北师大版选择性必修第一册7.2.1-7.2.2相关系数成对数据的线性相关性分析学案

§2成对数据的线性相关性2.1相关系数2.2成对数据的线性相关性分析学习目标1.能结合向量共线与夹角来理解相关系数公式,进一步了解样本相关系数的统计含义,培养直观想象和数学建模能力.2.会计算样本相关系数,并能根据相关系数的大小判断变量之间相关程度的强弱,提升数据分析和数学运算素养.问题1:如图是一组数据的散点图,若求出相应的线性回归方程,求出的线性回归方程可以用作预测和估计吗?提示:图(1)中两个变量线性相关性很弱,求出的线性回归方程不能用作预测和估计;图(2)中两个变量线性相关性很强,求出的线性回归方程能用作预测和估计.1.相关系数一般地,设随机变量X,Y的n组观测值分别为(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),记r=(x称r为随机变量X和Y的样本(线性)相关系数.r还可以表示为r=(xr=∑i=1n问题2:两个变量Y与X的回归模型中,分别选择了4个不同的模型,它们的相关系数r如表,其中拟合效果最好的模型是哪一个?模型模型1模型2模型3模型4相关系数r0.150.480.960.50提示:模型3.2.相关系数r的性质(1)r的取值范围为[-1,1];(2)|r|值越接近1,随机变量之间的线性相关程度越强;|r|值越接近0,随机变量之间的线性相关程度越弱;(3)当r>0时,两个随机变量的值总体上变化趋势相同,此时称两个随机变量正相关;(4)当r<0时,两个随机变量的值总体上变化趋势相反,此时称两个随机变量负相关;(5)当r=0时,此时称两个随机变量线性不相关.相关系数[例1](1)某相关变量X,Y的散点图如图所示,现对这两个变量进行回归分析,方案一,根据图中所有数据分析,可得到线性回归方程Y=1X+1,样本相关系数为r1;方案二,剔除点(10,32),根据剩下数据分析,可得到线性回归方程Y=2X+2,样本相关系数为r2.则()

A.0<r1<r2<1 B.0<r2<r1<1C.-1<r1<r2<0D.-D.-1<r2<r1<0(2)(2021·山东威海第一中学月考)对变量X,Y有观测数据(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1)对变量U,V有观测数据(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5),r1表示变量X,Y之间的线性相关系数,r2表示变量U,V之间的线性相关系数,则()A.r2<r1<0 B.0<r2<r1C.r1<0<r2 D.r2=r1解析:(1)由题中散点图可知,变量X和Y成正相关,故0<r1<1,0<r2<1,在剔除点(10,32)之后,可看出X与Y之间的线性相关程度更强,故r1<r2.所以0<r1<r2<1.故选A.(2)由条件可知,第一组中的数据负相关,相关系数小于零;第二组中的数据正相关,相关系数大于零,所以有r1<0<r2.故选C.线性相关系数是从数值上来判断变量间的线性相关程度,是定量的方法.与散点图相比较,线性相关系数要精细得多.[针对训练](多选题)(2021·湖北十堰高二期末)相关变量X,Y的散点图如图所示,现对这两个变量进行线性相关分析.方案一:根据图中所有数据,得到线性回归方程Y=1X+1,相关系数为r1;方案二:剔除点(10,21),根据剩下的数据得到线性回归方程Y=2X+2,相关系数为r2.则()A.r1=r2 B.r1<r2C.r1>r2 D.r1,r2∈(-1,0)解析:由散点图可知这两个变量为负相关,所以r1,r2<0.因为剔除点(10,21)后,剩下点的数据更具有线性相关性,|r2|更接近1,所以-1<r2<r1<0.故选CD.成对数据的相关性[例2](2021·山东菏泽期中)随着智能手机的普及,使用手机上网成为人们日常生活的一部分,很多消费者对手机流量的需求越来越大,某通信公司为了更好地满足消费者对流量的需求,准备推出一款流量包.该通信公司选了5个城市(总人数、经济发展情况、消费能力等方面比较接近),采用不同的定价方案作为试点,经过一个月的统计,发现该流量包的定价X(单位:元/月)和购买人数Y(单位:万人)的关系如表:X3035404550Y18141085(1)根据表中的数据,运用相关系数进行分析说明,是否可以用线性回归模型拟合Y与X的关系?并指出Y与X是正相关还是负相关.(2)①求出Y关于X的回归方程;②若该通信公司在一个类似于试点的城市中将这款流量包的价格定为25元/月,请用所求回归方程预测该市一个月内购买该流量包的人数能否超过20万.附:25000≈158,26000≈161,=∑i=1n(xi-x)(解:(1)根据题意,得x=15×(30+35+40+45+50)=40,y=15可列表:i12345xi-x-10-50510yi-y73-1-3-6(xi-x)(yi-y)-70-150-15-60则∑i=15(xi-x)(yi∑i=15因此相关系数r=∑i=15(2)①由(1)得Y与X线性相关,设回归直线方程为Y=X+,则=∑i=15(xi-x)(y②由①知,若X=25,则Y=-0.64×25+36.6=20.6,故若将流量包的价格定为25元/月,则预测该市一个月内购买该流量包的人数能超过20万.(1)散点图可以直观地判断两变量是否具有线性关系.(2)相关系数的计算运算量较大,注意运算的准确性.[针对训练](2021·陕西二模)科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中,获得了一些年龄和脂肪含量的样本数据,如表:X(年龄/岁)26273941495356586061Y(脂肪含量/%)14.517.821.225.926.329.631.433.535.234.6根据表中数据得到如图所示的散点图.(1)根据表中的样本数据及其散点图,计算样本相关系数(精确到0.01),并刻画它们的相关程度;(2)若Y关于X的线性回归方程为Y=1.56+X,求的值(精确到0.01),并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量.附:y=27,∑i=110xiyi=13527.8,∑i=110x相关系数r=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n解:(1)根据题表中的样本数据及其散点图知,x=26+27+39+41+49+53+56+58+60+6110相关系数r=∑=13=13=837.所以r=837.由样本相关系数r≈0.98,可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强.(2)因为回归方程为Y=1.56+X,即=1.56,所以=y-∧ax所以Y关于X的线性回归方程为Y=0.54X+1.56,将X=50代入线性回归方程得Y=0.54×50+1.56=28.56.所以根据回归方程估计年龄为50岁时人的脂肪含量为28.56%.1.(2021·天津高二期末)对变量X,Y由观测数据得散点图1,对变量U,V由观测数据得散点图2,由这两个散点图可以推断(D)A.X与Y正相关,U与V正相关B.X与Y正相关,U与V负相关C.X与Y负相关,U与V负相关D.X与Y负相关,U与V正相关解析:题图1中的点分布在从左上角到右下角的带状区域内,所以X与Y负相关;题图2中的点分布在从左下角到右上角的带状区域内,所以U与V正相关.故选D.2.(2022·山东聊城一中期中)对四组数据进行统计,获得如图所示的散点图,关于其相关系数的比较,正确的是(A)A.r1<r4<0<r3<r2 B.r4<r1<0<r3<r2C.r4<r2<0<r3<r1 D.r2<r4<0<r1<r3解析:由题图可知,题图2和题图3是正相关,题图1和题图4是负相关,题图1和题图2的点相对更加集中,所以相关性更强,所以r1接近于-1,r2接近于1,所以r1<r4<0<r3<r2.故选A.3.(2021·广西玉林育才中学月考)已知r1表示变量X与Y之间的线性相关系数,r2表示变量U与V之间的线性相关系数,且r1=0.837,r2=-0.957,则(C)A.变量X与Y之间呈正相关关系,且X与Y之间的相关性强于U与V之间的相关性B.变量X与Y之间呈负相关关系,且X与Y之间的相关性强于U与V之间的相关性C.变量U与V之间呈负相关关系,且X与Y之间的相关性弱于U与V之间的相关性D.变量U与V之间呈正相关关系,且X与Y之间的相关性弱于U与V之间的相关性解析:因为线性相关系数r1=0.837,r2=-0.957,所以变量X与Y之间呈正相关关系,变量U与V之间呈负相关关系,X与Y之间的相关性弱于U与V之间的相关性.故选C.[例1](2021·浙江丽水期末)甲、乙、丙、丁四名同学各自对A,B两变量的线性相关性做试验,并用回归分析的方法分别求得相关系数r如表:甲乙丙丁r-0.82-0.78-0.69-0.85则哪名同学的试验结果体现A,B两变量有更强的线性相关性()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁解析:因为0.85>0.82>0.78>0.69,且相关系数的绝对值越接近于1,则两个变量的线性相关性越强,所以能体现出A,B两变量有更强的线性相关性的是丁.故选D.[例2](2021·江西吉安期末)某商场五天内T恤衫的销售情况如表:第X天12345销售量Y/件19395979104则下列说法正确的是()A.Y与X负相关 B.Y与X正相关C.Y与X不相关 D.Y与X成正比例关系解析:根据表格中的数据作出散点图,可知所有点都在一条直线附近波动,是线性相关的,且Y值随着X值的增大而增大,即Y与X正相关.故选B.[例3](多选题)以下是某小区5套房成交价格Y(单位:万元)与住房面积X(单位:m2)之间的统计数据.(成交价格受面积、楼层、位置等因素影响)面积X/m28095105110125价格Y/万元120142161171186若Y与X之间具有线性相关关系,根据表中数据可求得Y关于X的回归方程为Y=1.52X+,则下列说法正确的是()A.=55.66B.变量X与Y具有负相关关系C.当住房面积增加1m2时,其价格增加约1.52万元D.根据回归方程估计,若住房面积为150m2,则成交价格约为227.44万元解析:根据表中数据可求得x=80+95+105+110+1255y=120+142+161+171+1865将点(103,156)代入回归方程解得=-0.56,故A错误;由回归方程为Y=1.52X+,可知变量X与Y具有正相关关系,故B错误;因为Y=1.52X+,故X增加1时,Y大约增加1.52,故C正确;将X=150代入方程求得Y=1.52×150-0.56=227.44,故D正确.故选CD.[例4]随着网络的发展,网上购物越来越受到人们的喜爱,各大购物网站为增加收入,促销策略越来越多样化,促销费用也不断增加.如表是某购物网站2020年1—8月促销费用(单位:万元)和产品销量(单位:万件)的具体数据:月份12345678促销费用X/万元2361013211518产品销量Y/万件11233.5544.5(1)根据数据散点图能够看出可用线性回归模型拟合Y与X的关系,请用相关系数r加以说明(系数精确到0.001);(2)建立Y关于X的线性回归方程Y=X+(系数精确到0.001);如果该公司在9月份实现产品销量超6万件,预测至少需要投入促销费用多少万元(结果精确到0.01).参考数据:∑i=18(xi-11)(yi-3)=74.5,∑i=18(xi-11)2=340,∑i=18(yi-3)2=16.5,参考公式:①样本(xi,yi)(i=1,2,…,n)的相关系数r=∑i②对于一组数据(x1,y1)