高中数学平面向量应用举例

平面向量的应用举例（平面几何中的向量方法）【知识与技术】平面向量的应用举例,包含几何中的应用和物理中的应用两部分内容.本节的要点是向量法解决平面几何问题的“三步曲”,难点是怎样将实质问题中的几何关系转变为向量关系.【过程与方法】教材经过两个例题介绍了向量方法在平面几何中的应用.例1顶用向量方法推导了平行四边形的两条对角线与两邻边之间的关系.能够发现,因为向量能够运算,所以它在解决某些几何问题时拥有优胜性,它把一个思辩过程变为了一个算法过程,只需按程序进行运算操作,即可思虑问题的难度，经过例1的学习要明确用向量解决平面几何问题的“三步曲”.例2经过向量之间的关系判断线段之间的关系论述了平面几何中的向量方法.应联合不用向量方法怎样证明“思虑”,对不一样解题方法进行比较,从中领会向量方法的优胜性所在.向量在物理中的应用,其实是把物理问题转变为向量问题,而后再经过向量运算解决向量问题,最后再用所获取的结果解说物理现象.向量在物理中的应用【知识与技术】本节的要点是掌握用向量解决实质问题的方法以及向量法解决几何问题的“三步曲”,难点是怎样将实质问题转变为向量问题,培育学生把物理量之间的关系抽象成数学模型的能力.【过程与方法】教材经过两个例题介绍了向量方法在物理中的应用.向量在物理中的应用,其实是把物理问题转变为向量问题,而后再经过向量运算解决向量问题,最后再用所获取的结果解说物理现象.例3是生活常常碰到的问题,第一将实质现象抽象为数学模型,获取模型后发现是一个简单的向量问题.例4的要点在于对“行驶最短航程”的意义的解说,即剖析中给出的船一定垂直于河岸行驶,这时船的速度与水流速度的合速度应该垂直于河岸.【增补例题】1．利用向量的坐标运算，解决两直线的夹角，判断两直线平行、垂直问题例1已知向量123知足条件123，1231，OP,OP,OPOPOPOP0OPOPOP求证：P1P2P3是正三角形解：令O为坐标原点，可设P1cos1,sin1,P2cos2,sin2,P3cos3,sin3由OP1OP2OP3，即cos1,sin1cos2,sin2cos3sin3cos1cos2cos3①sin1sin2sin3②两式平方和为12cos1211，cos121，由此可知12的最小2正角为1200，即OP1与OP2的夹角为1200，同理可得OP1与OP3的夹角为1200，OP2与OP3的夹角为1200，这说明P1,P2,P3三点平均分部在一个单位圆上，所以P1P2P3为等腰三角形.例2求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的度数解：如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴、y轴成立直角坐标系，设A2a,0,B0,2a，则Da,0,C0,a，进而可求：AC2a,a,BDa,2a,cosACBD2a,aa,2aACBD5a5a=4a24.arccos4.5a2552．利用向量的坐标运算，解决相关线段的长度问题1BC2例3已知ABC，AD为中线，求证AD2AB2AC222证明：以B为坐标原点，以BC所在的直线为x轴成立如图2直角坐标系，设Aa,b,Cc,0，Dc，则,022c20b2c2aca2b2，ADa242122BCAC.AB22=1a2b2ca2b2c2a2b2acc2，244222122BC1BC进而ADAB，AD22AC2.2AC2AB223．利用向量的坐标运算，用已知向量表示未知向量例4已知点O是ABC内的一点，AOB1500，BOC900，设OAa,OBb,OCc,且a2,b1,c3,试用a,和b表示c.解：以O为原点，OC，OB所在的直线为x轴和y轴成立如图3所示的坐标系.由OA=2，AOx1200，所以A2cos1200,2sin1200,即A-1，,3，易求B0，-1，C3,0，-131-3设OA1OB2OC,即-1，310，-12.23,0，3-，-1123a3b1c.例5如图，3用OA，OB表示OC.解：以O为坐标原点，以OA所在的直线为x轴，成立如下图的直角坐标系，则A1,0，由COA00053530，所以C5cos30,5sin30,即C，，22OC10353OAOB.334．利用向量的数目积解决两直线垂直问题例6求证：三角形的三条高交于同一点[剖析]如图，已知ABC中，由ADBC,BEAC，ADBEH,要证明CHAB,利用向量法证明CHAB，只需证得CHAB0即可；证明中，要充分利用好AHBC0，BHCA0这两个条件.证明：ADBC,H在AD上，AHBC0而AHCHCA，(CHCA)BC0，即CHBCCABC0①又BHAC,BHCHCB，BHAC0即(CHCB)AC0CHACCBAC0②①-②得：CHBCCHAC0，即CHBCAC0进而CHBA0，CHAB，CHAB.5．利用向量的数目积解决相关距离的问题，距离问题包含点到点的距离，点的线的距离，点到面的距离，线到线的距离，线到面的距离，面到面的距离.例7求平面内两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离公式[剖析]已知点A(x1,y1),B(x2,y2)求A,B两点间的距离|AB|,这时，我们就能够结构出向量AB，那么AB(x2x1,y2y1),而|AB||AB|，依据向量模的公式得|AB|(x2x1)2(y2y1)2，进而求得平面内两点间的距离公式为|AB|(x2x1)2(y2y1)2.解：设点A(x1,y1),B(x2,y2)，AB(x2x1,y2y1)|AB|(x2x1)2(y2y1)2,而|AB||AB|点A与点B之间的距离为：|AB|(x2x1)2(y2y1)26.利用向量的数目积解决线与线的夹角及面与面的夹角问题.例8证明:cos()coscossinsin剖析：如图，单位圆上任取两点A,B,以Ox为始边，OA,OB为终边的角分别为,，设出A,B两点的坐标，即获取OA,OB的坐标，则为向量OA,OB的夹角；利用向量的夹角公式，即可得证.证明：在单位圆O上任取两点A,B，以Ox为始边，以OA,OB为终边的角分别为,，则A点坐标为(cos,sin),B点坐标为(cos,sin)；则向量OA(cos,sin),OB(cos,sin)，它们的夹角为，|OA||OB|1,OAOBcoscossinsin,由向量夹角公式得：cos()OAOBcoscossinsin,进而得证.|OA||OB|注：用相同的方法可证明cos()coscossinsin利用向量的数目积解决相关不等式、最值问题.例9证明柯西不等式(x12y12)(x22y22)(x1x2y1y2)2证明：令a(x1,y1),b(x2,y2)（1）当a0或b0时，abx1x2y1y20，结论明显成立；（2）当a0且b0时，令为a,b的夹角，则[0,]abx1x2y1y2|a||b|cos.又|cos|1|ab||a||b|（当且仅当a//b时等号成立）(x12y12)(x22y22)(x1x2