北师大版选择性必修第一册2-1-2椭圆的简单几何性质作业

课时作业(十二)椭圆的简单几何性质1．(2022山东德州模拟)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左右焦点为F1，F2离心率为eq\f(\r(3),3)，过F2的直线l交C与A，B两点，若△AF1B的周长为4eq\r(3)，则C的方程为()A.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 B.eq\f(x2,3)＋y2＝1C.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,8)＝1 D.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1答案：A解析：若△AF1B的周长为4eq\r(3)，由椭圆的定义可知4a＝4eq\r(3)，∴a＝eq\r(3)，∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3)，∴c＝1，∴b2＝2，所以方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1，故选A.2．(2022湖北荆门模拟)曲线eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1与曲线eq\f(x2,25－k)＋eq\f(y2,9－k)＝1(k<9)的()A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等答案：D解析：曲线eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1表示的椭圆焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为eq\f(4,5)，焦距为8.曲线eq\f(x2,25－k)＋eq\f(y2,9－k)＝1(k<9)表示的椭圆焦点在x轴上，长轴长为2eq\r(25－k)，短轴长为2eq\r(9－k)，离心率为eq\f(4,\r(25－k))，焦距为8.对照选项，则D正确．3．已知椭圆x2＋my2＝1的离心率e∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，则实数m的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(4,3)))答案：C解析：椭圆x2＋my2＝1的标准方程为x2＋eq\f(y2,\f(1,m))＝1.又eq\f(1,2)<e<1，e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(\f(a2－b2,a2))＝eq\r(1－\f(b2,a2))，所以0<eq\f(b2,a2)<eq\f(3,4).当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝1，b2＝eq\f(1,m)，则m>eq\f(4,3)；当椭圆的焦点在y轴上时，a2＝eq\f(1,m)，b2＝1，则0<m<eq\f(3,4).所以实数m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞)).故选C.4．(2021全国卷)已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为()A．13 B．12C．9 D．6答案：C解析：由题意，a2＝9，b2＝4，则|MF1|＋|MF2|＝2a＝6，所以|MF1|·|MF2|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|MF1|＋|MF2|,2)))2＝9(当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时，等号成立)．故选C.5．(2022福建泉州模拟)(多选题)已知椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F，E，直线x＝m(－1<m<1)与椭圆相交于点A，B，则()A．椭圆C的离心率为eq\f(\r(3),2)B．存在m，使△FAB为直角三角形C．存在m，使△FAB的周长最大D．当m＝0时，四边形FBEA面积最大答案：BD解析：对于A，由椭圆方程可得a＝2，b＝eq\r(3)，则c＝eq\r(a2－b2)＝1，椭圆C的离心率为e＝eq\f(1,2)，故A错误；对于B，当m＝0时，可以得出∠AFE＝eq\f(π,3)，若取m＝1时，得tan∠AFE＝eq\f(3,4)<1＝taneq\f(π,4)，根据椭圆的对称性，存在m使△FAB为直角三角形，故B正确；对于C，由椭圆的定义，得△FAB的周长＝|AB|＋|AF|＋|BF|＝|AB|＋(2a－|AE|)＋(2a－|BE|)＝4a＋|AB|－|AE∵|AE|＋|BE|≥|AB|，∴|AB|－|AE|－|BE|≤0，当AB过点E时取等号，∴|AB|＋|AF|＋|BF|＝4a＋|AB|－|AE|－|BE|≤4a，即直线x＝m过椭圆的右焦点E时，△FAB的周长最大，此时直线AB的方程为x＝m＝c＝1，但是－1<∴不存在m，使△FAB的周长最大，故C错误；对于D，|FE|一定，根据椭圆的对称性可知，当m＝0时，|AB|最大，四边形FBEA面积最大，故D正确．故选BD.6．在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点．已知点P(a，b)，△F1PF2为等腰三角形，则椭圆的离心率e＝________.答案：eq\f(1,2)解析：设F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)，由题意得|PF2|＝|F1F2|，即eq\r(?a－c?2＋b2)＝2c.把b2＝a2－c2代入，整理得2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2＋eq\f(c,a)－1＝0，解得eq\f(c,a)＝－1(舍去)或eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).7．焦点在x轴上的椭圆，焦距|F1F2|＝8，离心率为eq\f(4,5)，椭圆上的点M到焦点F1的距离2，N为MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为________．答案：4解析：∵|F1F2|＝2c＝8，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,5)，∴a＝5，∵|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，|MF1∴|MF2|＝8.又∵O，N分别为F1F2，MF1∴ON是△F1F∴|ON|＝eq\f(1,2)|MF2|＝4.8．求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为eq\f(1,2)，焦距为8；(2)短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到长轴上同侧顶点的距离为eq\r(3).解：(1)由题意知，2c＝8，c所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,a)＝eq\f(1,2)，所以a＝8，从而b2＝a2－c2＝48，所以椭圆的标准方程是eq\f(y2,64)＋eq\f(x2,48)＝1.(2)由已知eq\b\lc\{\rc