构造等腰三角形解题的辅助线做法

精心整理构造等三形解题辅线做法吕海艳等腰三角形是一种特殊的三角形全等三角形的相关知识结合在一起考查多几何问题中需要构造等腰三角形才能使问题获解如何构造等腰三角形呢？一般有以下四种方法：（1）据平行构造等腰三形；（2）据倍角系构造等腰角形；（3）据角平线+垂线构造等腰三角形；（4）据角或°角，常补形造等边角形。1依据平行线造等腰角形例：如图。△ABC，，E一点，F长线上一点，且BE=CF，EF于D，求证DE=DF.[点拔]：若联想到是EF的中点，中点的两旁容易构造全等三角形，方法是过或F作平行线，构造X型的基本图形，只需证两个三角形全等即可。证明：过E作EG∥AC交BC于G∴∠1=∠ACB，∠2=∠F∵AB=AC∴∠B=∠ACB∴∠1=∠B∴BE=GE∵BE=CF∴GE=CF在△EDG和△FDC中∠3=∠4∠2=∠FGE=CF∴△EDG≌△FDC∴DE=DF精心整理

精心整理[评注]：此题过E作AC的平行线后，构造了等腰△，从而达到转化线段的目的。2依据倍角关构造等三角形例2：如图。△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是∠BAC平分线求证：AB+BD=AB[点拔]：在已知条件中出现了一个角是另一个角的，可延长构造等腰三角形，问题即可解决。证明：延长CB至E，使BE=BA，连接AE∵BE=BA∴∠BAE=∠E∵∠ABC=2∠C,∠ABC=∠E+∠BAE=2∠E∴∠C=∠EAC=AE∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2∴∠EAD=∠BAE+∠1=∠E+∠1=∠C+∠2=∠BDA∴EA=ED∵ED=EB+BD，EB=AB，AC=AE∴AC=AB+BD[评注]个三角形中出现了一个角是另一个角的倍时就可以通过转化倍角寻找等腰三角形。3依据角平分垂线构造等三角形例3，如图。ABC中AB=AC，BAC=90平分∠ABCCD⊥BD交BF的延长线于D，求证：BF=2CD[点拔]：遇到分∠⊥CD，可延长、BA交E，使角平分线成为底边上的中线和高。证明：分别延长BA、CD交于点E∵CD⊥BD精心整理

精心整理∴∠BDC=∠BDE=90°∴∠1+∠E=90°∵∠BAC=90°∴∠3+∠E=90°∴∠1=∠3在△BAF和△CAE中∠1=∠3AB=AC∠BAC=∠CAE=90°∴△BAF≌△CAE∴BF=CE在△BDE和△BCD中∠1=∠2BD=BD∠BDE=∠BDC∴△BDE≌△BDC∴CD=ED∴CE=2CD∵BF=CE∴BF=2CD[评注]：当一个三角形中出现垂直于角平分线的线段时，通常延长此线段与角的另一边相交，我们就可以寻找到等腰三角形。4依据60角或°角，补形构等边三角形例4,、如图。∠BAD=120°BD=DCAB+AD=AC求证：AC平分∠{点拨}：由AB+AD=AC知，应延长BA,将AB+AD集中成为一条线段，使则EAD=60°ADE等边三角形，余下的只要证∠CAD=60°既得证明：延长BAE,使AE=AD连接DE∵∠BAD=120°精心整理

精心整理∴∠DAE=180-120=60°又AE=AD∴△DAE是等边三角形∴DE=AD∠E=60°∵BE=AB+AEAC=AB+ADAE=AD∴BE=AC在△BDE和△CDA中BD=CDBE=CADE=ADeq\o\ac(△,≌)△CDA∴∠CAD=∠E=60°∵∠BAD=120°∴∠BAC=∠CAD