2020-2021高二数学人教版2-2课时作业3 1.2.1几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年高二数学人教A版选修2-2课时作业31.2.1几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则含解析课时作业3几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则时间：45分钟——基础巩固类—-一、选择题1．给出下列结论：①（cosx)′＝sinx;②eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(sin\f（π，3））)′＝coseq\f（π，3);③若y＝eq\f(1，x2)，则y′＝－eq\f(1,x)；④eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（1，\r（x））)）′＝eq\f（1,2x\r（x）)其中正确的个数是（B)A．0 B．1C．2 D．3解析:（cosx）′＝－sinx，所以①错误；sineq\f（π,3）＝eq\f（\r(3），2），而eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（\r(3),2)）)′＝0，所以②错误；eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，x2)））′＝eq\f（0－x2′，x4）＝eq\f（－2x,x4）＝－2x－3，所以③错误；所以④正确．2．函数y＝sinx·cosx的导数是(B)A．y′＝cos2x＋sin2x B．y′＝cos2x－sin2xC．y′＝2cosx·sinx D．y′＝cosx·sinx解析：y′＝(sinx·cosx)′＝cosx·cosx＋sinx·（－sinx)＝cos2x－sin2x.3．f0（x）＝sinx，f1（x）＝f′0（x)，f2（x）＝f′1（x），…,fn＋1（x）＝f′n(x），n∈N，则f2013(x)＝(C)A．sinx B．－sinxC．cosx D．－cosx解析：因为f1（x)＝（sinx）′＝cosx，f2（x）＝（cosx)′＝－sinx，f3（x)＝(－sinx）′＝－cosx,f4（x)＝(－cosx)′＝sinx,f5(x）＝（sinx)′＝cosx,所以循环周期为4，因此f2013(x）＝f1（x）＝cosx.4．对任意的x，有f′（x）＝4x3,f(1）＝－1,则此函数解析式为(B)A．f（x）＝x3 B．f（x)＝x4－2C．f（x)＝x3＋1 D．f（x)＝x4－1解析：由f′(x)＝4x3知，f(x）中含有x4项,然后将x＝1代入选项中验证可得．5．已知曲线y＝eq\f(x2，4)－3lnx的一条切线的斜率为eq\f（1，2），则切点的横坐标为(A）A．3 B．2C．1 D.eq\f(1,2）解析：因为y′＝eq\f（x,2)－eq\f(3,x），所以根据导数的几何意义可知，eq\f(x,2）－eq\f(3，x）＝eq\f（1,2)，解得x＝3(x＝－2不合题意，舍去）．6．曲线y＝eq\f(sinx，sinx＋cosx)－eq\f(1，2）在点Meq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π，4），0))处的切线的斜率为（B)A．－eq\f（1，2） B。eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(2），2） D.eq\f（\r(2)，2)解析：y′＝eq\f(cosxsinx＋cosx－sinxcosx－sinx，sinx＋cosx2)＝eq\f（1，1＋sin2x)，把x＝eq\f(π，4)代入得导数值为eq\f(1,2)，即为所求切线的斜率．7．已知直线y＝3x＋1与曲线y＝ax3＋3相切,则a的值为(A)A．1 B．±1C．－1 D．－2解析:设切点为(x0,y0）,则y0＝3x0＋1，且y0＝axeq\o\al(3，0)＋3,所以3x0＋1＝axeq\o\al（3,0)＋3①.对y＝ax3＋3求导得y′＝3ax2，则3axeq\o\al（2，0）＝3,axeq\o\al（2,0）＝1②，由①②可得x0＝1,所以a＝1.8．已知函数f（x）＝eq\f（1，2）x2＋4lnx，若存在满足1≤x0≤3的实数x0,使得曲线y＝f(x)在点（x0，f（x0)）处的切线与直线x＋my－10＝0垂直，则实数m的取值范围是（B)A．[5，＋∞) B．[4,5］C．[4，eq\f(13,8）] D．（－∞，4)解析:f′（x)＝x＋eq\f（4,x),当1≤x0≤3时，f′(x0)∈[4，5］，又k＝f′（x0)＝m，所以m∈[4，5］．二、填空题9．已知f(x)＝x2,g(x)＝lnx，若f′(x）－g′(x）＝1，则x＝1。解析：f′（x）－g′（x)＝2x－eq\f（1,x）＝1，即2x2－x－1＝0.解得x＝－eq\f(1，2）或x＝1,又x〉0,∴x＝1.10．若曲线y＝kx＋lnx在点(1，k）处的切线平行于x轴，则k＝－1.解析：y′＝k＋eq\f（1,x)，由题意知，y′｜x＝1＝0,即当x＝1时，k＋eq\f（1，x)＝k＋1＝0，解得k＝－1.11．设函数f(x）在（0，＋∞）内可导，且f(ex）＝x＋ex，则f′(1）＝2。解析：由f(ex)＝x＋ex,可得f(x)＝lnx＋x，得f′（x)＝eq\f（1，x)＋1,故f′(1)＝1＋1＝2。三、解答题12．求下列函数的导数：(1)y＝xeq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（x2＋\f（1，x)＋\f（1,x3）)）;(2)y＝eq\f(1＋cosx，x2）；(3）y＝(4x－x）(ex＋1）．解：（1）∵y＝xeq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x）＋\f(1，x3））)＝x3＋1＋eq\f(1,x2),∴y′＝3x2－eq\f（2,x3)。(2)y′＝eq\f（1＋cosx′·x2－1＋cosxx2′,x4）＝eq\f(－xsinx－2cosx－2,x3).（3)法1:∵y＝（4x－x)(ex＋1）＝4xex＋4x－xex－x，∴y′＝（4xex＋4x－xex－x)′＝(4x)′ex＋4x(ex)′＋(4x)′－[x′ex＋x（ex）′]－x′＝ex4xln4＋4xex＋4xln4－ex－xex－1＝ex（4xln4＋4x－1－x）＋4xln4－1.法2：y′＝（4x－x）′(ex＋1）＋（4x－x)(ex＋1)′＝(4xln4－1)（ex＋1）＋（4x－x)ex＝ex（4xln4＋4x－1－x）＋4xln4－1.13．已知点P是曲线y＝ex上任一点，求点P到直线y＝x的最小距离．解：设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点(x0，y0），该切点即为与y＝x距离最近的点，如右图，则在点P(x0,y0）处的切线的斜率为1，即y′|x＝x0＝1。∵y′＝（ex)′＝ex。∴ex0＝1,得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1），利用点到直线的距离公式得d＝eq\f(|0－1|，\r（12＋－12)）＝eq\f（\r（2)，2)。故点P到直线y＝x的最小距离为eq\f(\r（2）,2)。——能力提升类——14．已知A、B、C三点在曲线y＝eq\r（x)上，其横坐标依次为1、m、4（1<m<4)，当△ABC的面积最大时，m的值等于eq\f(9，4).解析：如图，在△ABC中，边AC是确定的，要使△ABC的面积最大,则点B到直线AC的距离应最大,可以将直线AC作平行移动，显然当直线与曲线相切时，距离达到最大，即当过B点的切线平行于直线AC时,△ABC的面积最大．f′（m）＝eq\f(1，2\r(m))，A点坐标为（1,1)，C点坐标为(4，2)，∴kAC＝eq\f（2－1，4－1)＝eq\f（1,3）,∴eq\f（1,2\r(m））＝eq\f（1,3)，∴m＝eq\f（9,4).15．已知函数f(x)＝ax2＋1（a>0），g(x)＝x3＋bx.若曲线y＝f(x）与曲线y＝g(x）在它们的交点(1，c）处具有公共切线，求a，b的值．解：f（x）＝ax2＋1(a〉0)，则f′（x)＝2ax，从而