四年级三大原理加乘原理学生版

TOC\o"1-5"\h\z乘法原理：一般地，如果完成一件事需要n个步骤（缺一不可），第1步有m1种不同的方法，［第2步有m2种不同的方法，第3步有m3种不同的方法，……，第n步有m0种不同的方法，则完,成这件事一共有Nm1m2m3mn种不同的方法。 ［加法原理：一般地，如果完成一件事有n类方法（每一类中的任何一种方法都能独立完成这 ,件事情），第1类有mi种不同的方法，第2类有m2种不同的方法，第3类有m3种不同的方法，，］第n类有mn种不同的方法，则完成这件事一共有Nmim2m3mn种不同的方法。 .【课前引入】在做加、乘原理的题时，我们经常会遇到为地图涂色的题目。关于为地图涂色有一个看起来简单，但证明过程却十分复杂的题目一一四色猜想。四色猜想是世界近代三大数学难题之一。四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯・格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色， 使得有共同边界的国家着上不同的颜色。 ”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。 1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德・摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1878〜1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。 11年后，即1890年，数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。先辈数学大师们的努力， 为后世的数学家揭示四色猜想之谜铺平了道路。 进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。 1913年，伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧，美国数学家富兰克林于 1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。 1950年，有人从22国推进到35国。1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色； 随后又推进到了50国。看来这种推进仍然十分缓慢。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。 1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。 四色猜想的计算机证明,轰动了世界。它不仅解决了一个历时 100多年的难题，而且有可能成为数学史上一系列新思维的起点。不过也有不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们还在寻找一种简捷明快的书面证明方法。凶5s简单加乘【例1】从学而思学校到王明家有3条路可走，从王明家到张老师家有2条路可走，从学而思学校到张老师家有3条路可走，那么从学而思学校到张老师家共有多少种走法？【例2】如图所示，从甲地到乙地有5条路，从乙地到丁地有3条路，从甲地到丙地有2条路可走，从丙地到丁地也有6条路，请问从甲地到丁地共有多少种不同走法？【例3】某信号兵用红，黄，蓝，绿四面旗中的三面从上到下挂在旗杆上的三个位置表示信号。每次可挂1面或者2面或者3面，并且不同的顺序表示不同的信号。一共可以表示出多少种不同的信号?（不挂旗则没有信号）［例4］有两个不完全一样的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字 1、2、3、4、5、6。将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为奇数的有多少种情形？［例5］有三个不完全一样的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字 1、2、3、4、5、6。将三个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为奇数的有多少种情形？【例6】用数字0、1、2、3、4可以组成多少个小于1000的自然数？（各数字可重复使用）【例7】用0、1、2、3四个数码可以组成多少个没有重复数字的四位偶数?【例8】（2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛四年级决赛） 用0〜5这六个数字可组成个没有重复数字的四位偶数。[例9]2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛五年级）从0、0、1、2、3、4、5这七个数字中，任取3个组成三位数，共可组成个不同的三位数（这里每个数字只允许用1次，比如100、210就是可以组成的，而211就是不可以组成的）。【例10】（2008第七届“小机灵杯”数学竞赛四年级决赛）有一些三位数，三个数字之和是 21,这样的三位数有个。【例11】（2008第四届IMC国际数学邀请赛（新加坡）小学六年级初赛）在三位数中，至少有一位是3的共有个。【例12】用1、2、3、4、5五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个 3的倍数?【例13】从1到100的所有自然数中，不含有数字【例13】从1到100的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个？【例14】从1到500的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个？【例15】从1到300的所有自然数中，不含有数字2的自然数有多少个？【例16】由数字1,2,3,4组成的所有四位数中（数字不重复使用） ，从小到大排列，第7个数是【例17]由1,2,3,4,5五个数字组成的不同的五位数有 120个，将他们从大到小排列起来，第95个数是O【例18]由数字0、【例18]由数字0、2、8（既可全用也可不全用）组成的非零自然数，按照从小到大排列,个.2008排在第【例19】（2008第九届“中环杯”小学生思维能力训练活动五年级决赛）一个自然数，如果从左到右顺读和从右到左逆读都是一样，则这个数称为“回文数” ，如1、22、434、4554都是回文数。那么从小到大排列，第2009个回文数是（ ）。（不包括0）【例20】（2008年第十二届香港保良局小学数学世界邀请赛队际赛 ）在1到2008（含2008）的所有正整数中，数码和可被5整除的数共有多少个？宣地图的染色【例21]如图所示，地图上有A、B、C、D【例21]【例22】【例22】如图所示，地图上有A、B、C、D四个国家，现有红、黄、蓝、绿四种颜色给地图染色，使相邻国家的颜色不同，但不是每种颜色都必须要用，问有多少种不同的染色方法？【例23】【例23】如图所示，地图上有A、B、C、D、E五个国家，现有红、黄、蓝、绿四种颜色给地图染色,使相邻国家的颜色不同，但不是每种颜色都必须要用，问有多少种不同的染色方法？【例24］如图所示，地图上有A、B、C、D、E、F六个国家，现有五种颜色给地图染色，使相邻国家的颜色不同，但不是每种颜色都必须要用，问有多少种不同的染色方法？复杂加乘EFACDB复杂加乘EFACDB【例25】（2008年3月第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛五年级第 1试）从1〜9这九个数码中取出3个，使它们的和是3的倍数，则不同取法有种。【例26】（2008年第六届“走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛六年级决赛）从1〜25这25个自然数中，每次取出两个不同的数，使它们的和是4的倍数，共有种不同的取法。【例27】（2008年第六届“走进美妙的数学花园”中国青年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛四年级初赛、五年级初赛）如图所示，每个小正三角形边长为 1,小虫每步走过1,从A出发，恰走4步回到A的路有条。（途中不再回A）【例28]【例29】如图所示，直线a、b上分别有5个点和4个点，以这些点为顶点可以画出多少个的三角形?【例30【例28]【例29】如图所示，直线a、b上分别有5个点和4个点，以这些点为顶点可以画出多少个的三角形?【例30]如图所示，直线a、b上分别有6个点和点可以画出多少个的三角形？4个点（其中有1个点为两直线的交点），以这些点为顶【例31]一个半圆周上共有12个点，直径上5个,圆周上7个，以这些点为顶点，可以画出多少个三角形?如下图，八面体有12条棱，6个顶点.一只蚂蚁从顶点A出发，沿棱爬行，要求恰好经过每个顶点一次.问共有多少种不同的走法？【例32】【例32】在一个圆周上均匀分布10个点，以这些点再加上圆心一共 11个点为端点，可以画出多少长度小于直径的线段？【例33】有红、黄、蓝、绿小旗各一面，每次可以在旗杆上任意挂一面、二面、三面、四面，从上至下顺序不同时，表示不同的信号。这四面旗共能发出多少种不同的信号？（不挂旗则没有信号，相同颜色的旗子不作区别）【例34】五种颜色不同的信号旗，各有2面，任意取出1面、2面、3面排成一行，表示一种信号，并且不同的顺序表示不同的信号，请问共可以表示多少种不同的信号？（不挂旗则没有信号，相同颜色的旗子按照其数量区别）【例35】红、黄、蓝、白四种颜色不同的小旗，各有2、2、3、3面，任意取出3面按顺序排成一行，表示一种信号，请问：（1）共可以表示多少种不同的信号？（ 2）如果白旗不能打头又有多少种？（不挂旗则没有信号，相同颜色的旗子不作区别）【例36］从分别写有2、4、6、8的四张卡片中任取两张，做两个一位数乘法 .如果其中的6可以看成9,那么共有多少种不同的乘积？【例37】有七张卡片：1、1、回、回、回、回、回，从中任取3张可排列成三位数。若其中卡片回旋转后可看作［6,则排成的偶数有个。【例38】电子表03:45表示3点45分，11:27表示11点27分。早上5点到8点这三小时内，电子表出现无重复数字的时刻有多少次？【例39】（2007年第五届“走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛五年级初赛）玩具厂生产一种玩具棒，共4节，用红、黄、蓝三种颜色给每节涂色。这家厂可生产种颜色不同的玩具棒。【练习1】 商店里有2种巧克力糖：牛奶味、榛仁味；有 3种水果糖：苹果味、梨味、橙味。小明想买一些糖送给他的小朋友。请问： （1）如果小明只买一种糖，他有几种选法？（ 2）如果小明想买水果糖、巧克力糖各1种，他有几种选法？【练习2】 从北京到广州可以选择直达的飞机和火车， 也可以选择中途在上海或者武汉作停留， 已知北京到上海、武汉或者上海、武汉到广州除了有飞机和火车两种交通方式外还有汽车。请问：从北京到广州一共有多少种交通方式供选择？【练习3] 有不同的中文书24本，不同的英文书31本，不同的法文书23本，从中取出2本不同语言类别的书，有多少种不同的取法？【练习4】由数字0、1、3、9可以组成多少个数字不重复的正整数?【练习5] 用0、1、2、3四个数码可以组成多少个没有重复数字的四位奇数?【练习6】甲、乙、丙、丁四人排队，甲不站排头，丁不站排尾，这样的排列有多少种?如图所示，将1、2、3、4、5分别填入图中5个格子中，要求填在灰色格子里的数比它旁边的白色格子里的两个数都大。请问共有多少种不同的填法？【练习8】 （2008年第四届IMC国际数学邀请赛（新加坡）小学四年级复赛）按英国人的记法， 2008年4月6日记作462008,按美国人的记法，2008年4月6日记作642008。那么，2008年全年中共有天会让英、美两国人在记法上产生误会。A12 B.132 C.353 D.354【练习9】 （2007年12月第九届“中环杯”小学生思维能力训练活动六年级初赛） 某工作需要钳工2人和电工2人共同完成，现有钳工A、B、C,电工D、E、F,另有G钳工、电工都会。从这7个人中挑选若干人去完成这项工作，共有不同选法。友遵号补充【补充1】 一个三角形的三条边为a、b、c,且a、b、c均为小于10的正整数；若这个三角形为等腰三角形（包括等边三角形），则三位数abc有多少种可能？【