2021届数学大总复习课时作业57双曲线含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2021届高考数学人教B版大一轮总复习课时作业57双曲线含解析课时作业57双曲线一、选择题1．已知双曲线eq\f（x2,9)－eq\f（y2,4)＝1，则其焦距为（D)A。eq\r（5） B．2eq\r（5）C。eq\r（13) D．2eq\r(13)解析：由双曲线方程知c2＝9＋4＝13，∴c＝eq\r(13)，∴焦距为2eq\r（13),故选D。2．(2019·北京卷)已知双曲线eq\f(x2，a2）－y2＝1（a>0）的离心率是eq\r（5)，则a＝（D)A.eq\r（6) B．4C．2 D.eq\f(1，2)解析：解法1:由双曲线方程可知b2＝1，所以c＝eq\r(a2＋b2）＝eq\r（a2＋1）,所以e＝eq\f（c，a）＝eq\f（\r(a2＋1），a）＝eq\r（5)，解得a＝eq\f(1，2),故选D.解法2：由e＝eq\r（5）,e2＝1＋eq\f（b2，a2）,b2＝1,得5＝1＋eq\f(1,a2)，得a＝eq\f（1，2)，故选D。3．已知双曲线eq\f(x2,m)－eq\f(y2,m＋6）＝1（m〉0）的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（D）A。eq\f(x2,2）－eq\f（y2，4）＝1 B。eq\f(x2,4）－eq\f（y2,8)＝1C．x2－eq\f（y2，8）＝1 D。eq\f(x2，2）－eq\f（y2,8)＝1解析：由题意，得2eq\r(m）＝eq\r(m＋6)，解得m＝2，∴双曲线的标准方程为eq\f（x2，2)－eq\f(y2,8）＝1，故选D.4．(2020·合肥市质量检测)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f（y2,b2）＝1（a>0，b>0）的一条渐近线方程为y＝2x,且经过点P(eq\r(6），4），则双曲线的方程是(C)A。eq\f(x2，4)－eq\f（y2，32）＝1 B。eq\f（x2，3)－eq\f（y2，4）＝1C。eq\f（x2，2)－eq\f（y2，8）＝1 D．x2－eq\f（y2，4)＝1解析：因为双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，所以eq\f(b,a)＝2①.又双曲线过点P（eq\r(6），4），所以eq\f（6，a2）－eq\f（16,b2)＝1②.①②联立，解得a＝eq\r（2），b＝2eq\r(2)，所以双曲线的方程为eq\f（x2,2）－eq\f（y2，8)＝1，故选C.5．已知定点F1(－2，0)，F2(2，0），N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点A．直线 B．圆C．椭圆 D．双曲线解析：因为N为线段F1M的中点,O为线段F1F2的中点，所以|F2M｜＝2|ON｜＝2.因为P在线段F1M的中垂线上,所以|PF1|＝｜PM｜，所以｜｜PF1｜－｜PF2｜|＝｜F2M|＝2｜ON|＝2<|F6．(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C：eq\f（x2,4)－eq\f(y2，2）＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO｜＝｜PF｜，则△PFO的面积为（A）A.eq\f（3\r（2),4) B。eq\f(3\r(2)，2）C．2eq\r（2) D．3eq\r（2）解析：不妨设点P在第一象限，根据题意可知c2＝6，所以|OF|＝eq\r(6).又tan∠POF＝eq\f(b,a)＝eq\f(\r（2)，2），所以等腰三角形POF的高h＝eq\f（\r(6),2）×eq\f(\r（2)，2)＝eq\f（\r(3），2),所以S△PFO＝eq\f（1，2）×eq\r（6）×eq\f（\r(3),2)＝eq\f（3\r(2）,4).7．（2020·洛阳市第二次联考)经过点（2，1），且渐近线与圆x2＋（y－2)2＝1相切的双曲线的标准方程为（A)A。eq\f（x2,\f（11，3))－eq\f(y2，11）＝1 B.eq\f（x2，2）－y2＝1C.eq\f（y2,\f(11，3））－eq\f（x2,11）＝1 D.eq\f（y2,11）－eq\f（x2，\f(11,3))＝1解析：设双曲线的渐近线方程为y＝kx,即kx－y＝0，由渐近线与圆x2＋（y－2）2＝1相切可得圆心（0,2）到渐近线的距离等于半径1，由点到直线的距离公式可得eq\f(|k×0－2｜，\r(k2＋1))＝1，解得k＝±eq\r（3）.因为双曲线经过点（2,1)，所以双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的方程为eq\f(x2，a2）－eq\f(y2,b2）＝1（a〉0,b〉0）,将点(2,1）代入可得eq\f（4，a2)－eq\f(1,b2）＝1，由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（\f（4，a2）－\f（1,b2)＝1，,\f(b,a)＝\r(3）,))得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a2＝\f（11,3）,，b2＝11,))故所求双曲线的方程为eq\f（x2，\f（11,3））－eq\f(y2,11）＝1.故选A。8．已知双曲线eq\f(x2，4）－eq\f（y2，2）＝1的右焦点为F,P为双曲线左支上一点,点A（0,eq\r（2）），则△APF周长l的最小值为（B）A．4＋eq\r(2) B．4(1＋eq\r（2)）C．2(eq\r(2)＋eq\r(6）) D.eq\r（6）＋3eq\r(2）解析：设双曲线的左焦点为F′.双曲线的右焦点为F(eq\r（6）,0)，△APF的周长l＝|AF｜＋｜AP｜＋|PF｜＝｜AF｜＋|AP｜＋2a＋｜PF′|，要使△APF周长最小，只需|AP|＋|PF′｜最小，如图，当A，P,F′三点共线时|AP|＋｜PF′|取得最小值，此时l＝2｜AF|＋2a＝4(1＋eq\r(2）)，故选B.9．（2019·天津卷)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l。若l与双曲线eq\f（x2，a2)－eq\f（y2，b2）＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于A和点B，且｜AB｜＝4|OF|(O为原点）,则双曲线的离心率为（D）A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．2 D。eq\r（5）解析:由题意，可得F（1,0）,直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b，a)x。将x＝－1代入y＝±eq\f(b，a)x，得y＝±eq\f（b,a)，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为eq\f（b，a）.由|AB｜＝4｜OF|可得eq\f（2b,a）＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝eq\f（c,a）＝eq\r(\f(a2＋b2，a2)）＝eq\r（5).10．（2020·广东省七校联合体联考)若双曲线C：eq\f(x2,a2）－eq\f（y2，b2)＝1(a>0，b〉0)的中心为O，过C的右顶点A1和右焦点F分别作垂直于x轴的直线,交C的渐近线于A，B两点和M，N两点，若△OAB与△OMN的面积比为14，则C的渐近线方程为(B）A．y＝±x B．y＝±eq\r（3)xC．y＝±2x D．y＝±3x解析：如图,因为AB∥MN,所以△OAB∽△OMN,又△OAB与△OMN的面积比为14,所以eq\f(｜OA1｜,｜OF｜)＝eq\f（a，c)＝eq\f（1,2),则a＝eq\f(1，2)c，所以b2＝c2－a2＝eq\f（3，4）c2，则b＝eq\f(\r（3)，2)c,所以双曲线eq\f(x2,a2）－eq\f（y2,b2)＝1（a〉0，b〉0)的渐近线方程为y＝±eq\f(b，a）x＝±eq\f（\f(\r(3)，2）c，\f（1,2)c）＝±eq\r(3）x，故选B。11．已知双曲线eq\f（x2，a2）－eq\f（y2,b2)＝1（a〉0，b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，点A为双曲线右支上一点，线段AF1交左支于点B，若AF2⊥BF2，且｜BF1|＝eq\f(1,3）｜AF2|，则该双曲线的离心率为（B）A.eq\r(2) B。eq\f(\r（65），5)C。eq\f(3\r（5),5） D．3解析：设|AF2｜＝x，∵点A在双曲线的右支上，∴｜AF1|＝2a＋x.∵｜BF1｜＝eq\f(|AF2｜，3），∴|BF1｜＝eq\f（x,3），∴｜AB|＝2a＋eq\f(2x，3).∵点B在双曲线的左支上，∴|BF2｜＝2a＋eq\f(x，3）.∵AF2⊥BF2，∴(2a＋eq\f(2x,3)）2－(2a＋eq\f(x,3））2＝x2,化简得x＝2a，∴|AF1｜＝4a,｜AB|＝eq\f(10，3）a，∴cos∠BAF2＝eq\f（3，5).在△AF1F2中，由余弦定理得｜AF1｜2＋｜AF2|2－2|AF1｜｜AF2｜cos∠BAF2＝|F1F2|2,即16a2＋4a2－2×4a×2a×eq\f（3，5）＝4c2，即13a2＝5c2,∴eq\f（c,a)＝eq\f(\r（65），5),∴双曲线的离心率为eq\f（\r（65），5），故选B.12．（2020·贵阳市监测考试)已知点F是双曲线C：eq\f(x2，a2）－eq\f（y2，b2）＝1(a〉0，b>0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（B)A．（1,2） B．（2，＋∞)C．（1，3］ D．［3,＋∞)解析：根据双曲线的对称性,可知∠AEF>eq\f(π，4）可使△ABE为钝角三角形，即eq\f(b2,a）〉a＋c⇒b2>a2＋ac⇒c2〉2a2＋ac⇒e2－e－2>0(e〉1），所以e>2，选B。二、填空题13．(2019·江苏卷）在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2－eq\f（y2，b2）＝1(b>0)经过点(3，4),则该双曲线的渐近线方程是y＝±eq\r（2）x..解析:因为双曲线x2－eq\f（y2，b2)＝1（b〉0）经过点(3，4)，所以9－eq\f(16,b2）＝1,得b＝eq\r（2)，所以该双曲线的渐近线方程是y＝±bx＝±eq\r（2）x。14．（2020·石家庄检测)已知双曲线C：x2－4y2＝1，过点P(2,0）的直线l与C有唯一公共点,则直线l的方程为y＝±eq\f(1，2）（x－2)．解析：∵双曲线C的方程为x2－4y2＝1，∴a＝1，b＝eq\f（1，2），∴渐近线方程为y＝±eq\f（1,2)x.∵P(2,0）在双曲线内部且直线l与双曲线有唯一公共点,∴直线l与双曲线的渐近线平行，∴直线l的斜率为±eq\f（1，2），∴直线l的方程为y＝±eq\f（1，2）(x－2）．15．(2020·昆明市诊断测试）已知点P(1，eq\r(3）)在双曲线C：eq\f（x2,a2）－eq\f(y2，b2)＝1（a〉0，b〉0）的渐近线上，F为C的右焦点,O为原点，若∠FPO＝90°，则C的方程为eq\f（x2,4）－eq\f(y2,12）＝1。解析：设双曲线的一条渐近线方程为y＝eq\f(b,a）x,由渐近线过点P(1,eq\r(3))，得eq\f（b，a）＝eq\r(3)，且|OP|＝2.焦点到渐近线的距离是b,即|PF|＝b,在Rt△OPF中,|OF｜2＝｜OP|2＋｜PF|2，即c2＝22＋b2.又c2＝a2＋b2，所以a＝2，b＝2eq\r(3)，所以双曲线C的方程为eq\f(x2，4)－eq\f(y2，12）＝1。16．(2020·济南市质量评估)古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作《圆锥曲线论》中记截了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法．如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的轴重合），已知两个圆锥的底面半径均为1，母线长均为2，记过圆锥轴的平面ABCD为平面α（α与两个圆锥侧面的交线为AC,BD),用平行于α的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线即双曲线Γ的一部分,且双曲线Γ的两条渐近线分别平行于AC，BD，则双曲线Γ的离心率为（A）A。eq\f（2\r(3）,3) B。eq\r(2）C.eq\r（3) D．2解析：设与平面α平行的平面为β，以AC，BD的交点在平面β内的射影为坐标原点，两圆锥的轴在平面β内的射影为x轴，在平面β内与x轴垂直的直线为y轴,建立平面直角坐标系．根据题意可设双曲线Γ:eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b〉0）．由题意可得双曲线Γ的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3)，3)x，即eq\f(b，a）＝eq\f(\r（3)，3),所以离心率e＝eq\f(c，a）＝eq\r（1＋\f（b,a)2）＝eq\f（2\r（3），3）.17．(2020·济南市模拟)已知一族双曲线En：x2－y2＝eq\f（n,2019）(n∈N*，且n≤2019），设直线x＝2与En在第一象限内的交点为An,点An在En的两条渐近线上的射影分别为Bn,Cn。记△AnBnCn的面积为an，则a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝eq\f（505,2).解析：因为双曲线的方程为x2－y2＝eq\f(n，2019)(n∈N*,且n≤2019)，所以其渐近线方程为y＝±x，设点An(2，yn)，则4－yeq\o\al(2，n)＝eq\f(n，2019)（n∈N＊,且n≤2019）．记An(2，yn）到两条渐近线的距离分别为d1，d2，则S△AnBnCn＝eq\f(1,2）d1d2＝eq\f(1，2)×eq\f(｜2＋yn｜,\r(2)）×eq\f（|2－yn|，\r（2）)＝eq\f(|4－y\o\al（2,n)｜,4)＝eq\f（\f（n,2019),4)＝eq\f（n,4×2019)，故an＝eq\f(n，4×2019)，因此{an}为等差数列，故a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝eq\f(1,4×2019)×2019＋eq\f（1,4×2019）×eq\f（2019×2018，2)＝eq\f（505,2).18．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f（y2，b2)＝1(a〉0，b〉0）的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线方程是y＝±eq\f（2\r（5)，5)x，点A（0,b)，且△AF1F2的面积为6.（1）求双曲线C的标准方程；(2）直线l：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点P，Q，若｜AP｜＝|AQ｜，求实数m