2020-2021数学北师大版第一册教师用书：第6章 §4 4.2分层随机抽样的均值与方差 4.3百分位数含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年新教材数学北师大版必修第一册教师用书：第6章§44.2分层随机抽样的均值与方差4.3百分位数含解析4.2分层随机抽样的均值与方差4。3百分位数学习目标核心素养1。结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差．(难点、重点)2．结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义．（难点、重点）1．通过计算分层随机抽样的样本的均值和方差，培养数学运算素养．2．通过学习分层随机抽样的样本均值和样本方差的意义，培养数据分析素养．1．分层随机抽样的均值设样本中不同层的平均数和相应权重分别为eq\x\to(x）1，eq\x\to（x)2，…，xn和w1，w2，…，wn，则这个样本的平均数为w1eq\x\to（x)1＋w2eq\x\to(x)2＋…＋wnxn．为了简化表示，引进求和符号，记作w1eq\x\to(x)1＋w2eq\x\to（x)2＋…＋wnxn＝eq\o(eq\o（∑，\s\up16(n)）,\s\do14（i＝1））wixi．2．分层随机抽样的方差设样本中不同层的平均数分别为eq\x\to(x）1，eq\x\to(x)2,…，xn，方差分别为seq\o\al(\s\up1(2），\s\do1（1）），seq\o\al（\s\up1(2)，\s\do1（2)）,…seq\o\al（\s\up1(2)，\s\do1(n）），相应的权重分别为w1，w2，…，wn,则这个样本的方差为s2＝eq\o(eq\o(∑,\s\up16（n））,\s\do14(i＝1))wi[seq\o\al（\s\up1（2),\s\do1(i）)＋（xi－eq\x\to（x)）2］，其中eq\x\to（x)为样本平均数．3．百分位数（1）定义:一般地，当总体是连续变量时，给定一个百分数p∈（0，1)，总体的p分位数有这样的特点：总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p。(2)常用的百分位数：①四分位数：25％，50％，75%，②其它常用的百分位数:1%，5％,10％,90％，95%，99％．（3）计算一组n个数据的p分位数的一般步骤如下：第1步,按照从小到大排列原始数据；第2步，计算i＝np;第3步，若i不是整数，大于i的最小整数为j，则p分位数为第j项数据；若i是整数，则p分位数为第i项与第（i＋1)项数据的平均数．思考：1。甲班和乙班各有学生20人、40人,甲班的数学成绩的平均数为80分，方差为2，乙班的数学成绩的平均数为82分，方差为4,那么甲班和乙班这60人的数学成绩的平均分是eq\f（80＋82,2）＝81分吗？方差是eq\f（2＋4,2）＝3吗？为什么？[提示］不是，因为甲班和乙班在这60人中的权重是不同的．2．“这次数学测试成绩的70%分位数是85分”这句话是什么意思?提示:有70%的同学数学测试成绩小于或等于85分．1．下列一组数据的25％分位数是（)2．1，3.0，3.2，3.8，3。4,4.0，4。2,4.4,5.3，5。6。A．3。2B．3.0C．4。4A[把该组数据按照由小到大排列，可得:2．1，3.0,3。2，3.4,3。8,4.0,4.2,4.4，5。3,5.6.由i＝10×25％＝2。5，不是整数,则第3个数据3。2是25％分位数．]2．某单位共有员工100人，其中年轻人有20人，平均年薪为5万元，中年人有80人,平均年薪为8万元，则该单位员工的平均年薪为（）A．5万元B．8万元C．6.5万元D．7。4万元D［由题意可知eq\x\to（x)＝eq\f（20,100）×5＋eq\f（80，100）×8＝7.4（万元）。］3．利用分层随机抽样抽得A，B两组数据，其平均数分别是xA＝2。3，xB＝2。8,这两组数据的平均数eq\x\to(x）＝2.4，则A组数据在两组数据中的权重wA＝________．eq\f（4,5）［由eq\x\to(x）＝wAxA＋wBxB可得2.4＝wA×2.3＋(1－wA）×2.8,解得wA＝eq\f（4，5）.]分层随机抽样的平均数【例1】某公益组织在某社区调查年龄在［20，50］内的居民熬夜时间，得到如下表格：年龄区间居民人数（单位：百人)所占比例平均熬夜时长(单位：h)[20，30)3.630%4[30，40)6b2［40,50］ac1其中有三项数据由于污损用a，b，c代替,试求该社区所调查居民的平均熬夜时长．［解]由表可知该社区在[20,50］内的居民人数为3。6÷30％＝12（百人)，则年龄在[30，40)的居民所占比例为6÷12＝50%，年龄在［40,50］的居民人数所占比例为1－30％－50%＝20％,故该社区所调查居民的平均熬夜时长为eq\x\to（x）＝4×30%＋2×50％＋1×20%＝1。2＋1＋0.2＝2。4(h）.分层随机抽样的平均数的计算方法(1)第i层的权重wi、第i层的个体数xi，样本容量n，三者满足wi＝eq\f（xi，n),已知其中2个可求另外1个．（2)在利用公式eq\x\to（x）＝w1eq\x\to(x)1＋w2eq\x\to（x)2＋…＋wnxn求分层随机抽样的平均数时,要清楚公式中各符号的含义，避免代入数据时出现失误,同时要仔细运算,按照要求保留有效小数．eq\a\vs4\al（[跟进训练］）1．某市有大、中、小型商店的数量之比为1∶5∶9,其中大型商店的年纳税额为300万元，中型商店的年纳税额为25万元，小型商店的年纳税额为0。4万元，求该市所有商店的年平均纳税额．（结果保留一位小数）［解］由题意知，该市所有商店的年平均纳税额为eq\x\to(x)＝eq\f（1，1＋5＋9)×300＋eq\f（5,1＋5＋9）×25＋eq\f(9，1＋5＋9）×0。4≈28。6(万元),所以该市所有商店的年平均纳税额为28.6万元．分层随机抽样的方差【例2】甲、乙两支田径队体检结果为：甲队体重的平均数为60kg,方差为200，乙队体重的平均数为70kg,方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，[解]由题意可知eq\x\to(x）甲＝60，甲队队员在所有队员中所占权重为w甲＝eq\f（1，1＋4)＝eq\f（1,5)，eq\x\to(x）乙＝70，乙队队员在所有队员中所占权重为w乙＝eq\f（4,1＋4）＝eq\f(4,5)，则甲、乙两队全部队员的平均体重为eq\x\to（x）＝w甲eq\x\to（x）甲＋w乙eq\x\to(x）乙＝eq\f(1,5）×60＋eq\f（4，5)×70＝68（kg），甲、乙两队全部队员的体重的方差为s2＝w甲［seq\o\al(\s\up1(2），\s\do1（甲）)＋(eq\x\to（x)甲－eq\x\to（x))2]＋w乙［seq\o\al（\s\up1（2)，\s\do1（乙）)＋（eq\x\to（x)乙－eq\x\to(x)）2]＝eq\f(1，5)［200＋（60－68)2]＋eq\f(4，5)[300＋(70－68)2］＝296。计算分层随机抽样的方差s2的步骤(1)确定eq\x\to（x)1，eq\x\to(x）2，…，xn,seq\o\al(\s\up1（2），\s\do1(1）)，seq\o\al(\s\up1（2)，\s\do1（2)）,…，seq\o\al(\s\up1（2)，\s\do1(n)),w1，w2，…，wn；(2)确定eq\x\to(x)；(3）应用公式s2＝eq\o(eq\o(∑,\s\up16(n）),\s\do14（i＝1))wi[seq\o\al(\s\up1（2),\s\do1（i））＋（xi－eq\x\to(x）)2］计算s2.eq\a\vs4\al（［跟进训练］）2．已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6，2019年6月份调查得知该省所有城市房产均价为1。2万元/平方米,方差为20，二、三、四线城市的房产均价分别为2。4万元/平方米,1.8万元/平方米，0.8万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10，8，则二线城市的房价的方差为________．118．52［设二线城市的房价的方差为s2,由题意可知20＝eq\f(1,1＋3＋6）［s2＋(1。2－2.4）2]＋eq\f（3,1＋3＋6)[10＋（1。2－1。8）2]＋eq\f（6,1＋3＋6)[8＋（1.2－0。8)2]，解得s2＝118。52，即二线城市的房价的方差为118。52.］百分位数［探究问题］1．p分位数有什么特点？提示：总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p。2．某组数据的p分位数在此组数据中一定存在吗？为什么？提示:不一定．因为按照计算p分位数的步骤，第2步计算所得的i＝np如果是整数，则p分位数为第i项与第(i＋1）项数据的平均数，若第i项与第(i＋1）项数据不相等,则p分位数在此组数据中就不存在．【例3】从某珍珠公司生产的产品中,任意抽取12颗珍珠,得到它们的质量(单位:g)如下：7．9，9。0，8.9，8。6，8。4，8。5，8.5,8.5,9。9,7。8，8。3，8.0,分别求出这组数据的25%，75%，95%分位数．[思路点拨]eq\x(按照从小到大排列数据）→eq\x（计算i＝np)→eq\x（按照规则确定百分位数)[解］将所有数据按从小到大排列，得7．8,7.9，8.0,8.3，8.4,8.5,8。5,8.5,8.6，8.9,9.0，9。9，因为共有12个数据，所以12×25%＝3，12×75％＝9，12×95％＝11.4,则25％分位数是eq\f(8.0＋8。3,2）＝8.15，75％分位数是eq\f（8。6＋8。9,2）＝8。75，95％分位数是第12个数据，为9。9.1．在本例中请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量．［解]因为共有12个数据，所以12×15%＝1。8，则15%分位数是第2个数据，为7。9.即产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8,7.9.2．若用25％，50%，95％分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品,依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准．[解］由例3解答可知样本数据的25％分位数是8。15g，50％分位数为8。5g,95％分位数是9。9，所以质量小于或等于8。15g的珍珠为次品，质量大于8。15g且小于或等于8。5g的珍珠为合格品，质量大于8。5g且小于等于9.9g的珍珠为优等品计算一组n个数据的p分位数的一般步骤(1）排列:按照从小到大排列原始数据；(2）算i：计算i＝np;(3）定数：若i不是整数，大于i的最小整数为j，则p分位数为第j项数据；若i是整数，则p分位数为第i项与第(i＋1）项数据的平均数．1．本节的重点和难点是对两个公式的理解与应用：计算分层随机抽样的平均数的公式：eq\x\to（x)＝w1eq\x\to(x）1＋w2eq\x\to(x）2＋…＋wnxn＝eq\o（eq\o（∑，\s\up16(n）),\s\do14(i＝1））wixi．计算分层随机抽样的方差的公式：s2＝eq\o(eq\o（∑，\s\up16(n））,\s\do14（i＝1））wi[seq\o\al（\s\up1（2）,\s\do1（i））＋（xi－eq\x\to(x))2].2．求一组数据的百分位数时，掌握其步骤：①按照从小到大排列原始数据；②计算i＝np；③若i不是整数，大于i的最小整数为j，则p分位数为第j项数据；若i是整数,则p分位数为第i项与第（i＋1)项数据的平均数．1．思考辨析（正确的画“√”,错误的画“×”）（1)若一组样本数据各不相等,则75%分位数大于25%分位数． (）（2）计算分层随机抽样的均值与方差时,必须已知各层的权重． （）(3）若一组样本数据的10％分位数是23，则在这组数据中有10%的数据大于23。 (）[提示］（1)正确．（2)正确．(3)错误．若一组样本数据的10％分位数是23，则在这组数据中有10％的数据小于或等于23。[答案](1）√（2）√（3）×2．下列关于50％分位数的说法正确的是（)A．50％分位数就是中位数B．总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50%C．它是四分位数D．它适用于总体是离散型的数据A［由百分位数的意义可知选项B,C，D错误．]3．已知甲、乙两地人口