

vPD=PQ,

1

DE=^DQ

在矩形4BCD中，=A.ADE=90°,CD=AB=16cm

，四边形PED4是矩形，

・・.DE=AP=33

又CQ=23

・•・DQ=16-2t

.♦•由DE=~DQ,

...3t=gx(16-2t),

・•・t=2

.•.当t=2时，PD=PQ,AtiPQ为等腰三角形

(3)在矩形4BCD中，AB=CD,AB//CD,AD=BC,依题知4P=CQ=3t

PB=DQ,

四边形BPOQ是平行四边形，

当PO=PB时，四边形BPDQ是菱形，

PB=AB-AP=16-3t

在Rt△4PD中，PD=7Ap2+4"=49t2+36,

由PC=PB,

：.16-3t=V9t2+36-

(16-3t)2=9t2+36,

解得:t=M

.•.当t=|1时，四边形8PDQ是菱形.

(1)根据路程=速度x时间，即可解决问题.

(2)过点P作PEJ.CD于点E,利用等腰三角形三线合一的性质，DE=：DQ,列出方程即可解决问

题.

(3)当PD=PB时，四边形BPDQ是菱形，列出方程即可解决问题.

本题考查四边形综合题，路程、速度、时间之间的关系，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，

勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造特殊四

边形解决问题，属于中考常考题型.

29.【答案】D

【解析】解:1••a：b=3：5,即f=|,

D5

r>>b—CL5—32

・•・5Q=o3b,=--=

b55

故选：D.

根据内项之积等于外项之积、合比和分比性质进行判断.

本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质(内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合

分比性质、等比性质)是解决问题的关键.

30.【答案】B

【解析】解：■­-DE//BC,

ADE'ABC,

AD_AE

,,丽"前’

故A正确，不符合题意；

•••DE//BC,

ADEs&ABC,

ADAECE

——=—,即——=—,

ABAC1ADAE

・・・EF//AB,

CEF~>CAB,

CECF

••--=--f

CACB

CECF

—=—«

AEBF

_CF

'#~AD='BFf

故B错误，符合题意；

•・・EF11AB,

CEF~>CAB,

CECF日nAEBF

CACBECFC

故。正确，不符合题意；

•・・DEIIBC.

，△ADE~AABC,

tAD_DE

ABBC

vDE//BC,EF//AB.

，四边形BDEF是平行四边形，

.♦・DE—BF,

tAD__BF_

'诟=南

故。正确，不符合题意.

故选:B.

由DE〃BC证明△ADES^ABC,得叫=德，可判断4

由CE〃BC证明△ADEfABC,得岩=芸，即笔=罪，由EF〃/1B证明△CEF-ACAB,得若=保,

即第=唾，可判断B；

AEBF

由EF〃4B证明△CEFS^CIB,得当=径，即苣=雾，可判断C;

由DE//BC证明△力DEs/\4BC,得分=霹，由四边形BDEF是平行四边形得DE=BF,可判断D.

此题重点考查平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质，正确理解和掌握平行线分线

段成比例定理、相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.

31.【答案】A

【解析】解：4、有一个角是60。的两个等腰三角形相似，正确，是真命题，符合题意：

B、对应边成比例且对应角相等的两个多边形相似，故原命题错误，是假命题，不符合题意；

C、两条直角边成比例的两个直角三角形相似，故原命题错误，是假命题，不符合题意；

有一对应边相等的两个相似三角形全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意.

故选：A.

利用相似多边形的判定方法、全等三角形的判定方法等知识分别判断后即可确定正确的选项.

本题考查命题，相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，属于中考常考题

型.

32.【答案】B

【解析】解：/I,\e\-a=a,原式计算错误，故本选项不符合题意；

B.\a\-e=a,原式计算正确，故本选项符合题意；

4

C

、

同-a=e,原式计算错误，故本选项不符合题意；

向

。

而

、=|初，原式计算错误，故本选项不符合题意.

B.

单位向量是指模等于1的向量.由于是非零向量，单位向量具有确定的方向.

一个非零向量除以它的模，可得与其方向相同的单位向量.

单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同.

本题主要考查了平面向量的模与向量的一些基础知识，应熟练掌握一个非零向量除以它的模，可

得与其方向相同的单位向量.

33.【答案】A

【解析】解：如图，过点力作交BC的延长线于点。，则

点。在格点上，

在RtzMBD中，AD=3,BD=4,

AB=yjAD2+BD2=V32+42=5>

故选:A.

由网格构造直角三角形，利用勾股定理求出斜边，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可.

本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提.

34.【答案】C

【解析】解：设点九)(m>O,n>0),

•••4(1,0),B(0,2),C(3,0),

・•・OA=1,OB=2,OC=3,=V5，OD=Vm2+n2,CD=—3)2+几2,

•・•乙408=90°,

・••△408是直角三角形，

•・•点。在第一象限内，

:.Z-COD<90°,

•・,以点。、。、C为顶点的三角形与△AOB相似，

・•・Z-COD=4。/8或NC。。=4OBA,

①当4COD=4。48时，△COD~XOAB^COD~ABAO,

I、当“8TMB时，北=黑=需,

3_\/m2+n2_J(m-3)2+rj2,

"1=V5=2

m=3,n=6或n=-6(舍去)，

•••0(3,6)；

I】、当“。D8B4。时,胎嗡噜，

2

3__J(m-3)+n2；

"痣=——=2

・•・m=可,n=0(舍去)，

②当NC。。=4。84时，△CODf。84或4CODfABO,

I、当AC。/。曲时，条冷怒，

3J」+九23)，n2,

一=-—=----------

2店1

/.m=3,n=|或ri=一|(舍去)，

3

.■0(3,1)；

II、当△。。。“△他。时，泊新岩

._3___J（m-3）2+n2,

"痣=-2~=1

?n=y,n=（或兀=—1（舍去），

•■啃A）；

•••。（3,6）或（3,,或叫电共三个,

故选：C.

设点。（771,九）（m>0,71>0）,进而得出。A=1,OB=2,OC—3,AB=V5,OD=Vm2+n2,

CD=JO—3）2+次,再判断出<90°,进而得出NC。。=Z.OAB^LZ.COD=4OBA,最后

分情况，利用相似三角形的性质得出比例式建立方程求解，即可求出答案.

此题主要考查了相似三角形性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键.

35.【答案】10

【解析】解：设］=g=鼠贝ija=2k,b=3/c,

•・•a+b=25,

・•・2k+3/c=25,

解得k=5,

，a=2k=10.

故答案为：10.

设3=2=k,利用比例性质得到a=2k,b=3k,则2k+3k=25,然后求出k,从而得到a的值.

本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合

分比性质、等比性质）是解决问题的关键.

36.【答案】1

【解析】解：根据题意：

-1

5+丽5=10°°°°（厘米）

100000厘米=1千米.

即4、B两地的实际距离是1千米.

故答案为：1.

实际距离=图上距离：比例尺，根据题意代入数据可直接得出实际距离.

本题考查了比例线段的知识，注意掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用，同时要注意

单位的转换.

37.【答案】9-3V5

【解析】解：•.•点C是线段4B的黄金分割点，且4C>BC,

：.AC^^-AB=早*6=3花-3，

BC=6-(3V5-3)=9-3V5.

故答案为9-3V5.

利用黄金分割的定义得到"=与=3而一3,然后计算8c=AB-4c即可.

本题考查黄金分割，以及比例线段.

38.【答案】4

【解析】解：■■^ABC-AA1B1C1,AB：=3：2,

.•.对应中线BE、的比值为:3：2,

•••6：BI6i=3：2,

•-8花1=4.

故答案为：4.

根据相似三角形对应中线的比等于相似比列比例式求解即可.

本题考查对相似三角形性质的理解：(1)相似三角形周长的比等于相似比；

(2)相似三角形面积的比等于相似比的平方；

(3)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.

39.【答案】-2b

【解析】解：|五|=2,=

/.|a|=2|方|，.

•・・向量B与向量d方向相反，

・•・a=—2b-

故答案为：一2六

根据|往|=2而|，且向量3与向量日方向相反，即可得出答案.

本题考查了平面向量的知识，关键是得出两个向量的模的数量关系.

40.【答案】6

【解析】解：梯形ABCD中，AD//BC,

AD//BC//EF,

BE：EA=1：2,

•••FC：FD=1：2,

vFC=2,

FD=4.

则CD=CF+FD=2+4=6.

故答案为：6.

根据梯形的性质可得2D〃BC〃EF,BE：EA=1：2,可得出FC：FD=1：2,再根据FC=2,

即可得出FD的长度，则CD的长即可求得.

此题考查了平行线分线段成比例定理.熟记定理是解题的关键.

41.【答案】当

【解析】解：•:乙AED=LB,Z.DAE=^CAB,

AED^L.ABC,

:.——AD=——AE,

ACAB

.4_6

'AC=6+4r

解得4c=等

故答案为：~Y.

根据N4EO=NB,ADAE=ACAB,可得△AE0-44BC,对应边成比例即可求出BC的长.

本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质.

42.【答案】2：9

【解析】解:延长AG与BC交于点D,

••・点G是A/IBC的重心，

AAG：AD=2：3,BD=CD,

•••^^ABD=2s△4BC，

-EG//BC,

ABDf

.S^AEG_(AG\2_1

"S△诋-I加F

4412

**,SMEG=9S^ABD=9X2SfBC=§^^ABCf

.S&AEG_£

故答案为：2：9.

根据EG〃BC判断出aaGE和△48。相似，再根据重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍,

求出两三角形对应中线的比，也就是相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列式

计算即可得解.

本题考查了三角形的重心，相似三角形的判定与性质，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对

边中点的距离的2倍求出两三角形的对应中线的比，也就是相似比是解题的关键.

43.【答案】苧

【解析】解：rRt△力CB中，^ACB=90°,CD1,AB,

・•.Z.ACD=cB=90°-

又•・•Z.ADC=Z.CDB=90°,

ACD〜ACBD,

t